1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 65 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)，g(x) 是连续函数，当 x0 时，f(x)与 g(x)是等价无穷小，令 F(x)=0xf(xt)dt，G(x)= 01xg(xt)出，则当 x0 时，F(x)是 G(x)的( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶但非等价无穷小（D）等价无穷小2 设 F(x)=xx+2esintsintdt，则 F(x)( )（A）为正常数（B）为负常数（C）为零（D）取值与 z 有关3 设 = ，则当 x0 时，两个无穷小的关系是( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C
2、）同阶非等价无穷小（D）等价无穷小二、填空题4 设 f(sin2x)= _。5 设 f(lnx)= ，则f(x)dx=_6 设xf(x)dx=arcsinx+C，则 =_。7 设 f(x)为连续函数，且满足 01f(xt)dt=f(x)+xsinx，则 f(x)=_8 =_9 =_10 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 f(x)= ，求 01x2f(x)dx12 设 f(x)连续，且 f(x)=20xf(x 一 t)dt+ex，求 f(x)13 求 14 计算15 16 17 18 19 设 f(x)连续，且 0xtf(2xt)dt= arctanx2，f(1)=
3、1，求 12f(x)dx20 计算21 计算22 设 F(x)为 f(x)的原函数，且当 x0 时，f(x)F(x)= ，又 F(0)=1，F(x)0，求 f(x)23 设 f(lnx)= ，求 f(x)24 25 设 f(x)=0xecostdt，求 0f(x)cosxdx26 27 设 f(x)连续， 0xtf(x 一 t)dt=1cosx，求 f(x)dx考研数学一（高等数学）模拟试卷 65 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 由周期函数的平移性质，F(x)= x
4、x+2esintsintdt 一 -esintsintdt，再由对称区间积分性得 F(x)=0(esintsinte-sintsint)dt=0(esint 一 e-sint)sintdt，又(e sint 一 e-sint)sint 连续、非负、不恒为零，所以 F(x)0，选(A)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1，所以两无穷小同阶但非等价，选(C)【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 arcsin 2 +C【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 ln(1+e-x)+C【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】
5、【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 f(x)=cosxxsinx+C【试题解析】 由 01f(xt)dt=f(x)+xsinx，得 01f(xt)d(xt)=xf(x)+x2sinx，即 0xf(t)dt=xf(x)+x2sinx，两边求导得 f(x)=一 2sinx xcosx，积分得 f(x)=cosxxsinx+C【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等
6、数学12 【正确答案】 0xf(xt)dt x0f(u)(一 du)=0xf(u)du， f(x)=2 0xf(u)du+ex 两边求导数得 f(x)一 2f(x)=ex， 则 f(x)=(exe 2dxdx+C)e=Ce2xex， 因为 f(0)=1，所以C=2，故 f(x)=2e2x 一 ex【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 =lnx 2lnx+C【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 因为(x 2ex)=(xx+2x)ex，【知识模块】 高等数学18 【
7、正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 两边积分得 F2(x)=【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 令 lnx=t，则 f(t)= ，当 t0 时，f(t)=t+C 1；当 t0 时，f(t)=et+C2显然 f(t)为连续函数，所以 f(t)也连续，于是有 C 1=1+C2，故 f(x)=【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 0f(x)cosxdx=0f(x)d(sinx)=f(x)sinx 00f(x)sinxdx =0ecosxsinxdx=ecosx 0=e-1e【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 由 0xtf(xt)dt x0(x 一 u)f(u)(一 du)=0x(xu)f(u)du =x0xf(u)du一 0xuf(u)du， 得 x0xf(u)du0xuf(u)du=1 一 cosx， 两边求导得 0xf(u)du=sinx，令 x=f(x)dx=1【知识模块】 高等数学
