1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 91 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)和 (x)在(-，+)上有定义 f(x)为连续函数，且 f(x)0，(x)有间断点，则( )（A）f(x)必有间断点。（B） (x)2 必有间断点。（C） f(x)必有间断点。（D） 必有间断点。2 设 f(x)在闭区间a，b上可导 f(a)= ，则( )（A）f +(a)=0。（B） f+(a)0。（C） f+(a) 0。（D）f +(a)0。3 设常数 k0，函数 f(x)=lnx- 在(0，+)内零点个数为( )（A）3。（B） 2。（C） 1。（D）0。4 设
2、 I1= ，则( )5 累次积分 可以写成( )6 设 a 是常数，则级数 ( )（A）绝对收敛。（B）条件收敛。（C）发散。（D）敛散性与 a 有关。二、填空题7 设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n)，则 f(0)=_。8 曲线 处的切线方程为_。9 曲线 y=f(x)过点 ，且其上任意一点(x，y) 处的切线斜率为 xln(1+x2)，则f(x)=_。10 设(ab).c=2，则(a+b)(b+c).(c+a)=_ 。11 设函数 F(x，y)= =_。12 设 由 ，0z1 所确定，则 =_。13 设 是由锥面 z= 围成的空间区域，是 的整个边界的外侧，则 xdydz+ydz
3、dx+zdxdy=_。14 f(x)= 在 x=-1 处的泰勒展开式为_ 。15 方程 满足条件 y(1)=0 的通解为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 求极限17 证明当 x(-1，1) 时，arctanx= 恒成立。18 ()比较 的大小，说明理由；()记19 过坐标原点作曲线 y=lnx 的切线，该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形D。()求 D 的面积 A；()求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V。20 求直线 在平面：x-y+2z-1=0 上的投影直线 L0 的方程，并求 L0 绕 y 轴旋转一周所成的旋转曲面的方程。21 设 的
4、解，求 u。22 已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1， y)=f(x，1)=0， f(x，y)dxdy=a，其中 D=(x， y)0x1，0y1 ，计算二重积分 I=23 计算曲面积分 I= ，其中是曲面 2x2+2y2+z2=4 的外侧。24 将函数 f(x)= 展开成 x 的幂级数，并求级数 的和。25 利用代换 u=ycosx 将微分方程 ycosx-2ysinx+3ycosx=ex 化简，并求出原方程的通解。26 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。 现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆时的水
5、平速度为 700kmh，经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k=6010 6)，问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?( 注：kg 表示千克，kmh 表示千米小时。)考研数学一（高等数学）模拟试卷 91 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 取 f(x)=1， x(-，+) ，(x)= 则 f(x)，(x) 满足题设条件。由于 f(x)=|1，(x) 2=1，f(x)=1 都是连续函数，故可排除 A、B、C，应选 D。【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 f +(a)=
6、0，故选 D。【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 因 f(x)= ，令 f(x)=0 得唯一驻点 x=e，且在 f(x)的定义域内无f(x)不存在的点，故 f(x)在区间(0，e)与(e ，+) 内都具有单调性。又 f(e)=k0，而所以 f(x)在(0，e)与(e，+)内分别有唯一零点，故选 B。【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，有 tanxx，于是有 。从而，可见有 I1I 2，又由I2 知排除 A，应选 B。【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 由累次积分 可知，积分区域 D 为D=(r，) 0rcos,0 。由
7、r=cos 为圆心在 x 轴上，直径为 1 的圆，可作出 D 的图形如图 1-6-1 所示。该圆的直角坐标方程为 。故用直角坐标表示区域 D 为可见 A、B、C 均不正确，故选 D。【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 由于发散，则 发散。故选 C。【知识模块】 高等数学二、填空题7 【正确答案】 n!【试题解析】 由于f(x)=(x+1)(x+n)+x(x+2)(x+n)+(x+1)(x+n-1)，所以 f(0)=n!。【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 在点 处的切线的斜率为 ，在曲线方程两端分别对 x 求导，得 所求的切线方程为【知识模块】 高等数学9
