1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 79 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设对任意的 x，总有 (x)f(x)g(x)，且 g(x)-(x)=0，则 ( )（A）存在且等于零。（B）存在但不一定为零。（C）一定不存在。（D）不一定存在。2 设 y=f(x)在区间(a ，b) 上可微，则下列结论中正确的个数是( )x 0(a，b)，若f(x0)0，则x0 时， 与x 是同阶无穷小。df(x)只与 x(a，b)有关。y=f(x+x)-f(x)，则 dyy。 x0 时，dy- y 是x 的高阶无穷小。（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。3 设 y=f
2、(x)是方程 y-2y+4y=0 的一个解，且 f(x0)0，f(x 0)=0，则函数 f(x)在点 x0处( )（A）取得极大值。（B）取得极小值。（C）某邻域内单调增加。（D）某邻域内单调减少。4 曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴所围成的平面图形的面积可表示为 ( )5 设 a，b，c 均为单位向量，且 a+b+c=0，则 a.b+b.c+c.a 等于( )（A）1。（B）（C）（D）-1 。6 设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微， z 是 f(x，y)在点 (x0，y 0)处的全增量，则在点(x0，y 0)处( )（A）z=dz。（B） z=fx(x0，y 0)x
3、+fy(x0，y 0)y。（C） z=fx(x0，y 0)dx+fy(x0，y 0)dy。（D） z=dz+o()。7 下列曲线积分中，在区域 D：x 2+y20 上与路径无关的有 ( )（A）1 个。（B） 2 个。（C） 3 个。（D）4 个。8 设级数 收敛，则必收敛的级数为( )9 设曲线 y=y(x)满足 xdy+(x-2y)dx=0，且 y=y(x)与直线 x=1 及 x 轴所围的平面图形绕 x 轴旋转的旋转体体积最小，则 y(x)=( )二、填空题10 =_。11 设 x=e-t， =_。12 函数 f(x)=4x 3-18x2+27在区间0，2 上的最小值为_，最大值为_。13
4、 f(x)= =_。14 过点 P(-1，0，4)且与平面 3x-4y+z+10=0 平行，又与直线相交的直线方程是_。15 设 L 为椭圆 ，其周长记为 a，则 (2xy+3x2+4y2)ds=_。16 幂级数 的收敛半径 R=_。17 微分方程 y+2y+5y=0 的通解为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 求下列极限：19 设 ，且 f(x)0，证明 f(x)x(x0)。20 设 f(x)是连续函数。( )利用定义证明函数 F(x)= 可导，且 F(x)=f(x)；()当 f(x)是以 2 为周期的周期函数时，证明函数 G(x)= 也是以 2 为周期的周期函数。2
5、1 设 y=f(x， y，z)，(x 2，e y，z)=0，y=sinx，其中 f， 都具有一阶连续偏导数，且22 已知 =x+2y+3，u(0，0)=1 ，求 u(x，y)及 u(x，y)的极值，并判断是极大值还是极小值。23 计算二重积分 x(y+1)d，其中积分区域 D 由 y 轴与曲线围成。24 设函数 f(x)在 R 上具有一阶连续导数，L 是上半平面 (y0)内的有向分段光滑曲线，起点为(a，b)，终点为(c，d)。记()证明曲线积分，与路径 L 无关；()当 ab=cd 时，求 I 的值。25 设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续且具有连续的导数，又设 =A0，试讨论级数 是条
6、件收敛，绝对收敛，还是发散?考研数学一（高等数学）模拟试卷 79 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 取 (x)=f(x)=g(x)=x，显然有 (x)f(x)g(x)，且 g(x)-(x)=0，但不存在，故 A、B 排除。再取 (x)=f(x)=g(x)=1，同样有 (x)f(x)g(x)，且 g(x)-(x)=0，但 ，可见 C 也不正确，故选 D。【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 逐一分析。正确。因为所以x0 时， 与 x 是同阶无穷小。错误。 df(x)=f(x)x，df(x)与 x(a，b)及
7、 x 有关。错误。当 y=f(x)为一次函数，f(x)=ax+b，则 dy=ax=y。正确。由可微概念，f(x+ x)-f(x)=f(x)x+o(x)，x0，即 y-d=y=o(x)，x0。 故选 B。【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x0)=0，知 x=x0 是函数 y=f(x)的驻点。将 x=x0 代入方程，得y(x0)-2y(x0)+4y(x0)=0。考虑到 y(x0)=f(x0)=0，y(x 0)=f(x0)，y(x 0)=f(x0)0，因此有 f(x0)=-4f(x0)0，由极值的第二判定定理知，f(x)在点 x0 处取得极大值，故选 A。【知识模块】
8、高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 由于所求平面图形在 x 轴上、下方各有一部分，其面积为这两部分的面积之和，所以只要考查 B、C 选项中的每一部分是否均为正即可，显然 C 正确。事实上，【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 a+b+c=0，则 (a+b+c).(a+b+c)=0 ， 即 a2+b2+c2+2(a.b+b.c+c.a)=0，又因为 a2=b2=c2=1，所以 a.b+b.c+c.a= ，故选 B。【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 D【试题解析】 由于 z=f(x，y) 在点(x 0，y 0)处可微，则 x=fx(x0，y 0)x+fy(x0，
