1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 85 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 xa 时 f(x)与 g(x)分别是 x-a 的 n 阶与 m 阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是( )f(x)g(x) 是 x-a 的 n+m 阶无穷小。若 nm ，则 是 x-a 的 n-m 阶无穷小。若 nm，则 f(x)+g(x)是 x-a 的 n 阶无穷小。（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）0。2 设在0 ，1上 f(x)0，则 f(0)f(1)，f(1)-f(0)或 f(0)-f(1)的大小顺序是( )（A）f(1)f(0)f(1)-f(0)。（B） f(
2、1)f(1)-f(0)f(0)。（C） f(1)-f(0)f(1)f(0)。（D）f(1)f(0)-f(1)f(0)。3 已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续，且 f(0)=0， ，则在点 x=0 处f(x)( )（A）不可导。（B）可导且 f(0)0。（C）取得极大值。（D）取得极小值。4 半圆形闸门半径为 R 米，将其垂直放入水中，且直径与水面齐平，设水的比重=1。若坐标原点取在圆心，x 轴正向朝下，则闸门所受压力 P=( )5 函数 u=x2y3z4 在点 A(1，1，1)处沿从点 A 到点 B(2，3，4)的方向的方向导数等于( )（A）20。（B） -20。（C）（D）6 设平
3、面 D 由 x+y= ，x+y=1 及两条坐标轴围成，I 1= ln(x+y)3dxdy，I 2= (x+y)3dxdy，I 3= sin(x+y)3dxdy，则( )（A）I 1I 2 I3。（B） I3I 1I 2。（C） I1I 3I 2。（D）I 3I 2 I1。7 设 un=(-1)nln(1+ )，则级数( )8 具有特解 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 3=3ex 的三阶常系数齐次线性微分方程是( )（A）y-y-y+y=0。（B） y+y-y-y=0。（C） y-6y+11y-6y=0。（D）y-2y-y+2y=0。二、填空题9 设 a1，a 2，a m(m2)为正数，则
4、 =_。10 设 y=y(x)是由方程 确定的隐函数，则 y=_。11 曲线 y= 的弧长 s=_。12 曲线 在 yOz 平面上的投影方程为_。13 设 z= =_。14 交换二次积分的积分次序 =_。15 设 L 是柱面 x2+y2=1 与平面 z=x+y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 =_。16 幂级数 (x+2)n 在 x=0 处收敛，在 x=-4 处发散，则幂级数 的收敛域为_。17 若二阶常系数齐次线性微分方程 y+ay+by=0 的通解为 y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程 y+ay+by=x 满足条件 y(0)=2，y(0)=0 的解是_
5、。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 求函数 f(x)= 所有的间断点及其类型。19 设 f(x)在(-，+) 内有定义，且对于任意 x 与 y 均有 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又设f(0)=a(a0)，试证明对任意 x，f(x) 都存在，并求 f(x)。20 已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)-0，f(1)=1。证明：()存在 (0，1) ，使得 f()=1-；()存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()=1。21 设 f(x)= ，求曲线 y=f(x)与 x 轴围成的封闭图形的面积。22 设 z=f(xy，yg(
6、x)，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导，且在 x=1处取得极值 g(1)=1，求23 设区域 D=(x，y) x 2+y21，x0 ，计算二重积分 I=24 设为椭球面 的上半部分，点 P(x，y，z) ，为在点 P 处的切平面，p(x ，y，z)为点 O(0，0，0)到平面的距离，求25 ()验证函数 y(x)= (-x+)满足微分方程 y+y+y=ex;()求幂级数y(x)= 的和函数。考研数学一（高等数学）模拟试卷 85 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 此类问题要逐一进行分析，按无穷小阶的定义：
7、 关于：故 f(x)g(x)是 x-a 的 n+m 阶无穷小； 关于：若 nm，故 f(x)g(x)是 x-a的 n-m 阶无穷小； 关于： 例如，x0 时，sinx 与-x 均是 x 的一阶无穷小，但即 sinx+(-x)是 x 的三阶无穷小。 因此，正确，错误。故选 B。【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 由已知 f(x)0，x 0，1，所以函数 f(x)在该区间内单调增加，又由拉格朗日中值定理，可得f(1)-f(0)=f()，(0，1)。因此有 f(0)f()f(1)，即 f(0)f(1)-f(0)f(1)。故选 B。【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解
8、析】 当 x0 时，1-cosx x2，故极限条件等价于 =2。从而可取 f(x)=x2，显然满足题设条件。而 f(x)=x2 在 x=0 处取得极小值，故选 D。【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 如图 1-3-6 所示，任取x，x+dx0，R ，相应的小横条所受压力微元 闸门所受压力 。故选C。【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 故选C。【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 显然在 D 上 x+y1，则 ln(x+y) 30sin(x+y) 3(x+y) 3，从而有，故选 C。【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 C【试题解析】
