1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 81 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 把 x0 +时的无穷小量 = 排列起来，使排在后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是( )（A），。（B） ， 。（C） ， 。（D）， 。2 设函数 f(x)对任意的 x 均满足等式 f(1+x)=af(x)，且有 f(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则( )（A）f(x)在 x=1 处不可导。（B） f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=a。（C） f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=b。（D）f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=ab。3 设函数
2、 f(x)满足关系式 f(x)+f(x)2=x，且 f(0)=0，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值。（B） f(0)是 f(x)的极小值。（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。（D）f(0)不是 f(x)的极值，(x，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。4 由曲线 (0x)与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积为( )5 已知向量 a，b 的模分别为 a=2，b= ，且 a.b=2，则ab=( )6 函数 f(x，y)在点(0，0)可微的充分条件是 ( )7 设曲线积分 -exsinydx-f(x)cosydy 与路径无关，其中 f(x)具有一阶连
3、续导数，且 f(0)=0，则 f(x)等于( )8 设正项级数 ( )（A）绝对收敛。（B）条件收敛。（C）发散。（D）敛散性与 有关。9 已知 y1(x)和 y2(x)是方程 y+p(x)y=0 的两个不同的特解，则方程的通解为( )（A）y=Cy 1(x)。（B） y=Cy2(x)。（C） y=C1y1(x)+C2y2(x)。（D）y=Cy 1(x)-y2(x)。二、填空题10 设 a0， a1，且 ，则 p=_。11 已知 =_。12 设 y=y(x)由参数方程=_，y=y(x)在任意点处的曲率 K=_。13 =_。14 两个平行平面 1：2x-y-3z+2=0， 2：2x-y-3z-5
4、=0 之间的距离是=_。15 设 L 为正向圆周 x2+y2=2 在第一象限中的部分，则曲线积分 的值为=_。16 幂级数 的收敛域为_。17 若函数 f(x)满足方程 f(x)+f(x)-2f(x)=0 及 f(x)+f(x)=2ex，则 f(x)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 证明：() 对任意正整数 n，都有 成立；()设，证明a n收敛。19 ()证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则存在 (a，b) ，使得 f(b)-f(a)=f()(b-a)；()证明：若函数 f(x)在 x=0 处连续，在(0，)(0)内可导，且
5、 f(x)=A，则 f+(0)存在，且 f+(0)=A。20 设 y=f(x)是区间0，1上的任一非负连续函数。 ()试证存在 x0(0，1)，使得在区间0 ，x 0上以 f(x0)为高的矩形面积等于在区间x 0，1 上以 y=f(x)为曲边的梯形面积；() 又设 f(x)在区间 (0，1)内可导，且 f(x)- ，证明() 中的 x0 是唯一的。21 设 z=f(x，y)，x=g(y， z)+ ，其中 f，g， 在其定义域内均可微，求22 过椭圆 3x2+2xy+3y2=1 上任意一点作椭圆的切线，试求该切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值。23 计算积分24 设在上半平面 D=(x，y
6、)y0 内，函数 f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t0 都有 f(tx，ty)=t -2f(，y)。证明对 D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L，都有 yf(x，y)dx-xf(x，y)dy=0 。25 求幂级数 的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。考研数学一（高等数学）模拟试卷 81 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 所以当 x0 +时， 是 x 的一阶无穷小， 是 x 的三阶无穷小， 是 x 的二阶无穷小，故选 B。【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 因且由 f(0)=b 可知【
7、知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 在题设等式两端对 x 求导，得f(x)+2f(x)f(x)=1。令 x=0 可得 f(0)=1(因由上式可推得 f(x)连续 )。又 f(0)=0，由拐点的充分条件可知，(0 ，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。故选 C。【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 由曲线 y=f(x)绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积计算公式，得【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 A【试题解析】 a.b=ab cosa，b= cosa，b=2 ，则cosa ，b= 故ab =absin a，b=【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 D【
