1、考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 25 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列广义积分发散的是( )二、填空题2 =_3 =_4 设 f(x)= =_5 设 f(x)= 则 15f(x 一 1)dx=_6 曲线 y=x4e 一 x2(x0)与 x 轴围成的区域面积为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 求8 求9 求10 求11 求xtanxsec 4xdx12 求arcsinxarccosxdx13 14 当 x0 时，f(x)=x ，设 g(x)= 当 x0 时，求 0x(t)g(x 一 t)dt15 设 f(x)C一 ，且
2、 f(x)= +一 f(x)sinxdx，求 f(x)16 设 f(x)=17 求 一 11(|x|+x)e 一|x| dx18 求 013x2arcsinxdx19 计算20 设 f(x)在区间0，1上可积，当 0xy1 时，|f(x)一 f(y)|arctanx 一 arctany|，又 f(1)=0，证明：| 01f(x)dx| 21 设 f(x)在区间0，1上可导， f(1)= 证明：存在 (0，1)，使得2f()+f()=022 设 f(t)在0，上连续，在(0，) 内可导，且 0f(x)cosxdx=0f(x)sinxdx=0证明：存在 (0，) ，使得 f()=022 设 L:y
3、=sinx(0x )，由 x=0、L 及 y=sint 围成面积 S1(t)；由 y=sint、L 及 x=围成面积 S2(t)，t 其中 0t23 t 取何值时，S(t)=S 1(t)+S2(t)取最小值？24 t 取何值时，S(t)=S 1(t)+S2(t)取最大值？25 曲线 y=(x 一 1)(x 一 2)和 x 轴围成平面图形，求此平面图形绕 y 轴一周所成的旋转体的体积26 设一抛物线 y=ax2+bx+c 过点(0，0)与(1 ，2)，且 a0，确定 a，b，c，使得抛物线与 x 轴所围图形的面积最小考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 25 答案与解析一、选择题下列每题给出的四
4、个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 中，x=0 为该广义积分的瑕点，且 sinxx 1，由 11，得广义积分x=一 1 为该广义积分的瑕点，且收敛，同理也收敛，故 收敛；为连续函数，因为收敛；根据广义积分收敛的定义，收敛，选(A)【知识模块】 一元函数积分学二、填空题2 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 e 一 1 一 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模
5、块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 令 =t，则 x=1n(1+t2)，dx= 则=2ln(1+t2)dt=2tln(1+t2)一=2tln(1+t2)一 =2tln(1+t2)一 4t+4arctant+C【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 0xf(
6、t)g(x 一 t)dt 0xf(x 一 u)g(u)(一 du)=0xf(x 一 u)g(u)du，(1)当 0x 时， 0xf(t)g(x 一 t)dt=0x(x 一 u)sinudu=x 一 sinx;(2)当 x 时， 0xf(t)g(x一 t)dt= (x 一 u)sinudu=x 一 1，于是 0xf(t)g(x 一 t)dt=【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 令 一 f(x)sinx 一 dx=A，则 f(x)= 于是 f(x)sinx=+Asinx，两边从一 到 积分得【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】
7、由定积分的奇偶性得 一 11(|x|+x)e 一|x| dx=一 11|x|e 一|x| dx=201xe 一 xdx=一 201xd(e 一 x=一 2xe 一 x|01+201e 一 xdx=一 2e 一 1 一 2e 一 x|01=2 一 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 013x2arcsinxdx【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 由|f(x)|=|f(x)一 f(1)|=|arctanx 一 arctanl|=|arctanx 一 |得| 01f(x)dx01|f(x)|dx01f(x)|arctanx 一【
8、试题解析】 由 f(x)xbg(t)dt=g(x)axf(t)dt 得 g(x)axf(t)dt+f(x)bxg(t)dt=0 即 axf(t)dtbxg(t)dt=0，则辅助函数为 (x)=axf(t)dtbxg(t)dt【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 令 (x)=x2f(x)，由积分中值定理得 f(1)= x2f(x)dx=c2f(c)，其中c0， ，即 (c)=(1)，显然 (x)在区间0，1 上可导，由罗尔中值定理，存在(c， 1) (0，1)，使得 ()=0而 (x)=2(x)+x2f(x)，所以 2f()+2f()=0，注意到 0，故 2f()+f()=0【知识模块
9、】 一元函数积分学22 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)sintdt，因为 F(0)=F()=0，所以存在 x1(0，)，使得 F(x1)=0，即 f(x1)sinx1=0，又因为 sinx10，所以 f(x1)=0设 x1 是 f(x)在(0，)内唯一的零点，则当 x(0， )且 xx1 时，有 sin(x 一 x1)f(x)恒正或恒负，于是0sin(xx1)f(x)dx0而 0sin(x 一 x1)f(x)dx=cosxi0f(x)sinxdx 一 sinxi0f(x)cosxdx=0，矛盾，所以 f(x)在(0，) 内至少有两个零点，不妨设 f(x1)=f(x2)=0，x 1，x
10、 2(0，)且 x1 x2，由罗尔中值定理，存在 (x1，x 2) (0，)，使得f()=0【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 当 t= 时，S(t)最小，且最小面积为【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 当 t=0 时， S(t)最大，且最大面积为 S(0)=1【试题解析】 S 1(t)=tsint 一 0tsinxdx=tsint+cost 一 1，S 2(t)=S(t)=S1(t)+S2(t)=2(t一号)sint+2cost 一 1【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 取x，x+dx 1，2，d=2x|(x 一 1)(x 一 2)|dx=一 2x(x 一 1)(x一 2)dx，V= 12d=一 212(x33x2+2x)dx=【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 因为曲线过原点，所以 c=0，又曲线过点(1，2)，所以a+b=2，b=2 一 a因为 a0，所以 b0，抛物线与 x 轴的两个交点为 0， ，所以 令 S(a)=0，得 a=一 4，从而 b=6，所以当 a=一 4，b=6，c=0 时，抛物线与 x 轴所围成的面积最小【知识模块】 一元函数积分学
