1、考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶矩阵，且 A 的行列式A0，则 A( ) （A）必有一列元素全为 0（B）必有两列元素对应成比例（C）任一列向量是其余列向量的线性组合（D）必有一列向量是其余列向量的线性组合2 设 n 阶方程 A( 1， 2，, n)，B( 1， 2， ， n)，AB( 1， 2， n)，记向量组(I)： 1， 2，, n，()： 1， 2， n， ()： 1， 2， n，如果向量组()线性相关，则 ( ) （A）向量组(I)与()都线性相关（B）向量组(I)线性相关（C
2、）向量组()线性相关（D）向量组(I)与()中至少有一个线性相关3 设函数 f(x)在(，+)内有定义，x 00 是函数 f(x)的极大值点，则( ) （A）x 0 必是函数 f(x)的驻点（B） x0 必是函数f( x)的最小值点（C）对一切 x0 都有 f(x)f(x0)（D）x 0 必是函数f(x)的极小值点4 函数 yC 1exC 2e2xxe x 满足的一个微分方程是( ) （A）y-y2y3xe x（B） yy2y3e x（C） yy2y3e x（D）yy2y3xe x5 设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax0 仅有零解的充分条件是 ( ) （A）A 的列向量线性相关（B）
3、 A 的行向量线性相关（C） A 的行向量线性无关（D）A 的列向量线性无关6 设 A 为 n 阶实矩阵，A T 为 A 的转置矩阵，则对于线性方程组(I)AX 0 和()ATAx0 必有( ) （A）() 的解是 (I)的解，(I)的解也是()的解（B） (I)的解是 ()的解，但 ()的解不是(I)的解（C） (I)的解不是 ()的解， ()的解也不是(I)的解（D）() 的解是 (I)的解，但(I)的解不是()的解7 若函数 yf(x)有 f(x0)12，则当x0 时，该函数在 xx 0 点外的微分 dy 是( ) （A）与x 等价的无穷小（B）比 x 低阶的无穷小（C）比 x 高阶的无
4、穷小（D）与x 同阶的无穷小8 A 是 n 阶矩阵，且 A30，则( ) （A）A 2AE 与 A2AE 均可逆（B） A 可逆，EA 也可逆（C） A 不可逆，且 A2 必为 0（D）A 不可逆，EA 也不可逆9 设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵(1/3 A 2 )-1 有一个特征值等于（A）4/3（B） 3/4（C） 1/2（D）1/4二、填空题10 若 x0 时，(1ax 2)1/41 与 xsinx 的等价无穷小，则 a_11 已知 f(lnx)1x，则 f(x)_12 若四阶矩阵 A 与 B 为相似矩阵，A 的特征值为 12、13、14、15，则行列式B -1E_13
5、 设函数 f(u)可导，yf(x 2)当自变量 x 在 x1 处取得增量x01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 01，则 f(1)( )14 已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)=a(x12，x 22，x 32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3 经正交变换 x=Py可化成标准形 f=6y12，则 a=_15 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 的秩为 1，A 的各行元素之和为 3，则 f 在正交变换 x=Qy 下的标准形为_ 16 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2。的秩为_.17 求一个正交变换，化二次型 f=x
6、12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x2-8x2x3 为标准形18 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+3x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，则 f 的正惯性指数为_.19 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，3，若行列式 2A =-48，则 =_.20 设 A，B 为 3 阶矩阵，且 A =3， B =2， A -1+B=2，则 A+B -1 =_.21 设 A 为 3 阶矩阵，A=3，A *为 A 的伴随矩阵若交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，则BA *=_22 若 a1，a 2，a 3， 1， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式a 1，a
7、 2，a 3， 1=m，a 1，a 2， 2，a 3=n ，则 4 阶行列式a 1，a 2，a 3， 1+2=23 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A =2， B=-3，则2A *B-1=_24 若 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式B -1-E =_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 求： 微分方程 yy2x 的通解26 设(x 0，y 0)是抛物线 yax 2bxc 上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是_考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有
8、一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数积分学二、填空题10 【正确答案】 -4【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 x+e x+C【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 2
9、4【试题解析】 由已知 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征值相同， 即 B 的特征值也为12、13、14、15，从而 B-1E 的特征值为 1，2，3，4，因此B -1E 1.2.3.424【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 0.5【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 2【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 3y 12【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 2【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 f=9y 32【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 2【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 -1【知识模块】 一元函数积分学
10、20 【正确答案】 3【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 -27【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 n-m【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 -2 2n-1/3【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 24【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 【正确答案】 方程 yy2x 对应的齐次方程的特征方程为 210，特征根为 1，2 i，故对应的齐次方程通解为 C1cosxC 2sinx 因为 a0 不是特征根，因此原方程的特解可设为 y*AxB， 代入原方程得 A2，B0所以原方程的通解为 yC 1cosxC 22sinx2x【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 y2axb，y(xo) 2ax 0b，过(x 0，y 0)点的切线方程为 yy 0(2ax 0b)(x x 0)，即 y(ax 02bx 0c) (2ax 0b)(xx 0)， 此切线过原点，把 xy0 代入上式，得ax 02bx 0c -2ax 02bx 0， 即 ax02c ，所以系数应满足的关系式为 ca0 或 ax02c，b 任意【知识模块】 一元函数积分学
