1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 89 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，且 f(x)在点 x0 处间断，则在点 x0 处必定间断的函数是( )（A）f(x)sinx 。（B） f(x)+sinx。（C） f2(x)。（D）f(x)。2 函数 f(x)=(x2+x-2)sin2x在区间 上不可导点的个数是( )（A）3。（B） 2。（C） 1。（D）0。3 设 f(x)在(1-，1+)内存在导数，f(x)严格单调减少，且 f(1)=f(1)=1，则( )（A）在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)x。（B
2、）在 (1-，1)和(1 ，1+)内均有 f(x)x。（C）在 (1-，1)有 f(x)x，在(1，1+)内均有 f(x)x。（D）在(1-，1)有 f(x) x，在(1，1+)内均有 f(x)x。4 设 f(x)= 下述命题成立的是 ( )（A）f(x)在-1 ，1 上存在原函数。（B）令 F(x)= ，则 F(0)存在。（C） g(x)在-1，1上存在原函数。（D）g(0)存在。5 已知曲面 z=4-x2-y2 上点 P 处的切平面平行于平面 2x+2y+z-1=0，则点 P 的坐标是( )（A）(1 ，-1，2)。（B） (-1，1，2) 。（C） (1，1，2)。（D）(-1，-1，2
3、)。6 累次积分 可写成( )7 若级数 发散，则( )二、填空题8 若 f(x)= 在(-，+)内连续，则 a=_。9 f(x)= g(x)是在 x=0 处可导的奇函数，则 f(0)=_。10 已知 f(ex)=xe-x，且 f(1)=0，则 f(x)=_。11 =_。12 设 z= f(xy)+y(x+y)，f、 具有二阶连续导数，则 =_。13 积分 =_。14 设=(x，y，z)x+y+z=1，x0，y0，z0，则 y2dS=_。15 级数 的和为_。16 微分方程 y= 的通解为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 求函数 f(x)= 的单调区间与极值。18 求
4、19 求由曲线 与直线 y=a(0a1)以及 x=0，x=1 围成的平面图形(如图1-3-3 的阴影部分 )绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a)。20 求经过直线 ，且与点 A(4，1，2)的距离等于 3 的平面方程。21 设函数 u=f(x,，y) 具有二阶连续偏导数，且满足等式 确定 a，b 的值，使等式在变换 =x+ay，=x+by 下简化为22 设函数 f(x)在区间0， 1上连续，且23 计算曲面积分 I= xzdydz+2zydzdx+3xydxdy，其中为曲面 z=1-x2- (0z1)的上侧。24 设 an 为曲线 y=xn 与 y=xn+1(n=1，2，)所围成的区
5、域的面积，记 S1=，求 S1 与 S2 的值。25 求微分方程 y-a(y)2=0(a0) 满足初始条件 y(0)=0，y(0)=-1 的特解。26 设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y(x)0，y(0)=1。过曲线 y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间 0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1-S2 恒为1，求曲线 y=y(x)的方程。考研数学一（高等数学）模拟试卷 89 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析
6、】 若 f(x)+sinx 在点 x0 处连续，则 f(x)=f(x)+sinx-sinx 在点 x0 处连续，与已知矛盾。因此 f(x)+sinx 在点 x0 处必间断。故选 B。【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 设 g(x)=x2+x-2，(x)=sin2x，显然 g(x)处处可导，(x) 处处连续，有不可导点。 只须考查 (x)不可导点处 g(x)是否为零。(x)= sin2x的图形如图 1-2-3 所示，在 内只有不可导点 x=0， ，1，其余均可导。因为 g(0)=-20， 0，g(1)=0，所以f(x)=g(x)(x)在 x=0， 处不可导，在 x=1 可导，
7、其余点均可导。故选 B。【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)在(1-，1+)严格单调减少，则 f(x)在(1-，1+)是凸的，因此在此区间上，y=f(x) 在点(1 ，1) 处的切线 y-1=f(1)(x-1)，即 y=x 在此曲线的上方(除切点外)。因此 f(x)x(x(1- ，1+) ，x1)。【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 由 =0=g(0)可知，g(x)在 x=0 处连续，所以 g(x)在-1，1上存在原函数。故选 C。 以下说明 A、B、D 均不正确：由可知，x=0 是 f(x)的跳跃间断点，所以在包含 x=0 的区间上 f(x)不