9、是一个交错级数，而 单调递减趋于零，由莱布尼茨定理知，级数 收敛。【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 B【试题解析】 由 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 3=3ex 是所求方程的三个特解知，r=-1，-1，1为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(r-1)(r+1)2=0，即 r3+r2-r-1=0，对应的微分方程为 y+y-y-y=0，故选 B。【知识模块】 高等数学二、填空题9 【正确答案】 maxa 1，a 2，a m【试题解析】 不妨设 a1 为最大值，则【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 在方程两边对 x 求导得【知识模块】 高等
10、数学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 方程代入原方程可得即 (z 2+y2)2+32(y2-z2)=0。因此，曲线在 yOz 平面上的投影方程为【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 由累次积分的内外层积分限可确定积分区域 D：-1y0 ，1-yx2( 如图 1-6-3 所示 )。则有【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 曲线 L 的参数方程为 其中 t：02。因此【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 (1，5【试题解析】 由题意可知， 的收敛域
11、为(-4，0，则 的收敛域为(-2，2。所以 的收敛域为(1 ，5 。【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 y=x(1-e x)+2【试题解析】 由 y=(C1+C2x)ex 是齐次方程的通解可知，r=1 是齐次方程对应的特征方程的二重根，则特征方程为(r-1) 2=0，即 r2-2r+1=0。则 a=-2，b=1。 设非齐次方程的一个特解为 y*=Ax+B，将之代入原方程得 A=1，B=2 ，非齐次方程的通解为 y=(C1+C2x)ex+x+2。由 y(0)=2，y(0)=0 得 则 C1=0，C 2=-1。因此满足条件的解为 y=-xex+x+2=x(1-ex)+2。【知识模块】 高等
12、数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 函数 f(x)有间断点 x=0，x=1，x=-1，且所以x=0 为跳跃间断点，x=1 为可去间断点， x=-1 为无穷间断点。【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 将 x=y=0 代入 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，得 f(0)=0。由导数定义得=f(x)+f(0)ex=f(x)+aex，所以对任意 x，f(x) 都存在，且 f(x)=f(x)+aex。 解此一阶线性方程，得 f(x)=e dx(aexe-dx,dx+C)=ex(ax+C)，再由 f(0)=0，得 C=0，即 f(x)=axex。【知识模
13、块】 高等数学20 【正确答案】 () 令 F(x)=f(x)-1+x，则 F(x)在0，1上连续，且 F(0)=-100，F(1)=10，于是由介值定理知，存在 (0，1)，使得 F()=0，即 f()=1-。()在0 ，和，1上对 f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点 (0，)，(，1)，使得【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 因为 tt为奇函数，所以其原函数为偶函数，则由 f(-1)=0，得 f(1)=0，即y=f(x)与 x 轴有交点(-1 ，0)，(1，0) 。 又由 f(x)=xx，可知 x0 时，f(x)0，故 f(x)单调减少，从而 f(x)f(-1)=0
14、(-1x0)；当 x0 时，f(x)=xx0，故f(x)单调增加，且 y=f(x)与 x 轴有一交点(1，0) 。综上，y=f(x)与 x 轴交点仅有两个。所以封闭图形的面积【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 =f1(xy，yg(x)y+f 2(xy，yg(x)yg(x)， =f11(xy，yg(x)xy+f12(xy，yg(x)yg(x)+f 1(xy，yg(x)+f 21(xy，yg(x)xyg(x)+f 22(xy，yg(x)yg(x)g(x)+f2(xy， yg(x)g(x)。由 g(x)可导，且在 x=1 处取得极值 g(1)=1，可知 g(1)=0。故 =f11(1， 1)+
15、f12(1，1)+f 1(1，1) 。【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 积分区域 D 如图 1-6-9 所示。因为区域 D 关于 x 轴对称，f(x，y)= 是变量 y 的偶函数，g(x，y)= 是变量 y 的奇函数。 取D1=Dy0，则【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 令 F(x，y，z)= ，设(X，Y，Z)为上任意一点，则的方程为 Fx(X-x)+Fy(Y-y)+Fz(Z-z)=0，即 从而知【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 () 幂级数 的收敛域是 R，因而可在 R 上逐项求导数，得()与 y+y+y=ex 对应的齐次微分方程为 y+y+y=0，其特征方程为 2+1=0，特征根为 1,2= ，所以齐次微分方程的通解为设非齐次微分方程的特解为 y*=Aex，将 y*代入方程 y+y+y=e。可得 A= ，因此，方程通解为【知识模块】 高等数学
