1、考研数学三（二次型）模拟试卷 3（无答案）一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵则（A）当 mn 时，必有行列式丨 AB 丨0.（B）当 mn 时，必有行列式丨 AB 丨=0（C）当 nm 时，必有行列式丨 AB 丨0（D）当 nm 时，必有行列式丨 AB 丨=0 2 设 n 维行向量 =(1/2， 0，,0，1/2)，矩阵 A=E-T，B=E+2 T,其中 E 为 n 阶单位矩阵，则 AB=（A）0（B） -E（C） E（D）E+ T3 设 n 阶矩阵 A 非奇异(n2)，A *是 A 的伴随矩阵，则（A）(A *)*=丨
2、 A 丨 n-1A（B） (A*)*=丨 A 丨 n+1A（C） (A*)*=丨 A 丨 n-2A（D）(A *)*=丨 A 丨 n+2A4 设 A 是任一 n(n3)阶方阵，A *是其伴随矩阵，又 k 为常数，且 k0，1，则必有(kA)*=（A）kA *（B） kn-1A*（C） knA*（D）k -1A*.5 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A3=0，则（A）E-A 不可逆， E+A 不可逆（B） E-A 不可逆，E+A 可逆（C） E-A 可逆，E+A 可逆（D）E-A 可逆， E+A 不可逆6 设 A，B，A+B，A -1+B-1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A
3、-1+B-1)-1 等于（A）A -1+B-1（B） A+B（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -17 设函数 f(x)在(，+)内有定义，x 00 是函数 f(x)的极大值点，则( ) （A）x 0 必是函数 f(x)的驻点（B） x0 必是函数f( x)的最小值点（C）对一切 x0 都有 f(x)f(x0)（D）x 0 必是函数f(x)的极小值点8 函数 yC 1exC 2e2xxe x 满足的一个微分方程是( ) （A）y-y2y3xe x（B） yy2y3e x（C） yy2y3e x（D）yy2y3xe x9 设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax0 仅有零解的充分条件
4、是 ( ) （A）A 的列向量线性相关（B） A 的行向量线性相关（C） A 的行向量线性无关（D）A 的列向量线性无关10 设 A 为 n 阶实矩阵，A T 为 A 的转置矩阵，则对于线性方程组(I)AX 0 和()ATAx0 必有( ) （A）() 的解是 (I)的解，(I)的解也是()的解（B） (I)的解是 ()的解，但 ()的解不是(I)的解（C） (I)的解不是 ()的解， ()的解也不是(I)的解（D）() 的解是 (I)的解，但(I)的解不是()的解11 若函数 yf(x)有 f(x0)12，则当x0 时，该函数在 xx 0 点外的微分 dy是( ) （A）与x 等价的无穷小（
5、B）比 x 低阶的无穷小（C）比 x 高阶的无穷小（D）与x 同阶的无穷小12 设函数 f(u)可导，yf(x 2)当自变量 x 在 x1 处取得增量x01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 01，则 f(1)( )二、填空题13 已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3 经正交变换 x=Py可化成标准形 f=6y12，则 a=_14 若 1， 2， 3， 1， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式丨 1， 2， 3， 1 丨=m，丨 1， 2， 2， 3 丨=n，则 4 阶行列式丨 3， 2， 1， 1+2 丨=_.15
6、 设 1， 2， 3 均为 3 维列向量，记矩阵 A=( 1， 2， 3)， B=(1+2+3， 1+22+43， 1+32+93). 如果丨 A 丨=1，那么丨 B 丨=_16 设 n 维向量 =(a，0，0，a) T，a T， B=E+1/a T 其中 A 的逆矩阵为 B，则 a=_.17 设矩阵 A 满足 A2+A-4E=0，其中 E 为单位矩阵，则(A-E) -1=_.18 若四阶矩阵 A 与 B 为相似矩阵，A 的特征值为 12、13、14、15，则行列式B -1E_19 A 是 n 阶矩阵，且 A30，则( ) 20 已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)=a(x12，x 22，x 32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3 经正交变换 x=Py可化成标准形 f=6y12，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，已知矩阵 B=E+ATA，试证：当 0时，矩阵 B 为正定矩阵22 设 A 为 n 阶非零矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，当 A*=AT 时，证明丨 A 丨023 设(x 0，y 0)是抛物线 yax 2bxc 上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是_