8、存在原函数。由 F-(0)= =1，可知 F(0)不存在。由不存在，可知 g(0)不存在。【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 曲面 z=4-x2-y2 在点(x 0，y 0，z 0)处的法线向量为(2x 0，2y 0，1)。由题设知， 则 x0=y0=1，代入 z=4-x2-y2 得 z0=2，故选 C。【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 原积分域为直线 y=x，x+y=2 ，与 y 轴围成的三角形区域，故选C。【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 D【试题解析】 由必发散，故选D。【知识模块】 高等数学二、填空题8 【正确答案】 0【试题解析】 因为
9、 f(x)在(-，0)及(0 ，+) 内连续，所以需要确定数 a，使 f(x)在x=0 处连续。 当 a=0 时f(x)在 x=0 处连续。【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 2g(0)【试题解析】 由 g(x)在 x=0 处可导可知，g(x)在 x=0 处连续。又因为 g(x)是奇函数，所以 g(0)=0。 根据导数的定义可得【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 令 ex=t，则 x=lnt，于是有 f(t)= 积分得由 f(1)=0 得 C=0，故 f(x)=【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 xf(xy)
10、+(x+y)+y(x+y)【试题解析】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 1-sin1【试题解析】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 由曲面积分的计算公式可知其中D=(x，y)x0，y0 ，x+y1 ，故【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 易知 ln(1+x)=【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 y=Cxe -x(x0)【试题解析】 原方程等价为 两边积分得 lny=ln x+lnC。 即 y=Cxe-x(x0)。【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 由 f(x)= 可得，x=0，1。
11、列表讨论如下：f(x)的单调增加区间为(-1 ， 0)及(1，+) ，单调减少区间为 (-，-1)及(0，1)；极小值 f(1)=f(-1)=0，极大值为 f(0)=【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 把由曲线 与直线 y=a(0a1)以及 x=0，x=1 围成的平面图形记为 D，则 D 可分为两个区域D1 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 D2 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 故所求旋转体的体积【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 把 L 的方程改为交面式 则经过 L 的平面可用平面束方程表示为 (x+1)+(3y+2z+2)
12、=0，即 x+3y+2z+2=0。 由点到平面的距离公式有 从而 8 2+45-182=(+6)(8-3)=0。 取 =6，=-1 得 6x-3y-2z+4=0； 取 =3，=8 得 3x+24y+1z+19=0。【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 将以上各式代入原等式，得由题意，令 且 2ab+(a+b)-240，故【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 交换积分次序可得因此，可得【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 补充曲面 1：x 2+ =1，z=0，取下侧。则其中 为与1 所围成的空间区域，D 为平面区域 x2+ 1。由于区域 D 关于 x 轴对称，因此3xydxdy=0。
13、又 故I=。【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 曲线 y=xn 与 y=xn+1 在点 x=0 和 x=1 处相交，所以【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 令 y=p，则 y= ，分别代入原方程，得 ，分离变量并积分得 =ax+C1。由 y(0)=0，y(0)=p(0)=-1 ，得 C1=1，即 y= 故由 y(0)=0 得 C2=0，所以【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 设曲线 y=y(x)上的点 P(x，y)处的切线方程为 Y-y=y(X-x)，它与x 轴的交点为 由于 y(x)0，y(0)=1，因此 y(x)1(x0)。于是又因 根据题设 2S1-S2=1，有并且 y(0)=1，两边对 x 求导并化简得 yy=(y)2，这是可降阶的二阶常微分方程，令 p=y，则上述方程可化 分离变量得 从而有 根据 y(0)=1，y(0)=1 ，可得 C1=1，C 2=1。故所求曲线的方程为y=ex。【知识模块】 高等数学
