1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 36 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下述命题：设 f(x)在任意的闭区间a，b上连续，则 f(x)在(一，+) 上连续；设 f(x)在任意的闭区间a，b上有界，则 f(x)在(一，+) 上有界；设 f(x)在(一， +)上为正值的连续函数，则 在(一 ， +)上也是正值的连续函数；设 f(x)在( 一，+)上为正值的有界函数，则 在(一，+) 上也是正值的有界函数其中正确的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）42 设 f(x+1)1 一 f(x)=1+f(x)，且 f(1)=2，则 f(99)=
2、( )（A）2（B）（C）一 2（D）3 设 a 与 b 是两个常数，且（A）a 为任意数， b=0（B）（C） a=0，b=1（D）二、填空题4 5 设 存在且不为零，则常数 k=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 已知 存在，且 求 f(x)7 设 f(x)是三次多项式，且有8 设 试求 ， 的值9 设函数 f(x)= (x0)，证明：存在常数 A，B，使得当 x0 +时，恒有 f(x)=e+Ax+Bxx+o(x2)，并求常数 A，B 的值10 求11 已知 =D0求常数 A，B，C，D 的值12 求13 设 a1=2，a n+1= (n=1，2，)，证明 存在，并求其
3、极限值14 设 x1=1， xn+1=1+ (n=1，2，)，求15 如果数列x n收敛，y n发散，那么x nyn是否一定发散?如果x n和y n都发散，那么x nyn的敛散性又将如何?16 利用夹逼准则证明：17 设 a0， x10，18 试讨论函数 g(x)= 在点 x=0 处的连续性19 求函数 F(x)= 的间断点，并判断它们的类型20 求函数 f(x)= 的间断点并指出其类型21 设 f(x)= 求 f(x)的间断点并判定其类型22 设 f(x)= 求 f(x)的间断点，并说明间断点的类型23 设 f(x；t)= 其中(x 一 1)(t 一 1)0，xt，函数 f(x)由下列表达式
4、确定，求 f(x)的连续区间和间断点，并讨论 f(x)在间断点处的左右极限24 设当 0x1 时，函数 f(x)=xsinx，其他的 x 满足关系式 f(x)+k=2f(x+1)，试求常数 k 使极限 存在25 设 x1 且 x0证明：26 27 28 求函数 f(x)= 的所有间断点，并判断它们的类型29 设 f(x)在区间(一，+)上连续，且满足 f(x) 0xetf(t)dt+1=x+1 求 f(x)的表达式，并证明所得到的 f(x)的确在( 一，+)上连续考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 36 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】
5、 B【试题解析】 与 是正确的， 与是不正确的，正确的个数为 2 正确设 x0(一，+)，则它必含于某区间 a，b中由题设 f(x)在任意闭区间a，b上连续，故在 x0 处连续，所以在(一 ，+)上连续论证的关键是：函数f(x)的连续性是按点来讨论的在区间上每一点连续，就说它在该区间上连续 不正确函数 f(x)在a，b上有界的“界”是与区间有关的例如 f(x)=x 在区间a，b上，|f(x)|max|a|，|b| M，这个“界”与区间a，b 有关容易看出，在区间(一 ，+)上，f(x)=x 就无界了 正确设 x0(一，+).f(x 0)0 且 f(x)在 x0 处连续，由连续函数的四则运算法则
6、知， 在 x0 处也连续，所以 在(一， +)上连续不正确例如函数 f(x)= ，在区间(一，+)上，0f(x)1所以在(一，+)上 f(x)有界而 在(一，+)上显然无界，这是因为【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 由条件 f(x+1)1 一 f(x)=1+f(x)知 f(x)1因若不然，由 f(x)=1 推知f(x)=一 1，矛盾于是由所给条件推知这里 f(x 一1)0因为若有某 x0 使 f(x0 一 1)=0，则由原给条件有 f(x0)1 一 f(x0 一 1)=1+f(x0一 1)，得 f(x0)=1与已证 f(x)1矛盾由(*)易知 f(x+4)=f(x)，即 f
7、(x)周期为 4，所以 f(99)=f(3)=【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 由题设知 存在，故必有利用洛必达法则，得 故应选(B)【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答案】 e -【试题解析】 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 100【试题解析】 上式存在且不为零的充要条件是指数 99 一 k+1=0，即 k=100.【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 因为 所以 f(2a)=f(4a)=0，从而得知 x-2a，x 一 4a 为 f(x)的因式又因为 f(x)为三次多
8、项式，可令 f(x)=b(x 一2a)(x 一 4a)(xc)于是【知识模块】 微积分8 【正确答案】 显然由条件知 0，而 因此有 +1=0，且【知识模块】 微积分9 【正确答案】 当 x0 +时，有【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 因为 所以a n有下界下面再证明a n单调递减【知识模块】 微积分14 【正确答案】 假设 xnx n-1，则即 xn+1x n，由数学归纳法可知对一切 n，都有 xn+1x n又 xn+1= 所以x n单调增加且有上界，x n必收敛记
