1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 67 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 sinx2dx 为( )（A）等于 0（B）大于 0（C）小于 0（D）不能确定2 若由曲线 y= ，曲线上某点处的切线以及 x=1，x=3 围成的平面区域的面积最小，则该切线是( ) 二、填空题3 设函数 y=y(x)满足y= x+o(x)，且 y(1)=1，则 01y(x)dx=_4 设 ，则 a=_。5 =_6 设连续非负函数 f(x)满足 f(x)f(一 x)=1，则 =_7 I(x)= 在区间一 1，1上的最大值为_8 设 f(x)的一个原函数为 =_9 y= 上的平均
2、值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 f(x)在a，b上连续可导，证明：11 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(x)0证明： 01f(x2)dxf( )12 设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f“(x)0证明：13 设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式：ln 01f(x)dx01lnf(x)dx14 设直线 y=ax 与抛物线 y=x2 所围成的图形面积为 S1，它们与直线 x=1 所围成的图形面积为 S2，且 a1 (1)确定 a，使 S1+S2 达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积15
3、求曲线 y=3 一x 2 一 1与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y=3 旋转所得的旋转体的体积16 求椭圆 =1 所围成的公共部分的面积17 设点 A(1，0，0) ，B(0 ，1，1)，线段 AB 绕 x 轴一周所得旋转曲面为 S(1)求旋转曲面的方程；(2)求曲面 S 介于平面 z=0 与 z=1 之间的体积18 计算 I=19 计算20 计算定积分21 证明： ，其中 a0 为常数22 证明：当 x0 时，f(x)= 0x(t 一 t2)sin2ndt 的最大值不超过 23 设 f(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1 及任意的 x1，x 2a，b满足： ftx1+(1 一 t)x2
4、tf(x1)+(1 一 t)f(x2)证明：24 设 f(x)Ca，b，在(a ，b)内二阶可导，且 f“(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且 ab(x)dx=1 证明： abf(x)(x)dxfabx(x)dx25 令 f(x)=xx，求极限26 为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口，设井深 30 m，抓斗自重 400 N，缆绳每米重 50 N，抓斗盛污泥 2 000 N，提升速度为 3 ms，在提升过程中，污泥以 20 Ns 的速度从抓斗中漏掉现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少?考研数学一（高等数学）模拟试卷 67 答案与解析一、选择题下列每题给出的
5、四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 当 t(0，2) 时，S(t)0；当 t(2，3)时，S(t)0，则当 t=2 时，S(t)取最小值，此时切线方程为 y= ，选(A)【知识模块】 高等数学二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 ln2【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 ln3【试题解析】 故 I(x)在 一 1，1上的最大值为 ln
6、3【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上连续，所以f(x)在a，b上连续，令f(c)= f(x)根据积分中值定理， abf(x)dx=f()，其中a， b由积分基本定理，f(c)=f()+ cf(x)dx，取绝对值得f(c) f()+ cf(x)dxf()+ abf(x)dx，即【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 令
7、g(t)=lnt(t0)，g“(t)=一 0，再令 x0=01f(x)dx，则有 g(t)g(x0)+g(x0)(t 一 x0)gf(x)g(x 0)+g(x0)f(x)一 x0，两边积分，得 01lnf(x)dxln01f(x)dx【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 (1)直线 y=ax 与抛物线 y=x2 的交点为(0，0)，(a，a 2)【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕 y=3 旋转所成的体积当 x0 时，y= 0，1，dV 1=32 一3 一(x 2+2)2dx=(2x2 一 x4+8)dx，V 1=01dV1=01(2x2
8、 一 x4+8)dx=1，2，dV 2=32 一3 一(4 一 x2)2)dx=(2x2 一 x4+8)dx，V 2=12dV2=12(2x2 一 x4+8)dx=【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的 4 倍，先求第一象限的面积【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 (1) 对任意的 M(x，y，z)S ，过 M 垂直于 z 轴的截口为圆，其与直线 AB 及 z 轴的交点为 M0(x0，y 0，z)，T(0 ，0，z)，由MT=M 0T，得 x2+y2=x02+y02， 因为 M0 在直线 AB 上，所以有 ，从而 代入 x2+y2=x02+y0
9、2 中得曲面方程为 S：x 2+y2=(1 一 z)2+z2，即 S：x 2+y2=2z2 一 2z+1(2) 对任意的 z0，1，垂直于 z 轴的截口圆面积为 A(z)=(x 2+y2)=(2z2 一 2z+1)于是 V=01A(z)dz= 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 当 x0 时，令 f(x)=(xx2)sin2nx=0 得 x=1，x=k(k=1，2，)， 当 0x1 时，f(x)0；当 x1 时，f(x)0
10、( 除 x=k(k=1，2，)外 f(x)0)， 于是 x=1 为 f(x)的最大值点，f(x)的最大值为 f(1)因为当 x0 时，sinxx， 所以当x0，1时，(x x2)sin2nx(xx2)x2n=x2n+1 一 x2n+2， 于是 f(x)f(1)=01(xx2)sin2nxdx 01(x2n+1 一 x2n+2)dx= 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 因为 f“(x)0，所以有 f(x)f(x0)+f(x0)(xx0) 取 x0=abx(x)dx，因为 (x)0，所以 a(x)x(x)b(x)，又 ab(x)dx=1，于是有 a
11、abx(x)dx=x0b把 x0=abx(x)dx 代入 f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)中，再由 (x)0，得 f(x)(x)f(x0)(x)+f(x0)x(x)一 x0(x)， 上述不等式两边再在区间a，b上积分，得 abf(x)(x)dxfabx(x)dx【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 因为c+m=x+m( 其中 m 为整数)，所以 f(x)=xx是以 1 为周期的函数，又xx，故 f(x)0，且 f(x)在0，1上的表达式为 f(x)= ，对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nxn+1，则 0nf(x)dx0xf(x)dx0n+1f(x)dx， 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 设拉力对空斗所做的功为 W1，则 W1=40030=12 000(J) 设拉力对绳所做的功为 W2，任取 x，x+dx 0，30，dW 2=50(30 一 x)dx， 则W2=030dW2=22 500(J) 设拉力对污泥做功为 W3，任取t，t+dt 0，10， dW3=(2 00020t)3dt， 则 W3=010dW3=57 000(J)，拉力克服重力所做的功为W=W1+W2+W3=91 500(J)。【知识模块】 高等数学
