1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 80 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 时，下列四个无穷小中，比其他三个高阶的无穷小是( )（A）x 2（B） 1-cosx。（C）（D）x-tanx。2 设函数 f(u)可导，y=f(x 2)。当自变量 x 在 x=-1 处取得增量x=-01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 01，则 f(1)等于( )（A）-1 。（B） 01。（C） 1。（D）05。3 已知函数 y=f(x)对一切 x 均满足 xf(x)+3xf(x)2=1-e-x，若 f(x0)=0(x00)，则( )（A）f(x 0)是 f(x
2、)的极大值。（B） f(x0)是 f(x)的极小值。（C） (x0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点。（D）f(x 0)不是 f(x)的极值，(x 0，f(x 0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。4 曲线 y=e-xsinx(0x3)与 x 轴所围成的平面图形的面积可表示为( )5 已知 a，b 均为非零向量，(a+3b)(7a-5b)，(a-4b)(7a-2b)，则向量 a 与 b 的夹角为( )6 设 ，则 f(x，y)在点(0，0)处( )（A）不连续。（B）连续但两个偏导数不存在。（C）两个偏导数存在但不可微。（D）可微。7 已知曲线积分 +f(x)-x2dy 与路径无关，其中
3、f(x)有连续一阶导数，f(0)=1，则 +f(x)-x2dy 等于( )（A）3e+1 。（B） 3e+5。（C） 3e+2。（D）3e-5。8 如果级数 都发散，则( )9 设 f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，du(x，y)=f(x)ydx+sinx-f(x)dy，则 f(x)等于( )（A）cosx+sinx-1。（B） (cosx+sinx-e-x)。（C） cosx-sinx+xex。（D）cosx-sinx+xe -x。二、填空题10 =_。11 已知 =_。12 曲线 的斜渐近线方程为_。13 设 f(x)=max1，x 2，则 =_。14 点 M1(1，2，3)到直线
4、的距离为_。15 已知曲线 L 为曲面 z= 与 x2+y2=1 的交线，则 x2y2z2ds=_。16 幂级数 的收敛半径 R=_。17 微分方程 y-4y=e2x 的通解为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设数列x n满足 0x 1 ，x n+1=sinn(n=1，2，)。()证明 存在，并求该极限；() 计算19 设函数 f(x)，g(x) 在a，b上连续，在(a ，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明存在 (a，b)，使得 f()=g()。20 设 f(x)在区间a，b上可导，且满足 。证明至少存在一点 (a，b)
5、 ，使得 f()=f().tan。21 设 y=y(z)，z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 r(x，y，z)=0 所确定的函数，其中 f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求22 求z在约束条件 下的最大值与最小值。23 计算二重积分 ，其中 D=(x，y)0y1，24 设函数 (y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L 上，曲线积分 的值恒为同一常数。()证明对右半平面 x0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C，有 ()求函数 (y)的表达式。25 设有正项级数 是它的部分和。()证明 收敛；()判断级数 是条件收敛还是绝对收敛，并给予证明。考研数学一（高等数
6、学）模拟试卷 80 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 利用等价无穷小代换。由于 x0 时，所以当 x0 时，B、C 与 A 是同阶的无穷小，由排除法知选 D。【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 由微分的定义可知，函数 f(x)在 x0 点处的增量y 的线性主部即为函数 f(x)在该点处的微分 =f(x0)x，所以有 01=y(-1)x=-01y(-1)，即 y(-1)=-1。 而 y(-1)=f(x) 2 x=-1=f(x2).2x x=-1=-2f(1)， 因此 f(1)=05，故选D。【知识模块】
7、高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x0)=0 知，x=x 0 是 y=f(x)的驻点。将 x=x0 代入方程，得 x0f(x0)+3x0f(x0)2= (分 x00 与 x00 讨论)，由极值的第二判定定理可知，f(x)在 x0 处取得极小值，故选 B。【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 当 0x 或 2x3 时，y0；当 x2 时，y0 。所以 y=e-xsinx(0x3)与 x 轴所围成的平面图形的面积为【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 由题设知(1)-(2)得 (1)8+(2)15 得 从而有a=b，cosa，b = ，故选 B。
