1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 88 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)= 在(-，+)内连续，且 ，则常数 a，b 满足( )（A）a0， b0。（B） a0，b0。（C） a0，b0。（D）a0 ，b0。2 设 f(x)=(x-1)(x-2) 2(x-3)3，则导数 f(x)不存在的点的个数是( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。3 设 f(x)在(0，+)内二阶可导，满足 f(0)=0，f(x)0(x0)，又设 ba0，则axb 时，恒有 ( )（A）af(x) xf(a)。（B） by(x)xf(b)。（C） xf
2、(x) bf(b)。（D）xf(x)af(a)。4 设可微函数 f(x，y，z) 在点(x 0，y 0，z 0)处的梯度向量为 g，l=(0 ，2，2)为一常向量，且 g.l=1，则函数 f(x，y，z)在点(x 0，y 0，z 0)处沿 l 方向的方向导数等于( )5 设 f(x)为连续函数，F(t)= ，则 F(2)等于( )（A）2f(2)。（B） f(2)。（C） -f(2)。（D）0。6 an 和 bn 符合下列哪一个条件可由 发散( )（A）a nbn。（B） anb n。（C） anb n。（D）a n b n。7 方程 x2y+2xy-2y=0 的通解为( )（A）y=C 1e
3、x+C2e2x。（B） y=(C1+C2x)ex。（C） y=C1x+C2x2。（D）y= +C2x。二、填空题8 x表示不超过 x 的最大整数，则 =_。9 若函数 f(x)= 在 x=1 处连续且可导，则a=_，b=_。10 作变量替换 x=lnt，方程 可简化为_。11 =_。12 r= =_。13 设 f(u，v)为二元可微函数，z=f(x y，y x)，则 =_。14 D 是圆周 x2+y2=Rx 所围成的闭区域，则 =_。15 设曲面：x+y+z=1 ，则 (x+y)dS=_ 。16 幂级数 的和函数为_。17 欧拉方程 的通解为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
4、。18 设函数 y=y(x)由方程 ylny-x+y=0 确定，试判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性。19 设 f(x)在a，b上二阶可导，f(a)=f(b)=0。试证明至少存在一点 (a，b)，使20 计算不定积分21 设曲线 L 的参数方程为 x(t)=t-sint，y(t)=1-cost(0t2)。求曲线 L 与 x 轴所围图形绕 y 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V。22 试确定常数 a 与 b，使得经变换 u=x+ay，v=x+by，可将方程(其中 z 具有二阶连续偏导数 )，并求z=z(x+ay，x+by)。23 设 D=(x， y)x2+y2 ，x0，y0 ，1+x
5、 2+y2表示不超过 1+x2+y2 的最大整数。计算二重积分 xy1+x2+y2dxdy。24 计算 的上侧，a为大于零的常数。25 求级数 的和。26 设函数 y=y(x)在(- ，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数。()试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)满足的微分方程；() 求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)= 的解。考研数学一（高等数学）模拟试卷 88 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因 f(x)连续，故 a+ebxO，因此只要 a0 即可
6、。再由可知 x-时，a+e bx 必为无穷大(否则极限必不存在)，此时需 b0，故选 D。【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 设 (x)=(x-1)(x-2)2(x-3)3，则 f(x)=(x) 。使 (x)=0 的点x=1，x=2， x=3 可能是 f(x)的不可导点，还需考虑 (x)在这些点的值。 (x)=(x-2)2(x-3)3+2(x-1)(x-2)(x-3)3+3(x-1)(x-2)2(x-3)2， 显然，(1)0 ，(2)=0 ，(3)=0，所以只有一个不可导点 x=1。故选 B。【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 将 A，B 选项分别改写成
7、或 xf(x)的单调性即可。令 g(x)=xf(x)-f(x)，则 g(0)=0 ，g(x)=xf(x)0(x0)，因此 g(x)g(0)=0(x0)，所以有 故 在(0，+)上单调减小。因此当 axb 时，故选 B。【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 设 l 的方向余弦为 cos，cos，cos，则 =fx(x0，y 0，z 0)cos+fy(x0，y 0，z0 0)cos+fz(x0，y 0，z 0)cos 故选B。【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 交换累次积分的积分次序，得于是 F(t)=(t-1)f(t)，从而 F(2)=f(2)。故选 B。【
