1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 68 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 平面 与 1：x 一 2y+z 一 2=0 和 2：x 一 2y+z 一 6=0 的距离之比为 1：3，则平面 的方程为( )（A）x 一 2y+z=0（B） x 一 2y+z 一 3=0（C） x 一 2y+z=0 或 x 一 2y+z3=0（D）x 一 2y+z 一 4=02 设 L1： 则有( )（A）L 1L3（B） L1L2（C） L2L3（D）L 1L23 设 f(x，y)= 则 f(x，y)在(0，0)处( )（A）连续但不可偏导（B）可偏导但不连续（C）可微（D）
2、一阶连续可偏导4 对二元函数 z=f(x，y)，下列结论正确的是( )（A）z=f(x，y)可微的充分必要条件是 z=f(x，y)有一阶连续的偏导数（B）若 z=f(x，y)可微，则 z=f(x，y)的偏导数连续（C）若 z=f(x，y)偏导数连续，则 z=f(x，y)一定可微（D）若 z=f(x，y)的偏导数不连续，则 z=f(x，y)一定不可微5 设 f(x，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件=0，则( ) （A）f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内（B） f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上（C） f(x，y)的最小值点在 D 内，最大
3、值点在 D 的边界上（D）f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上二、填空题6 设直线 L1： ，则过直线 L1 且平行于 L2 的平面方程为_7 点 M(3，一 1，2)到直线 的距离为_8 两异面直线 L1： 之间的距离为_9 设点 M1(1，一 1，一 2)，M 2(1，0，3)，M 3(2，1，2)，则点 M3 到向量 的距离为_10 直线 L： 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程为_11 设盲线 l 过点 M(1，一 2，0)且与两条直线 l1：，垂直，则 l 的参数方程为 _12 设直线 在平面 x+y+z=0 上的投影为直线 L，则点(1 ，2，1)到直线 L 的
4、距离等于_13 曲线 在 xOy 平面上的投影曲线为 _14 设函数 z=f(x，y)在点(0，1)的某邻域内可微，且 f(x，y+1)=1+2x+3y+o()，其中= ，则曲面：z=f(x，y)在点(0，1) 的切平面方程为_15 设 z=xf(x+y)+g(xy，x 2+y2)，其中 f，g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则_。16 设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx ，ty)=t 3f(x，y) ，且 f1(1，2)=1，f 2(1，2)=4，则f(1，2)=_。17 设 z=f(x，y)二阶可偏导， =2，且 f(x，0)=1，f y(x，0)=x ，则 f(x，y)=_18
5、 设(ay 一 2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，则a=_，b=_。19 函数 u=x2 一 2yz 在点(1，一 2，2)处的方向导数最大值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设曲面： =1 及平面 ：2x+2y+z+5=0 (1) 求曲面 上与丌平行的切平面方程； (2)求曲面与平面 的最短和最长距离21 设直线 L： 及 ：xy+2z 一 1=0 (1)求直线 L 在平面 上的投影直线 L0； (2)求 L 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程22 设直线 L1： (1)证明：直线L1，L 2 为异面直线； (2)求平行于 L1，L
6、2 且与它们等距离的平面23 求过直线 且与点(1，2，1)的距离为 1 的平面方程24 设直线 L： (1)求直线绕 z 轴旋转所得的旋转曲面， (2)求该旋转曲面介于 z=0 与 z=1 之间的几何体的体积25 已知点 P(1，0，一 1)与点 Q(3，1，2)，在平面 x 一 2y+z=12 上求一点 M，使得PM+ MQ最小26 设 A(1，0，4) ， ： 3x4y+z+10=0，L： ，求一条过点 A与平面 平行，且与直线 L 相交的直线方程27 设 u=f(x， y，xyz)，函数 z=z(x，y)由 exyz=h(xy+z 一 t)出确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求 2
