1、考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 28 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 均不存在，则下列命题正确的是 ( )2 设（A）2（B） 4（C） 6（D）83 极限 =A0 的充要条件是 ( )（A）1（B） 1（C） 0（D）与 无关4 设当 xx 0 时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是 ( )（A）设当 xx 0 时，g(x)是无穷小，则 f(x)g(x)必是无穷小（B）设当 xx 0 时，g(x)不是无穷小，则 f(x)g(x)必不是无穷小（C）设在 x=x0 的某邻域 g(x)无界，则当 xx 0 时，f(x)g(x) 必是无穷
2、大（D）设在 x=x0 的某邻域 g(x)有界，则当 xx 0 时，f(x)g(x)必不是无穷大5 设当 xx 0 时，(x)，(x)(x)0)都是无穷小，则当 xx 0 时，下列表达式中不一定为无穷小的是 ( )（A）（B） 2(x)+3(x).（C） ln1+(x).2(x)（D）|(x)|+|(x)|6 设当 x0 时，e tanx 一 ex 与 xn 是同阶无穷小，则 n 为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）47 设当 x0 时，f(x)=xsinax 与 g(x)=x2ln(1 一 bx)是等价无穷小，则 ( )（A）a=1 ，（B） a=1，（C） a=一 1，（D）a=
3、一 1，8 设当 x0 时，f(x)=ax 3+bx 与 g(x)=0sinx( 一 1)dt 等价，则 ( )（A） ，b=1（B） a=3，b=0（C） ，b=0（D）a=1 ，b=09 若 f(x)= 在(一，+)上连续，且 =0，则 ( )（A）0，k0（B） 0，k0（C） 0，k 0（D）0，k010 设 f(x)= ，则 f(x)有 ( )（A）1 个可去间断点，1 个跳跃间断点（B） 1 个跳跃间断点，1 个无穷间断点（C） 2 个可去间断点（D）2 个无穷间断点11 若 f(x)在(a，b)内单调有界，则 f(x)在(a ，b)内间断点的类型只能是 ( )（A）第一类间断点（
4、B）第二类间断点（C）既有第一类间断点也有第二类间断点（D）结论不确定二、填空题12 设 a 为常数， x表示不超过 x 的最大整数，又设 存在，则 a=_，上述极限值=_13 设 f“(x0)=2，则14 极限15 设 =0，则 ， 的值分别为_16 若当 x0 时，有 ，则 a=_17 若 f(x)= 是(一，+)上的连续函数，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设函数 f(x)连续可导，且 f(x)=0，F(x)= 0xtn-1f(xn 一 tn)dt，求19 求 f(x)= 的连续区间、间断点并判别间断点的类型20 设函数 f(x)在a，b上连续，x 1，
5、x 2，x n，是a，b上一个点列，求21 设 f(x)对一切 x1，x 2 满足 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，且 f(x)在 x=0 处连续证明：函数 f(x)在任意点 x0 处连续22 设 5 且为常数，则 k 为何值时极限 存在，并求此极限值23 设 f(x)= 求 fg(x)24 求25 求下列极限：26 设 f(x)=x2+ax+b，证明：|f(1)|，|f(3)|，|f(5)|中至少有一个不小于 227 求极限28 求极限29 求极限30 求极限31 求极限 ，a i0 且 ai1，i=1，2，n，n232 设 =A(a0，a1)，求考研数学三（函数、极限、连续）模拟
6、试卷 28 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 用反证法证明(C)正确【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 设 f(x)= 当 x0 时为无界变量，不是无穷大令 g(x)=x，当x0 时为无穷小，可排除(A)当 x0 时，令 f(x)=x2，g(x)= 可排除(B)，(C)【知识模块】 微积分5 【正确答案】 A【试题解析】 有限个无穷小的和、差、积、绝对值还是无穷小【知识模块】 微积分6 【正确答案】