9、y 0)y+o(p)=dz+o(p)， 故选 D。【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 B【试题解析】 对于 成立，但不能断定该曲线积分在 D 内与路径无关，因为 D 不是单连通域。例如取 L 为逆向圆周 x2+y2=1，利用极坐标变换可得 则曲线积分 在 D 上与路径有关。而对于和，由于则曲线积分在 D 上与路径无关。而对于曲线积分 ，由于即在 D 上与路径有关。故选 B。【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 D【试题解析】 因为级数 收敛，再由收敛级数的和仍收敛可知，级数 收敛，故选 D。【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 C【试题解析】 原方程可化为 ，其通解为曲线 y=x+Cx
10、2 与直线 x=1 及 z 轴所围的平面图形绕 z 轴旋转一周所得的旋转体的体积为令 V(C)=是唯一的极值点，且为最小值点，所以 y=x-【知识模块】 高等数学二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 0【试题解析】 由题干可得【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 0；27【试题解析】 令 (x)=4x3-18x2+27，则所以 (x)在0，2 上单调递减，(0)=27，(2)=-13，由介值定理知，存在唯一 x0(0，2)，使 (x0)=0。且 f(0)=27，f(x 0)=0，f(2)=13 ，因此 f(x)在0，2上的最小值为 0，最大值
11、为 27。【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试题解析】 设 x-2=t，则【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 过点 P(-1， 0，4) 且平行于平面 3x-4y+z+10=0 的平面方程为 3x-4y+z-1=0。过直线 的平面束方程为 2x-z+2+(2y-z-6)=0，把点 P(-1，0，4) 代入上式可得，= 因此过点 P 和直线 L 的平面方程为 10x-4y-3z+22=0，则 为所求的直线方程，即【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 12a【试题解析】 将椭圆方程 化为 3x2+4y2=12，则有由于 L 关于 x 轴对称，且 xy 关于 y 是
12、奇函数，所以第一个积分 因此 原式=12a。【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 首先设 an=，该幂级数是收敛的。因此，此幂级数的收敛半径是【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 y=e -x(C1cos2x+C2sin2x)【试题解析】 由题干可知，方程 y+2y+5y=0 的特征方程为 r2+2r+5=0。解得则原方程的通解为 y=e-x(C1cos2x+C2sin2x)。【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 () 因为()利用定积分的定义可得()因为()因为()利用定积分的定义可得()利用定积分的定义可得【知识模
13、块】 高等数学19 【正确答案】 由 ，所以 f(0)=0(因为 f(x)存在，则f(x)一定连续)。且 f(x)在 x=0 处的带拉格朗日余项的泰勒公式是 因为 f(x)0，所以 f()0，于是 f(x)f(0)+f(0)x=x。【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 () 证明：由导数定义可得()根据题设，有当 f(x)是以2 为周期的周期函数时，f(x+2)=f(x)。从而 G(x+2)=G(x)。因而 G(x+2)-G(x)=C 。取 x=0 得，C=G(0+2)-G(0)=0 ，故 G(x+2)-G(x)=0 ，即 G(x)= 是以 2 为周期的周期函数。【知识模块】 高等数学21
14、 【正确答案】 在等式 u=f(x，y，z)的两端同时对 x 求导数，得到如下等式而 =cosx，再在等式 (x2，e y，z)=0 的两端同时对x 求导数，得到 解得因此，可得【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 由 =2x+y+1，有 u(x，y)=x 2+xy+x+(y)，再结合 =x+2y+3，有 x+(y)=x+2y+3，得 (y)=2y+3，(y)=y 2+3y+C。于是 u(x，y)=x2+xy+x+y2+3y+C。 又由 u(0，0)=1 得 C=1，因此 u(x，y)=x 2+xy+y2+x+3y+1，【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 引入极坐标(r，) 满足 x=rcos， y=rsin，在极坐标(r，)中积分区域 D 可表示为 D=(r，)0 ，2cosr2，于是【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 () 易知 Pdx+Qdy 存在原函数，故在 y0 时，Pdx+Qdy 存在原函数，即 故积分，在 y0 上与路径无关。()因找到了原函数，且由已知条件可得【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由 =A，且在 x=0 处 f(x)连续，有由于 f(x)在 x=0 的某邻域内存在连续的导数，所以当 x0 且 x 足够小时，f(x)0，由拉格朗日中值定理，有又因当 n足够大时， 所以级数 条件收敛。【知识模块】 高等数学