7、8 设 f(x，y)= 证明：f(x ，y)在点(0，0)处可微，但 在点(0，0)处不连续考研数学一（高等数学）模拟试卷 68 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 设所求平面为 ：x2y+2+D=0，在平面 ：x 一 2y+z+D=0 上取一点 M0(x0，y 0，z 0)，d 1= ，因为d1：d 2=1：3 ，所以 D=0 或 D=一 3，选(C)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 三条直线的方向向量为 s 1=一 2，一 5，3，s 2=3，3，7)，s3=1，3，一 12，1，一 1)=一 2，
8、一 1，一 5， 因为 s1s 2=0，所以 L1L2，选(D)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 所以 fx(0，0)=0，根据对称(0，0) 处不连续，同理 fy(x，y)在点(0，0)处也不连续，选(C)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 因为若函数 f(x，y)一阶连续可偏导，则 f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函数 f(x，y) 偏导数不连续不一定不可微，选(C)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(x，y)的最大点在 D 内，不妨设其为 M0，则有=0，因为 M0 为最大值点，所以 ACB2 非负，而在 D
9、内有=0，即 ACB20，所以最大值点不可能在 D 内，同理最小值点也不可能在 D 内，正确答案为(B)【知识模块】 高等数学二、填空题6 【正确答案】 ：x 一 3y+z+2=0【试题解析】 所求平面的法向量为 n=1，0，一 12，1，1=1 ，一 3，1，又平面过点(1 ，2，3) ，则所求平面方程为 ：(x 一 1)一 3(y 一 2)+(z 一 3)=0，即：x 一 3y+z+2=0【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 直线的方向向量为 s=1，1，一 12，一 1，1=0 ，3，3，显然直线经过点 M0(1，一 1，1) ，【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 7
10、【试题解析】 s 1=4，一 3，1，s 2=一 2，9，2)， n=4，一 3，1 一 2，9，2=一 15，一 10，30，过直线 L2 且与 L1 平行的平面方程为 ：一 15x10(y+7)+30(z 一 2)=0，即 ：3x+2y 一6z+26=0，d= =7【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 ：x 2+y2 一 z2=1【试题解析】 设 M(x，y ，z) 为旋转曲面上的任意一点，该点所在的圆对应与直线 L 上的点为 M0(x0，y 0，z) ，圆心为 T(0，0，z)，由 ，得x2+y2=x0+y0 因为 M0(x0，y
11、 0，z) L，所以 ，即x0=1， y0=z， 于是曲面方程为：x 2+y2 一 z2=1【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 直线 l1 的方向向量为 s1=2，0，11 ，一 1，3=1，一 5，一 2，直线 l2 的方向向量为 s2=1，一 4，0) ，则直线 l 的方向向量为 s=s1s2=一 8，一2，1，直线 l 的方程为【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 过直线 的平面束为(x+2y z 一 2)+k(2x 一 y+z 一 3)=0，即(1+2k)x+(2 一 k)y+(k 一 1)z 一 23k=0，由1+2k ，2 一 k，k 一11，
12、1，1=0，得【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 ：2x+3y 一 z 一 2=0【试题解析】 由 f(x，y+1)=1+2x+3y+0()得 f(x， y)在点(0，1)处可微，且 而曲面：z=f(x，y)在点(0，1，1)的法向量为 n= =(2，3，一 1)，所以切平面方程为 ：2(x0)+3(y 一 1)一(z 1)=0，即 ：2x+3y 一 z 一 2=0【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 f+xf“+x y1g1+yxy1lnxg1+yx2y1lnxg“11+2y2xy1g“12+2xy+1lnxg“21+4xyg
13、“22【试题解析】 由 z=xf(x+y)+g(xy，x 2+y2)，得 =f(x+y)+xf(x+y)+yxy1g1(xy，x 2+y2)+2xg2(xy，x 2+y2) =f+xf“+xy1g1+yxy1lnxg1+yx2y1lnxg“11+2y2xy1g“12+2xy+1lnxg“21+4xyg“22【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 3【试题解析】 f(tx，ty)=t 3f(x，y)两边对 t 求导数得 xf 1(tx，ty)+yf 2(tx，ty)=3t2f(x，y)， 取 t=1，x=1，y=2 得 f1(1，2)+2f 2(1，2)=3f(1 ，2)，故 f(1，2)=3