9、两边取极限，得 a=1+ ，即 a2 一 a 一 1=0，解得 因 xn1，故负值不合题意，于是【知识模块】 微积分15 【正确答案】 在题设两种情况下，x nyn的敛散性都不能确定现在先就 xn收敛，y n发散的情况来分析利用 (xn0)这个恒等式，就可得到下述结论：若x n收敛且不收敛于零，y n发散，则x nyn必发散这是因为若x nyn收敛，且又x n收敛且极限不等于零，则从上述恒等式及极限相除法则，可知y n收敛，这与假设矛盾若 ，且y n发散，则x nyn可能收敛，也可能发散，如：xn= yn=n，则 xnyn=1，于是x nyn收敛；x n= yn=(一 1)nn，则 xnyn=
10、(一 1)n，于是x nyn发散现在再就x n和y n都发散的情况来分析x nyn的敛散性有下面的结论：若x n和y n都发散，且两者至少有一个是无穷大，则x nyn必发散这是因为如果x nyn收敛，而 xn为无穷大，从等式 便得到y n收敛于零，这与假设矛盾若x n和 yn都不是无穷大且都发散，则 xnyn可能收敛，也可能发散，如：x n=yn=(-1)n，有 xnyn=1，于是x nyn收敛；x n=(一 1)n，y n=1 一(-1)n，有 xnyn=(一 1)n 一 1，于是 xnyn发散【知识模块】 微积分16 【正确答案】 因所以 且当 x时，左边和右边的极限都是 故由夹逼准则，原
11、式得证【知识模块】 微积分17 【正确答案】 故x n有下界，又 故x n单调递减，所以 存在设所以负值不合题意故【知识模块】 微积分18 【正确答案】 g(0)=(e x+)|x=0=1+=所以当 0 且 =一 1 时，有=g(0)=0，故 g(x)在 x=0 处连续；当 0 且 一 1 时，有故点 x=0 是 g(x)的跳跃间断点；当 0 时，点 x=0 是 g(x)的振荡间断点【知识模块】 微积分19 【正确答案】 对于函数 F(x)的分段点 x=0，因故 x=0 是函数 F(x)的跳跃间断点当 x0 时，F(x)= 在 x=1 处没有定义，且极限不存在故 x=1 是函数 F(x)的振荡
12、间断点当 x0 时，F(x)=，k=0，1，2，处没有定义，则这些点都是函数F(x)的间断点特别地，对点 有故 x0= 是函数 F(x)的可去间断点；而点列k=1，2，显然是函数 F(x)的无穷间断点【知识模块】 微积分20 【正确答案】 显然 f(0)无意义则 x=1 为跳跃间断点 由于 f(x)是偶函数，则 x=一 1 也是跳跃间断点【知识模块】 微积分21 【正确答案】 故 x=0 为可去间断点又 故 x=一 1 为跳跃间断点【知识模块】 微积分22 【正确答案】 f(x)在区间( 一 1，0)，(0，1)及(1，+) 上都是初等函数，且是连续的f(0)无定义，故 x=0 是间断点因为所
13、以 x=0为跳跃间断点f(1)无定义，故 x=1 是间断点因为不存在，所以 x=1 为无穷间断点【知识模块】 微积分23 【正确答案】 显然 x=1 为间断点，连续区间为(一，1)和(1，+)又 所以 x=1 为无穷间断点【知识模块】 微积分24 【正确答案】 因求“0 0”型未定式极限的常用方法是将该类幂指函数 u(x)v(x)化为复合函数 ev(x)lnu(x)，故 其中，(*)处通过等价无穷小替换与洛必达法则求得：根据题设的关系式 f(x)=2f(x+1)一 k，得 由上述结果，知 f(x)在x=0 处的右极限 =1；而其左极限【知识模块】 微积分25 【正确答案】 因为 当 0x1 时
14、，xln(1-x)0；当 x0 时，仍有 xln(1-x)0所以为证 ，等价于证明，当 x1 且 x0 时 ln(1 一 x)+x 一 xln(1 一 x)0 令 f(x)=ln(1 一 x)+xxln(1一 x)，有 f(0)=0，且 可知 f(0)=0，f“(0)=1 0，所以 f(0)=0 是 f(x)的唯一极小值，是最小值，所以当 x1 时，f(x)0，且仅当 x=0 时 f(x)=0证毕【知识模块】 微积分26 【正确答案】 因此原式为 型再由(*)式，用等价无穷小替换，得【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 间断点有 x=一 2，一 1，0
15、，1在点 x1=一 2 处，由可知 f(x)在点 x1=一 2 处的半径小于 1 的去心邻域内有界；同时，在任一半径小于 1 的去心邻域内，f(x)的函数值无限振荡，振幅不趋于 0，所以 x1=一 2 是 f(x)的振荡间断点在点 x2=一 1 处，由于在点 x2=一 1 处的半径小于 1 的去心邻域内有界；而 ，从而可知 x2=一 1 是 f(x)的可去间断点在点 x3=0 处，由于 =，所以 x3=0 是 f(x)的无穷间断点在点 x4=1 处，由于 所以 x4=1 是 f(x)的跳跃间断点【知识模块】 微积分29 【正确答案】 化成常微分方程处理为此，令 F(x)= 0xetf(t)dt
16、+1，有 F(x)=exf(x)，f(x)=e-xF(x)代入原给方程，得 e -xF(x)F(x)=x+1， F(x)F(x)=(x+1)e x，两边积分，得 因 F(0)=00etf(t)dt+1=1，所以 故 F2(x)=2xex+1，F(x)= 但因 F(0)=10，所以取“+”，于是 下面证明，在区间(一 ，+)上，函数 (x)=2xex+10 事实上，(x)=2(x+1)e x，令 (x)=0，得x=一 1当 x一 1 时，(x) 0；当 x一 1 时，(x)0，所以 min=(一 1)=12e-1= 从而知 f(x)表达式的分母根号内恒为正，故 f(x)在(一，+)上连续讨论完毕【知识模块】 微积分