8、知识模块】 高等数学6 【正确答案】 B【试题解析】 反证法。假设 收敛，由a nb n 知，收敛，这与题设矛盾，故选 B。【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 D【试题解析】 这是一个欧拉方程，令 x=et，D= ，则原方程化为 D(D-1)y+2Dy-2y=0，即 特征方程为 r2+r-2=0，特征根为 r1=-2，r 2=1，则通解 y=C1e-2t+C2et，即【知识模块】 高等数学二、填空题8 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 2；-1【试题解析】 因 f(x)在 x=1 处连续，则 ，即 1=a+b。要使函数 f(x)在 x=1 处可导，必须有
9、 f-(1)=f+(1)。由已知可得因此可得 a=2，b=-1。【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 令 x=tant，则 dx=sec2tdt【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 f 1.yxy+1+f2.yxlny【试题解析】 利用复合函数求偏导的公式，有 =f1.yxy-1+f2.yxlny。【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 圆周 x2+y2=Rx 所围成的闭区域可用极坐标表示为【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】
10、曲面关于平面 x=0 对称，因此 。又因曲面：x+ y+ z =1 具有轮换对称性，于是【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 令 x2=t，则原级数可化为 由于所以级数 的收敛半径为 2，收敛区间为(-2，2)。即级数 的收敛半径为设级数的和函数为 s(x)，即 对上式从 0 到 x 逐项积分，可得 在上式两端同时对 x 求导，则有【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【试题解析】 令 x=et，则 ，且代入原方程，整理得解此方程，得通解为【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 要判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近
11、的凹凸性，只需判断 y(1)的正负。在方程 ylny-x+y=0 两边对 x 求导得 ylny+y-1+y=0， 上式两边对 x 求导得y“lny+ (y)2+2y=0，于是 y(1)= ，所以曲线 y=y(x)在点(1，1)附近是凸的。【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 设 x=x0 处f(x) 最大，则有 f(x0)=0。由 f(a)=0，f(b)=0 有【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 由旋转体的体积公式有再令t=2-s，那么【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 因为 z 具有二阶连续偏导数，所以 。根据链式法则，有 代入所给方
12、程得按题意，应取 1-4a+3a 2=01-4b+3b 2=0，即 (1-3a)(1-a)=0，(1-3b)(1-b)=0 ，其解分别为若取第一组解时， 的系数为 0，不合题意。同理，取第四组解时， 的系数也为 0。取，等式两边同时对配积分可得 =(x)，其中 (v)为 v 的任意可微函数。于是 z=(v)dv+(u)=(v)+(u)，其中 (u)为 u 的任意的可微函数。(v)为 (v)的一个原函数。由于 与 的任意性，所以两组解其实是一样的。【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 令 D1=(x，y)0x 2+y21，x0，y0，D 2=(x，y)1x 2+y2，x0，y0，则【知识模块
13、】 高等数学24 【正确答案】 可以分块计算其中 I1=，D yz 是 yOz 平面上的半圆： y2+z2a2，z0 ，利用极坐标，得到 Dxy为 xOy 平面上的一个圆域：x 2+y2a2，利用极坐标，得【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 令 S(x)= ，则有【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 () 由反函数的求导公式知 ，于是有代入原微分方程得 y-y=sinx。 (*)()方程(*)所对应的齐次方程 y-y=0 的通解为 y=C1ex+C2e-x。设方程(*)的特解为 y*=Acosx+Bsinx，代入方程(*) ，求得A=0，B= ，因此 y-y=sinx 的通解是 y=Y+y*=C1ex+C2e-x-由 y(0)=0，y(0)= ，得 C1=1，C 2=-1。故所求初值问题的解为 y=ex-e-x-【知识模块】 高等数学
