1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 66 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 g(x)=0xf(u)du，其中 f(x)= 则 g(x)在(0，2)内( )（A）单调减少（B）无界（C）连续（D）有第一类间断点2 设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )（A） axf(t)dt（B） -xaf(t)dt（C） -x0f(t)dtx0f(t)dt（D） -xxtf(t)dt3 设函数 f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )（A） 0xtf(t)一 f(一 t)dt（B） 0xtf(t)+f(
2、一 t)dt（C） 0xf(t2)dt（D） 0xf2(t)dt二、填空题4 =_5 =_6 maxx+2，x 2dx=_7 =_8 =_9 =_10 设 f(x)满足等式 xf(x)一 f(x)= ，且 f(1)=4，则 01f(x)dx=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 S(x)=0xcostdt (1)证明：当 nx(n+1) 时，2nS(x) 2(n+1) ； (2)求12 设 f(x)在0，+)上连续，非负，且以 T 为周期，证明：13 设 f(x)在0，1上连续， f(0)=0， 01f(x)dx=0证明：存在 (0，1)，使得 0f(x)dx=f()1
3、4 设 f(x)在( 一 a，a)(a0)内连续，且 f(0)=2 (1)证明：对 0xa ，存在0 1，使得 0xf(t)dt+0-xf(t)dt=xf(x)一 f(一 x)； (2)求 15 设 an=16 设 f(x)有界，且 f(x)连续，对任意的 x(一 ， +)有f(x)+f(x)1证明：f(x)1 17 设 f(x)在( 一，+)上有定义，且对任意的 x，y (一 ，+)有f(x)一f(y)x y证明： abf(x)dx 一(b 一 a)f(a) (b 一 a)218 设 f(x)在0，1上连续，且 0mf(x)M，对任意的 x0，1，证明：19 设 f(x)在a，b上连续且单调
4、增加，证明： abxf(x)dx abf(x)dx20 设 f(x)在(0，+)内连续且单调减少证明： 1n+1f(x)dx f(k)f(1)+1nf(x)dx21 设 f(x)在a，b上连续且单调减少证明：当 0k1 时， 0kf(x)dxk01f(x)dx22 设 f(x)在0，1 上连续且f(x) M证明：23 设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0令24 设 f(x)在0，1 上连续，且 f(1)一 f(0)=1证明： 01f2(x)dx125 设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=0证明： abf2(x)dx abf(x)2dx26 设 f(x)在a，b上连续可导，
5、且 f(a)=f(b)=0证明： f(x) abf(x) dx(axb)考研数学一（高等数学）模拟试卷 66 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在(0 ，2)内只有第一类间断点，所以 g(x)在(0，2)内连续，选(C)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 设 (x)=-xxtf(t)dt=20xtf(t)dt， (x+T)=2 0x+Ttf(t)dt=20xtf(t)dt+2xx+Ttf(t)dt(x)，选(D)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 tf(t)一 f
6、(t)为偶函数，所以 0xtf(t)一 f(t)dt 为奇函数，(A)不对；因为 f(t2)为偶函数，所以 0xf(t2)dt 为奇函数，(C) 不对；因为不确定 f2(t)的奇偶性，所以(D) 不对，令 F(x)=0xtf(t)+f(t)dt，F(x)= 0-xtf(t)+f(一 t)dt=0x(一 u)f(u)+f(u)(一 du)=F(x)，选(B) 【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】
7、高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 4【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 (1)当 nx(n+1) 时， 0ncostdt 0xcost dt 0(n+1)costdt， 0ncostdt=n 0cosxdt= =2n， 0(n+1)costdt=2(n+1) ，则 2nS(x)2(n+1) (2)【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nTx(n+1)T ， 因为 f(x)0，所以
8、0nTf(t)dt0xf(t)dt0(n+1)Tf(t)dt，【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 令 (x)= ，因为 f(x)在0，1 上连续，所以(x)在0，1上连续，在(0，1) 内可导，又 (0)=0，(1)= 01f(x)dx=0，由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()=0，而 (x)= 所以 0f(x)dx=f()【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 (1)令 F(x)=0xf(t)dt+0-xf(t)dt，显然 F(x)在0，x上可导，且 F(0)=0，由微分中值定理，存在 01，使得 F(x)=F(x)一 F(0)=F(x)x，即 0xf(t)dt+0-xf(t)d
9、t=xf(x)一 f(x)(2)【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 令 (x)=exf(x)，则 (x)=exf(x)+f(x)， 由f(x)+f(x)1得(x)e x，又由 f(x)有界得 (一)=0，则 (x)=(x)一 (一)= -x(x)dx，两边取绝对值得 e xf(x) -x(x)dx -xexdx=ex，所以f(x)1【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 因为(b 一 a)f(a)=abf(a)dx， 所以 abf(x)dx 一(b 一 a)f(a)= abf(x)f(a)dx abf(x) 一 f(a)dx ab(xa)dx=
10、 (b一 a)2【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 因为 0mf(x)M，所以 f(x)一 m0，f(x)一 M0，从而【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 1n+1f(x)dx=12f(x)dx+23f(x)dx+ nn+1f(x)dx， 当 x1，2时，f(x)f(1)，两边积分得 12f(x)dx厂(1)， 同理 23f(x)dxf(2)， nn+1f(x)dxf(n)，相加得 1n+1f(x)doc f(k)； 当 x1，2时，f(2)f(x)，两边积分得 f(2)12f(x)dx， 同理f(3)23f(x)dx，f(n) n1nf(
11、x)dx， 相加得 f(2)+f(n) 1nf(x)dxf(x)dx，于是f(k)f(1)+1nf(x)doc【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 0kf(x)dx 一 k01f(x)dx=0kf(x)dx 一 k0kf(x)dx+k1f(x)dx =(1 一 k)0kf(x)dxkk1f(x)dx=k(1 一 k)f(1)一 f(2) 其中 10，k， 2k，1因为0k1 且 f(x)单调减少， 所以 0kf(x)dxk01f(x)dx=k(1 一 k)f(1)一 f(2)0，故0kf(x)dxk01f(x)dx 又固为 f(x)单调减少，所以 f(kx)f(x)，两边积分得 01f(k
12、x)dx01f(x)dx， 故 k01f(kx)dxk01f(x)dx，即 0kf(x)dxk01f(x)dx 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)一 f(0)=f()x，其中 介于 0 与 x 之间， 因为 f(0)=0，所以f(x) = f()xMx ，x 0，a， 从而 0af(x)dx 0af(x)dx 0aMxdx= M 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 由 1=f(1)一 f(0)=01f(x)dx， 得 12=1=(01f(x)dx)20112dx01f2(x)dx=01f2(x)dx，即 01f2(x)dx1【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由 f(a)=0，得 f(x)一 f(a)=f(x)=axf(t)dt，由柯西不等式得 f 2(x)=(axf(t)dt)2ax12dtaxf2(t)dt(x一 a)abf2(x)dx 积分得 abf2(x)dxab(xa)dx abf2(x)dx= abf2(x)dx【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
