1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 72 及答案与解析一、填空题1 设 y=y(x)满足 y= +o(x)，且有 y(1)=1，则 0xy(x)dx=_2 微分方程 y一 xe-y+ =0 的通解为_3 微分方程 yy“一 2(y)2=0 的通解为_4 微分方程 xy= +y(x0)的通解为_5 以 y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为_6 设 y(x)为微分方程 y“一 4y+4y=0 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解，则 01y(x)dx=_二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 设 f(x)在区间a，b上满足 af
2、(x)b，且有f(x) q 1，令 un=f(un1)(n=1，2，)，u 0a，b，证明：级数 (un+1 一 un)绝对收敛8 设 f(x)在( 一，+)内一阶连续可导，且发散9 设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 绝对收敛10 设 y=y(x)满足 y=x+y，且满足 y(0)=1，讨论级数 的敛散性11 求幂级数 的收敛域12 求函数 f(x)=ln(1 一 x 一 2x2)的幂级数，并求出该幂级数的收敛域13 求幂级数 的和函数14 求幂级数 的和函数15 求幂级数 的和函数16 求 的和17 设 f(x)的一个原函数为 F(x)，且 F(x)为方程 xy+y=ex
3、且 =1 的解 (1)求F(x)关于 x 的幂级数； (2)求 的和18 将函数 f(x)=arctan 展开成 x 的幂级数19 设 f(x)= ，且 a0=1，a n+1=an+n(n=0，1，2，) (1)求 f(x)满足的微分方程； (2)求 20 证明 S(x)= 满足微分方程 y(4)一 y=0 并求和函数 S(x)21 将函数 f(x)=2+x( 一 1x1)展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并求级数的和22 将函数 f(x)=x 一 1(0x2)展开成周期为 4 的余弦级数23 设 un0，且发散24 设级数 绝对收敛25 设 an= 的敛散性，并证明你的结论26 设函数 f0
4、(x)在(一，+)内连续，f n(x)=0xfn1(t)dt(n=1，2，)27 设 a0=1，a 1=一 2，a 2= (n2)证明：当x1 时，幂级数 anxn 收敛，并求其和函数 S(x)考研数学一（高等数学）模拟试卷 72 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 y=C 或者 C1x+C2【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 arcsin =lnx+C【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 y“一 3y“+4y一 2y=0【试题解析】 特征值为 1=1
5、， 2，3 =1i，特征方程为( 一 1)( 一 1+i)( 一 1 一 i)=0，即 3 一 32+4 一 2=0，所求方程为 y“一 3y“+4y一 2y=0【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 (e21)【试题解析】 y“4y+4y=0 的通解为 y=(C+C2x)e2x， 由初始条件 y(0)=1，y(0)=2得 C1=1，C 2=0，则 y=e2x， 于是 01y(x)dx= (e2 一 1)【知识模块】 高等数学二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 由u n+1 一 un=f(u n)f(un1) =f( 1)u n 一 un1 qu n一 un1q
6、 2u n1 一 un2q nu n 一 u0且(un+1 一 un)绝对收敛【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 又 f“(x)在 x=0的某邻域内连续，从而可以找到一个原点在其内部的闭区间，在此闭区间内有f“(x)M ，其中 M0 为 f“(x)在该闭区间上的上界所以对充分大的 n，有 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 由 y=x+y 得 y“=1+y，再由 y(0)=1 得 y(0)=1，y“(0)=2，根据马克劳林公式，有【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 f(x)=ln(1 一 x 一
7、2x2)=ln(x+1)(12x)=ln(1+x)+ln(12x)，【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 显然该幂级数的收敛区间为一 1，1，【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 由 =0，得收敛半径 R=+，该幂级数的收敛区间为(一，+)， 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 显然级数的收敛域为(一，+) ，显然 S(x)满足微分方程 y(4)一 y=0 y(4)一 y=
8、0 的通解为 y=C1ex+C2e-x+C3cosx+C4sinx，由 S(0)=1，S(0)=S“(0)=S“(0)=0 得【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 显然函数 f(x)是在 一 1，1上满足收敛定理的偶函数，则a0=201f(x)dx=5，a n=201f(x)cosnnxdx= (n=1，2，)，bn=0(n=1，2，)，又 f(x)C一 1，1，所以【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 将 f(x)进行偶延拓和周期延拓，【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 令 Sn=(a1 一 a0)+(a2 一 a1)+(an 一 an1)，则 Sn=an 一 a0【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 (1)n=1 时， f1(x)=0xf0(t)dt，等式成立；(2)对任意的x(一，+)，f 0(t)在0，x或x，0 上连续，于是存在 M0(M 与 x 有关)，使得f 0(t)M(t 0，x或 tx，0) ，于是【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