14、【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 y 2+xy+1【试题解析】 由=2y+x， z=y2+xy+C，因为 f(x，0)=1，所以 C=1，于是 z=y2+xy+1【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 4，2【试题解析】 令 P(x，y)=ay 一 2xy2，Q(x，y)=bx 2y+4x+3，因为(ay 一 2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，所以 =a 一4xy，于是 a=4，b=一 2 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 6【试题解析】 函数 u=x2 一 2yz 在点(1，一 2，2)处的方向导数的最大值即为函数u=x2 一 2yz 在点
15、(1，一 2，2)处的梯度的模，而 gradu (1，2，2) =2x，一 2z，一2y) (1，2，2) =2，一 4，4，方向导数的最大值为 =6【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 (1)令 =t，即 x=1+t，y=t，z=1 一 t，将x=1+t，y=t，z=1 一 t 代入平面 xy+2z 一 1=0，解得 t=1，从而直线 L 与平面 的交点为 M1(2，1，0) 过直线 L 且垂直于平面 的平面法向量为 s1=1，1，一 11，一 1，2=1，一 3，一 2， 平面方程为 1：1(x
16、 一 2)一 3(y 一 1)一2z=0，即 1：x 一 3y 一 2z+1=0 从而直线 L 在平面 上的投影直线一般式方程为(2)设 M(x，y，z) 为所求旋转曲面 上任意一点，过该点作垂直于 y 轴的平面，该平面与相交于一个圆，且该平面与直线 L 及 y 轴的交点分别为 M0(x0，y 0，z 0)及 T(0，y，0)，由M 0T=MT，得 x02+z02=x2+z2，注意到 M0(x0，y 0，z 0)L，即 ，将其代入上式得 ：x 2+z2=(y+1)2+(1 一 y)2，即：x 2 一 2y2+z2=2【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 (1)M 1(1，0，一 1)L1，
17、M 2(一 2，1，2) L2， =一3，1，3 ， s 1=一 1，2，1，s 2=0，1，一 2，s 1s2=一 5，一 2，一 1 因为(s1s2) =一 5，一 2，一 1 一 3，1，3=100，所以 L1，L 2 异面(2)与 L1，L 2 同时平行的平面的法向量为 n=s1s2=一 5，一 2，一 1，设与 L1，L 2 等距离的平面方程为 ：5x+2y+z+D=0，则有，解得 D=1，所求的平面方程为 ：5x+2y+z+1=0【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 过直线 的平面束方程为 ：(3x 一 2y+2)+(x一 2yz+6)=0， 或 ：(3+)x 一 2(1+)y
18、 一 z+2+6=0，点(1，2，1) 到平面 的距离为 解得 =一 2 或=一 3，于是所求的平面方程为 ：x+2y+2z 一 10=0，或 ：4y+3z16=0【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 (1)记直线 L 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面为，设 M(x，y，z) 为曲面上的一点，过点 M 作与 z 轴垂直的平面，交直线 L 及 z 轴于点 M0(x0，y 0，z 0)及 T(0，0，z)， 由M 0T=MT，得 x2+y2=x02+y02，注意到 M0L，则代入上式得 ：x 2+y2=(1+2z)2+(2+z)2即 ：x 2+y2=5z2+8z+5(2) 对任意的 z0，1，截口
19、面积为 A(z)=(x2+y2)=(5z2+8z+5)，则 V=01A(z)dz=01(5z2+8z+5)dz= 设 M(1+2t，2+t，t)为曲面上任意一点，则截口面积为 S(t)=r 2=(1+2t)2+(2+t)2=(5t2+8t+5)， 则体积为 V=01S(t)dt= 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 把点 P 及点 Q 的坐标代入 x 一 2y+z 一 12 得 1112=一 12 及32+212=一 9， 则点 P 及 Q 位于平面 的同侧过点 P 且垂直于平面 的直线方程为 把 x=1+t，y=一 2t，z=t 一 1 代入平面 得 t=2，所以直线 L1 与平面 的交点坐标为 T(3，一4，1)令点 P 关于平面 的对称点为 P(x0，y 0，z 0)，【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 过 A(一 1，0，4)且与平面 ：3x 一 4y+z+10=0 平行的平面方程为 1：3(x+1)一 4y+(z 一 4)=0，即 1：3x 一 4y+z 一 1=0令，代入 1： 3x4y+z 一 1=0，得 t=16，则直线 L 与 1 的交点为 M0(15，19，32)，所求直线的方向向量为 s=16，19，28，所求直线为 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
