1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 76 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x1 时，函数 f(x)= 的极限( )（A）等于 2。（B）等于 0。（C）为 。（D）不存在，但不为。2 设 f(x)在点 x=a 处可导，则函数f(x)在点 x=a 处不可导的充分必要条件是( )（A）f(a)=0，且 f(a)=0。（B） f(a)=0，且 f(a)0。（C） f(a)0，且 f(a)0。（D）f(a)0 ，且 f(a)0。3 设 f(x)在(-，+) 上可导，x 00，(x 0，f(x 0)是 y=f(x)的拐点，则( )（A）x 0 必是 f(x)
2、的驻点。（B） (-x0，-f(x 0)必是 y=-f(-x)的拐点。（C） (-x0，-f(x 0)必是 y=-f(x)的拐点。（D）对任意 xx 0 与 xx 0，y=f(x)的凹凸性相反。4 定积分 =( )5 设 f(x，y)= 则 fx(0，1)( )（A）等于 1。（B）等于 0。（C）不存在。（D）等于-1。6 设 f(x，y)连续，且 f(x， y)=xy+ f(u，v)dudv ，其中 D 是由 y=0，y=x 2，x=1 所围成的区域，则 f(x，t)等于 ( )（A）xy。（B） 2xy。（C） xy+（D）xy+1。7 设幂级数 的收敛半径为( )二、填空题8 =_。9
3、 已知 y=lnlnlnx，则 y=_。10 设 f(x)在 x=0 处连续，且 ，则曲线 f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 _。11 =_。12 点(2 ，1，0) 到平面 3x+4y+5z=0 的距离 d=_。13 函数 f(x， y，z)=x 3+y4+z2 在点(1，1，0)处方向导数的最大值与最小值之积为_。14 是由曲面 z=xy 与平面 y=x，x=1 和 z=0 所围成的闭区域，则xy2z3dxdydz=_。15 设 =(x，y，z)x 2+y2z1，则 的形心的竖坐标 =_。16 微分方程 xy+2y=xlnx 满足 y(1)= 的解为_ 。三、解答题解答应写出文字说
4、明、证明过程或演算步骤。17 求极限18 证明当 x0 时，(x 2-1)lnx(x-1)2。19 计算20 设摆线 试求 L 绕 x 轴旋转一周所得的旋转曲面的面积。21 求 f(x，y)= 的极值。22 计算曲线积分 I= ，其中 L 是以点(1，0)为中心，R 为半径的圆周(R1) ，取逆时针方向。23 设有一高度为 h(t)(t 为时间) 的雪堆在融化过程中其侧面满足方程 z=h(t)-(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为 09)，问高度为 130 厘米的雪堆全部融化需多长时间?24 设 a1=2，a n+1= (n=1，2，)。证明25
5、将函数 f(x)=x-1(0x2)展开成周期为 4 的余弦函数。考研数学一（高等数学）模拟试卷 76 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 故当 x1 时，函数极限不存在，也不是，应选 D。【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(a)0，由复合函数求导法则有因此排除 C 和 D。(当 f(x)在 x=a 可导，且 f(a)0 时，f(x) 在 x=a 点可导。) 当 f(a)=0 时，上两式分别是f(x)在 x=a 点的左右导数，因此，当 f(a)=0 时，f(x)在 x=a 点不可导的充要条件是
6、上两式不相等，即 f(a)0 时，故选 B。【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 从几何上分析，y=f(x)与 y=-f(-x)的图形关于原点对称。x00，(x 0，f(x 0)是 y=f(x)的拐点，则(-x 0，-f(x 0)是 y=-f(-x)的拐点。故选 B。【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 这是无界函数反常积分，x=1 为瑕点，与求定积分一样，作变量替换 x=sint，【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 等式 f(x，y)=xy+ 两端积分得【知识模块】 高等数学7 【
7、正确答案】 A【试题解析】 由题设条件可知 于是幂级数 的收敛半径为【知识模块】 高等数学二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 运用洛必达法则，则有【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 当 x0 时，arcsinx-x x3，1-cosx=2sin 2 。由极限的运算法则可得 从而 =1。又因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 f(0)= =1。根据导数的定义可得 所以曲线 f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题
8、解析】 利用点到平面的距离公式可得【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 -25【试题解析】 函数 f(x，y，z) 在点(1，1，0)处方向导数的最大值和最小值分别为f(x，y，z)在该点处梯度向量的模和梯度向量模的负值。gradf (1,1,0)=(3，4，0)，则函数 f(x，y，z)=x 3+y2+z2 在点(1，1，0)处方向导数的最大值和最小值之积为 g(-g)=-g 2=-25。【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知，闭区域 =(x，y，z)0zxy，0yx，0x1。则【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学16
9、 【正确答案】 【试题解析】 原方程等价于 于是通解为由 y(1)= 解得 C=0。故所求解为【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 令 f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，易知 f(1)=0。 又可见，当 0x1 时，f(x)0；当 1x+时，f(x)0。所以当 x0 时， f(x)f(1)=20， 即 f(x)单调递增，因此，当0x1 时，f(x)f(1)=0；当 1x+时，f(x)f(1)=0。所以 f(x)f(1)=0(0x+)，即证得当 x0 时，(x 2-1)lnx(x-1)2。【
10、知识模块】 高等数学19 【正确答案】 使用分部积分法和换元积分法。由题设知 f(1)=0，【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 x()=1-cos，y()=sin， 按旋转面面积计算公式。可得旋转曲面的面积【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 先求函数 f(x，y)= 的驻点，令 fx(x，y)=e-x=0，f y(x，y)=-y=0，解得函数 f(x，y) 的驻点为(e，0)。 又 A=fxx(e，0)=-1，B=f xy(e，0)=0，C=f yy(e，0)=-1，B 2-AC0，A 0。故 f(x，y)在点(e，0)处取得极大值 f(e，0)=【知识模块】 高等数学22 【正确
11、答案】 由题干可知 则有作足够小的椭圆(t0，2，C 取逆时针方向)，于是由格林公式有从而有【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 设 t 时刻雪堆的体积为 V(t)，侧面积为 S(t)。先求 S(t)与 V(t)的表达式。侧面方程是其中 Dxy：x 2+y2 。作极坐标变换 x=rcos，y=rsin，则体积减少的速度是 ，它与侧面积成正比(比例系数为 09)，即将 V(t)与 S(t)的表达式代入得解得 h(t)=+130。令 h(t)=0，得 t=100。 因此，高度为 130 厘米的雪堆全部融化所需时间为 100 小时。【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 () 显然 an0(n=1，2)，由均值不等式易知所以an单调递减且有下界，故极限 存在。()a n单调递减，则，原级数是正项级数。由 an1 得而级数 的部分和为由比较判别法知 收敛。【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由傅里叶级数展开式，可得【知识模块】 高等数学