8、 【正确答案】 (1+x2)ln(1+x2)-1【试题解析】 由题设可知 =xln(1+x2)，且 y(0)= ，则【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 4【试题解析】 (a+b)(b+c).(c+a)=(a+b)b.(c+a)+(a+b)c.(c+a)=(ab).c+(bc).a=(ab).c+(ab).c=4。【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 4【试题解析】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 用平面 Z=z(0z1) 去截积分区域，得椭圆：它所围成的区域 D 的面积为【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试题解析】 在 上利用高斯公式可得【知识模块】
9、 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 y= (x2-1)【试题解析】 由题干方程可知两边积分得由 y(1)=0 得 C=1，则有【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 令 f(x)=arctanx，g(x)= ，要证 f(x)=g(x)在 x(-1，1)时成立，只需证明： f(x)，g(x)在(-1，1)内可导，且当 x(-1，1)时，f(x)=g(x)；存在 x0(-1，1)，使得 f(x0)=g(x0)。 由初等函数的性质知，f(x)与 g(x)都在
10、(-1，1)内可导，且即当 x(-1，1)时， f(x)=g(x)。又 f(0)=g(0)=0，因此当 x(-1，1)时，f(x)=g(x)， 即原等式成立。【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 () 令 f(t)=ln(1+t)-t。 当 0t1 时，f(t)= 0，则 f(t)f(0)=0，即当 0t1 时，0ln(1+t)t1，从而ln(1+t) ntn(n=1，2，)。 又由lnt0得 ()由()知，0u n=因为由夹逼准则得【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 () 设切点的横坐标为 x0，则曲线 y=lnx 在点(x 0，lnx 0)处的切线方程是 由该切线过原点知 lnx
11、0-1=0，从而 x0=e，所以该切线的方程为 因此，平面图形 D 的面积 ()切线 与 x 轴及直线 x=e 所围成的三角形绕直线 x=e 旋转所得的圆锥体体积为 曲线 y=lnx 与 x 轴及直线 x=e 所围成的图形绕直线 x=e 旋转所得的旋转体体积为 因此所求旋转体的体积为【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 过直线 L 作一垂直于平面的平面 1，其法向量 n1 既垂直于 L 的方向向量 s=1，1，-1 ，又垂直于平面的法向量 n=1，-，2 ，由向量积求得又因为(1，0，1)是直线 L 上的点，所以这个点也在平面 1 上，根据点法式得到 1 的方程为(x-1)-3y-2(z-
12、1)=0，即 x-3y-2z+1=0。 因此 L0 的方程为 将 L0 写成参数 y 的方程为因此直线绕 y 轴旋转所得的旋转曲面的方程为即 4x 2-17y2+4z2+2y-1【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 令 r= ，则由 u=u(r)可得同理， 。将其代入原方程，则得 u+u=r2，该方程的通解是 u(r)=C1cost+C2sinr+r2-2，于是其中 C1，C 2 是任意常数。【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 将二重积分 xyfxy(x，y)dxdy 转化为累次积分可得首先考虑 xyfxy(x，y)dx，注意这里是把变量 y 看作常数，故有 由 f(1，y)=f(x
13、 ，1)=0 易知fy(1，y)=f x(x，1)=0。故对该积分交换积分次序可得 再考虑积分 yfy(x，y)dy，注意这里是把变量 x 看作常数，故有【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 因为由于被积函数及其偏导数在点(0，0，0)处不连续，作封闭曲面(外侧)1：x 2+y2+z2=R2，0R 有【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 因为又 f(0)= ，所以因为级数收敛，函数 f(x)在 x= 处连续，所以【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 令 ycosx=u，则 y=usecx，从而 y=usecx+usecxtanxy=usecx+2usecxtanx+usecxtan2x+usec3x。 代入原方程，则u+4u=ex。这是一个二阶常系数非齐次线性方程，其通解为u= ex+C1cos2x+C2sin2x，则【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 由题设，飞机的质量 m=9000kg，着陆时的水平速度 v0=700 kmh。从飞机接触跑道开始记时，设 t 时刻飞机的滑行距离为 x(t)，速度为 v(t)=x(t)。 根据牛顿第二定律，得 又因 由以上两式得 积分得 x(t)= 已知 v(0)=v0，x(0)=0，故得 C= ，从而 当 v(t)0 时，所以飞机滑行的最长距离为 105km 。【知识模块】 高等数学