7、 C【试题解析】 则 n=3，此时【知识模块】 微积分7 【正确答案】 A【试题解析】 由泰勒公式 sin ax= +o(x3)(x0)，有【知识模块】 微积分8 【正确答案】 C【试题解析】 由于 ，当 b0 时，该极限为，于是，b=0从而【知识模块】 微积分9 【正确答案】 D【试题解析】 若 0，则必存在 x0 使得 =0，即分母为 0，函数存在无定义点，矛盾故 0；又 故 k0【知识模块】 微积分10 【正确答案】 A【试题解析】 x=0 和 x=1 为 f(x)的间断点，其余点连续则 x=0 为可去间断点 (*)处因 x1 时，ln|x|=ln x=ln(1+x 一 1)x 一 1，
8、则 x=1 为跳跃间断点答案选择(A)【知识模块】 微积分11 【正确答案】 A【试题解析】 不妨设 f(x)单调增加，且|f(x)|M ，对任一点 x0(a，b) ，当 xx 0-时，f(x)随着 x 增加而增加且有上界，故 存在；当 xx 0+时，f(x)随着 x 减小而减小且有下界， 存在，故 x0 只能是第一类间断点【知识模块】 微积分二、填空题12 【正确答案】 一 2；2【试题解析】 x表示不超过 x 的最大整数，例如=3，一 =-4所以因此对于所讨论的极限应分 x0 -与 x0 +讨论所以当且仅当 a=一 2 时上述极限存在，该极限值为 2【知识模块】 微积分13 【正确答案】
9、1【试题解析】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 一 3【试题解析】 当 x0 时，有 ，且故 a=一 3【知识模块】 微积分17 【正确答案】 1【试题解析】 f(0)=a由 f(x)在 x=0 处连续，可得【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 令 xn 一 tn=u，则 F(x)=0xtn-1f(xn 一 tn)dt= 于是【知识模块】 微积分19 【正确答案】 f(x)无定义的点是使 1 一 x=0 和 的点，即 x=1
10、和 x=0，所以 f(x)的连续区间为(一 ，0)(0，1)(1，+)【知识模块】 微积分20 【正确答案】 本题考虑夹逼准则由 f(x)在a ，b上连续，知 ef(x)在a ，b 上非负连续，那么存在 M，m，使得 M，m 分别为 ef(x)在a ，b上的最大值和最小值，则有 0me f(x)M，于是【知识模块】 微积分21 【正确答案】 已知 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，令 x2=0，则 f(x1)=f(x1)+f(0)，得 f(0)=0，又 f(x)在 x=0 处连续，则有 =f(0)=0，而 f(x0+x)一 f(x0)=f(x0)+f(x)一 f(x0)=f(x)，两边
11、取极限得到 ，故函数f(x)在任意点 x0 处连续【知识模块】 微积分22 【正确答案】 当 k0 时，I=一不存在；【知识模块】 微积分23 【正确答案】 本题考查分段函数的复合方法下面用解析法求解首先，广义化为 fg(x)= 由 g(x)的表达式知当 g(x)0 时，即2e x 一10x0或 x2 一 10x0 ，而 2e x 一 10x0=x一 ln 2x0=x一 ln 2， x 2 一 10x0= 一 1x1x0=0 x1；当 g(x)0 时，即2e x 一 10x0或x 2 一 10x0，而 2e x 一 10x0=x一 ln 2x0=一 ln 2x0， x 2 一 10x0=x1
12、或 x一 1x0=x1 综上，得 fg(x)=【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 (1)这是“”型未定式极限，首先通分变成 型未定式使用洛必达法则求极限 (2)是“1 ”型未定式极限，可以使用洛必达法则求极限，也可以凑成第二个重要极限，还可以利用等价无穷小代换根据海涅定理，原式= (3)原式 = (4)当 x0 时，e tanxesinx=esinx(etanx-sinx 一 1)tan xsin x，xsin 2xx 3，故【知识模块】 微积分26 【正确答案】 用反证法设|f(1)|，|f(3)|，|f(5)|都小于 2，即|f(1)|=|a+b
13、+1|2，|f(3)|=|3a+b+9|2，|f(5)|=|5a+b+25|2，则 |f(1)一 2f(3)+f(5)|f(1)|+2|f(3)|+|f(5)|2+22+2=8而事实上，|f(1)一 2f(3)+f(5)|=|a+b+16a 一 2b-18+5a+b+25|=8，与上面结论矛盾，故|f(1)|，|f(3)|，|f(5)|中至少有一个不小于 2【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 【知识模块】 微积分29 【正确答案】 【知识模块】 微积分30 【正确答案】 【知识模块】 微积分31 【正确答案】 【知识模块】 微积分32 【正确答案】 因为 又x0 时，a x 一 1=exlna 一 1xlna，【知识模块】 微积分