8、试题解析】 由 可知，f(x，y)的两个一阶偏导数 fx(x，y)和 fy(x，y)在点(0，0)处连续，则 f(x，y)在点(0，0)处可微，故选 D。【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 B【试题解析】 曲线积分 Lf(x)-exsinydx-f(x)cosydy 与路径无关，则f(x)-e xcosy=-f(x)cosy，即 f(x)+f(x)=ex。所以有【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 A【试题解析】 因为 而由正项级数 收敛，再由比较审敛法极限形式知，原级数绝对收敛。【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 D【试题解析】 由于 y1(x)和 y2(x)是方程 y+p(x)y
9、=0 的两个不同的特解，所以 y1(x)-y2(x)为该方程的一个非零解，则 y=Cy1(x)-y2(x)为该方程的通解。【知识模块】 高等数学二、填空题10 【正确答案】 2【试题解析】 故取 p=2。【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知 因此，y=y(x)的曲率【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 1【试题解析】 原式=【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 在平面上任取一点 P0(-1，0，0)，则平行平面 1 到 2 的距离转化为点 P0 到平面 2 的距离，利用点到平面的距离公式
10、，则有【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 正向圆周 x2+y2=2 在第一象限中的部分，可表示为【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 4，6)【试题解析】 幂级数的系数为 an= ，则有因此幂级数的收敛半径为 R=1。当 x=4 时，原级数为 ，该级数收敛，当 x=6 时，原级数为 ，该级数发散，故幂级数的收敛域是4，6)。【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 e z【试题解析】 齐次微分方程 f(x)+f(x)-2f(x)=0 的特征方程为 r2+r-2=0，特征根为r1=1， r 2=-2，该齐次微分方程的通解为 f(x)=C 1ex+C2e-2x。 再由 f(
11、x)+f(x)=2ex 得 2C1ex+5C2e-2x=2ex， 比较系数可得 C1=1，C 2=0。故 f(x)=ex。【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 () 令 =x，则原不等式可化为 先证明 ln(1+x)x，x0。令 f(x)=x-ln(1+x)。由于 可知f(x)在 0，+)上单调递增。又由于 f(0)=0，所以当 x0 时 f(x)f(0)=0。也即 ln(1+x)x，x0。再证明 ln(1+x) ，x0。令 g(x)=ln(1+x)- 。由于可知 g(x)在0，+)上单调递增。又因 g(0)=0，所以当 x0 时，g(x)
12、g(0)=0 。即再代入 ，即可得到所需证明的不等式。因此数列a n是有界的。由单调有界收敛定理可知数列a n收敛。【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 () 作辅助函数 (x)=f(x)-f(a)- (x-a)，易验证 (x)满足：(a)=(b)；(x)在闭区间 a，b上连续，在开区间 (a，b)内可导，且根据罗尔定理，可得至少有一点 (a，b)，使 ()=0，即 所以 f(b)-f(a)=f()(b-a)。 ()任取 x0(0，)，则函数 f(x)在闭区间0，x 0上连续，开区间(0，x 0)内可导，因此由拉格朗日中值定理可知，存在 (0，)，使得故 f+(0)存在，且 f+(0)=A
13、。【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 () 本题可转化为证明 x0f(x0)= ，则 (x)在闭区间0，1上是连续的，在开区间(0，1)上是可导的，又因为 (0)=(1)=0，根据罗尔定理可知，存在 x0(0，1)，使得 (x0)=0，即()令 F(x)=xf(x)-有 F(x)=xf(x)+f(x)+f(x)=2f(x)+xf(x)0，即 F(x)在(0，1)内是严格单调递增的，因此() 中的点 x0 是唯一的。【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 由 z=f(x，y)，有 dz=f 1dx+f2dy。由 x=g(y，z)+ 有解得 代入出表达式中，得【知识模块】 高等数学22 【
14、正确答案】 设(x，y)为所给椭圆上任一点，则可求得在(x，y)处的切线方程为(3x+y)(X-x)+(x+3y)(Y-y)=0，它与两坐标轴的交点为。所以切线与坐标轴围成的三角形面积为本题转化为求(3x+y)(z+3y)在条件 3x2+2xy+3y2=1 下的极值。设 F(x，y，)=(3x+y)(x+3y)+(3x2+2xy+3y2-1)，所以该切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 如图所示，二重积分的积分区域为 D，D 1 是 D 的第一象限部分，由对称性，得【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 在等式 f(tx，ty)=t -2f(x，y)
15、两边对 t 求导得 xf 1(tx，ty)+yf 2(tx，ty)=-2t-3f(x，y)， 令 t=1，则 xf1(x，y)+xf 2(x，y)=-2f(x，y)， (*) 设 P(x，y)=yf(x ，y)，Q(x，y)=-xf(x，y)，则由曲线积分与路径无关的定理可知，对 D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L，都有 yf(x，y)dx-xf(x，y)dy=0 。【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 因为所以收敛半径为 R=3，相应的收敛区间为(-3，3)。 当 x=3 时，由于且 发散，所以原级数在点 x=3 处发散。当 x=-3 时，由于 且都收敛，所以原级数在点 x=-3 处收敛。【知识模块】 高等数学