8、【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 D【试题解析】 由 由微分的定义可知 f(x，y)在点(0 ，0)处可微，故选 D。【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 D【试题解析】 曲线积分 +f(x)-x2dy 与路径无关，则 f(x)=f(x)-2x，即 f(x)-f(x)=2x。f(x)=e dx2xe-dxdx+C=ex2xe-xdx+C=ex-2e-x-2xe-x+C，由 f(0)=1 知，C=3，故 f(x)=3ex-2x-2。因此【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 D【试题解析】 由于 a n发散，而a na n+ b n，故( an+b n)必发散，故选 D。【知识模块】 高
9、等数学9 【正确答案】 B【试题解析】 由 du(x，y)=f(x)ydx+sinx-f(x)d)，知f(x)=cosx-f(x)，即 f(x)+f(x)=cosx。因此 f(x)=e-dx(cosxedxdx+C)=e-x(cosxexdx+C)= (cosxe+sinxex+C)由 f(0)=0 得 C=-1，所以 f(x)= (cosx+sinx-e-x)，故选 B。【知识模块】 高等数学二、填空题10 【正确答案】 0【试题解析】 因为 x0 时，【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 设所求斜渐近线方程为 y=a
10、x+b。因为所以所求斜渐近线方程为【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试题解析】 由题意可知 f(x)= 当 x-1 时，当-1x1时， 当 x1 时，所以【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 直线 L 过点 M0(0，4，3)，方向向量 l=1，-3，-2， =1，-2，0，则点 M1 到直线 L 的距离为 且有因此点 M1 到 L 的距离为【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 将 x2+y2=1 代入 z= ，得 z=1。则曲线 L 的参数方程为【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 根据收敛半径的判断方法，有由于该幂级数缺奇数项
11、，所以R=【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【试题解析】 对应齐次微分方程的特征方程为 r2-4=0，解得 r1=2，r 2=-2。 故 y-4y=0 的通解为 y1=C1e-2x+C2e2x。 由于非齐次项 f(x)=e2x，=2 为特征方程的单根，所以原方程的特解可设为 y*=Axe2x，代入原方程可求出 A= 故所求通解为【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 ()0 x 1 ，则 0x 2=sinx11 。 由数学归纳法知0x n+1=sinxn1，n=1，2，即数列x n有界。于是 (因当x0 时，sinxx)，则有 xn+
12、1x n，可见数列x n单调减少，故由单凋减少有下界数列必有极限知，极限 存在。设 ，在 xn+1=sinxn 两边令 n ，得l=sinl，解得 l=0，即 =0。( )因 ，由()知该极限为1型。令 t=xn，则 n，t0，而【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 构造辅助函数 F(x)=f(x)-g(x)，由题设有 F(a)=F(b)=0。又 f(x)，g(x)在(a，b) 内具有相等的最大值，不妨设存在 x1x2，x 1，x 2(a，b)使得若 x1=x2，令 c=x2，则 F(c)=0。 若 x1 x2，因 F(x1)=f(x1)-g(x1)0，F(x 2)=f(x2)-g(x2)
13、0，从而存在 cx1，x 2(a，b)，使 F(c)=0。在区间a ，c，c，b 上分别利用罗尔定理知，存在 1(a，c)，2(c， b)，使得 F(1)=F(2)=0，再对 F(x)在区间 1， 2上应用罗尔定理，知存在(1， 2) (a，b) ，使 F()=0，即 f()=g() 。【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 由 f(x)在区间a ，b上可导，知 f(x)在区间a，b上连续，从而F(x)=f(x)cosx 在a， 上连续，由积分中值定理可知存在一点 c 使得 在c，b上，由罗尔定理得至少存在一点 (c，b) (a，b) ，使 F()=f()cos-f()sin=0 ，即 f(
14、)=f()tan，(a，b)。【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 分别在 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0 的两端对 x 求导，得整理后得 解得【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 z 的最值点与 z2 的最值点一致，用拉格朗日乘数法，令 F(x，y，z， ，)=z 2+(x2+9y2-2z2)+(x+3y+3z-5)， 由当 x=1，y=时，z=1 最小；当 x=-5，y= 时，z =5 最大。【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 积分区域 D 的图形如图 1-6-6 所示。【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 () 如图 1-6-12 所示，将 C 分解为：C=l 1+l2，另作一条曲线 l3 围绕原点且与 C 相接，根据题设条件则有()设 P=，P，Q 在单连通区域 x0 内，具有一阶连续偏导数。由()知，曲线积分 在该区域内与路径无关，故当 x0 时，总有比较(1)、(2)两式的右端，得由(3)得 (y)=-y2+C，将 q(y)代入(4)得 2y5-4Cy3=2y5，所以 C=0，从而 (y)=-y2。【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 () 设 Tn 为 的部分和，则()对已知级数取绝对值 因正项级数的部分和数列S n单调上升，将上式放缩 由()可知收敛，因此原级数绝对收敛。【知识模块】 高等数学
