1、考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x)= 的有界区间( )（A）(一 1，0) （B） (0，1) （C） (1，2) （D）(2 ，3)2 设 f(x)在( 一，+)内有定义，且（A）x=0 必是 g(x)的第一类间断点（B） x=0 必是 g(x)的第二类间断点（C） x=0 必是 g(x)的连续点（D）g(x)在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关3 下列各式中正确的是( )4 设 f(x)在a，b上连续，且 f(a)0，f(b)0，则下列结论中错误的是( )（A）至少存在一点 x0(a
2、，b)，使得 f(x0)f(a)（B）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)f(b) （C）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=0（D）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=05 设 x0 时，ax 2+bx+ccosx 是比 x2 高阶无穷小，其中 a，b，c 为常数，则( )6 当 a 取下列哪个值时，函数 f(x)=2x3 一 9x2+12xa 恰好有两个不同的零点?( )（A）2（B） 4（C） 6（D）87 设 x0 时，(1+sinx) x 一 1 是比 xtanxn 低阶的无穷小，而 xtanxn 是比( 1)ln(1+x2)低阶的无穷小，则正整数
3、n 等于( )（A）1（B） 2（C） 3（D）48 设 f(x)和 (x)在(一，+)上有定义 f(x)为连续函数，且 f(x)0，(x)有间断点，则( )（A）(f(x)必有间断点（B） (x)2 必有间断点（C） f(x)必有间断点（D） 必有间断点9 极限（A）不存在（B）等于 1（C）等于 2（D）10 以下四个命题中，正确的是( )（A）若 f(x)在(0，1) 内连续，则 f(x)在(0，1) 内有界（B）若 f(x)在(0，1)内连续，则 f(x)在(0，1)内有界（C）若 f(x)在(0，1)内有界，则 f(x)在(0，1)内有界（D）若 f(x)在(0，1)内有界，则 f(
4、x)在(0，1) 内有界11 曲线 ( )（A）没有渐近线（B）仅有水平渐近线（C）仅有垂直渐近线（D）既有水平渐近线也有垂直渐近线12 设函数 f(x)在 x=a 的某个邻域内连续，且 f(a)为其极大值，则存在 0，当x(a，a+)时，必有( )（A）(x 一 a)f(x)-f(a)0（B） (x 一 a)f(x)一 f(a)0（C）（D）13 设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 ，则 ( )（A）f(0)=0 且 f-(0)存在（B） f(0)=1 且 f-(0)存在（C） f(0)=0 且 f+(0)存在（D）f(0)=1 且 f+(0)存在14 当 x0 时，下列四个无穷小中，哪
5、一个是比其他三个高阶的无穷小?( )（A）x 2（B） 1 一 cosx（C）（D）xtanx 15 f(x)=|xsinx|ecosx(xR)是( )（A）有界函数（B）单调函数（C）周期函数（D）偶函数16 设 f(x)= ,则( )（A）f(x)在点 x=1 连续，在点 x=-1 间断（B） f(x)在点 x=1 间断，在点 x=一 1 连续（C） f(x)在点 x=1，x=一 1 都连续（D）f(x)在点 x=1，x=-1 都间断二、填空题17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。31 32 3
6、3 34 已知两曲线 y=f(x)与 在点(0，0)处的切线相同求此切线的方程，并求极限35 36 37 38 39 40 设 x1=a0，y 1=b0，(ab) ，且 xn+1= ，n=1，2，证明：考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 当 x0，1，2 时,f(x)连续，而所以，函数 f(x)在(一 1， 0)内有界，故选 A【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 又 g(0)=0，故当 a=0 时， 即 g(x)在点 x=0 处连续；当 a0 时，
7、即 x=0 是 g(x)的第一类间断点因此， g(x)在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关，故选 D【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 A【试题解析】 由重要极限结论 可立即排除 B、D 对于 A、C选项，只要验算其中之一即可对于 C 选项，因，故 C 不正确，选 A【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 D【试题解析】 首先，由已知 f(x)在a，b上连续，且 f(a)0，f(b)0，则由介值定理，至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=0；另外，由极限的保号性，至少0 即 f(x0)f(a) 同理，至少存在一点x0(a，b) 使得 f(x0)f(b) 所以
8、选项 A、B、C 都正确，故选 D【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 C【试题解析】 由题意得 得 c=1，又因为所以得 b=0，故选 C【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=6x 2 一 18x+12=6(x 一 1)(x 一 2)，故极值点可能为 x=1，x=2 ，且 f(1)=5 一 a,f(2)=4a，可见当 a=4 时，函数 f(x)恰好有两个零点 故应选 B【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，(1+sinx) x 一 1 ln(1+sinx)x 一 1+1=xln(1+sinx) xsinxx
9、 2， 而xtanxnx.x n=xn+1因此 2n+14，则正整数 n=2，故选 B【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 D【试题解析】 取 f(x)=1， x(一，+) ，(x)= 则 f(x)，(x) 满足题设条件由于 (f(x)=1，(x) 2=1,f(x)=1 都是连续函数，故可排除 A、B、C，应选 D【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 A【试题解析】 由于 与 k 的取值有关，则极限 不存在，故选 A【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 C【试题解析】 设 f(x)= 则 f(x)及 f(x)= 均在(0，1)内连续，但 f(x)在(0，1)内无
10、界，排除 A、B；又 f(x)= 在(0，1)内有界，但 f(x)= 在(0，1)内无界，排除 D 故应选 C【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 D【试题解析】 显然 x=0 是函数 的间断点因为 ，故 x=0 是该函数的无穷型间断点，即 x=0 是该曲线的垂直渐近线又因故原曲线有水平渐近线 y=1，因此选 D【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A、B 显然不正确 对于选项 C，由 f(a)是 f(x)的极大值，即f(a)一 f(x)0， 可见 x(a，a+) 成立，由此选 C【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 C【试题解析】 又
11、因为 f(x)在 x=0 处连续，则所以 f+(0)存在，故本题选 C【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 D【试题解析】 利用等价无穷小代换由于 x0 时，所以当 x0 时，B、C 与 A 是同阶的无穷小，由排除法知选 D【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 D【试题解析】 因 f(一 x)=|(一 x)sin(一 x)|ecos(-x)=|xsinx|ecosx=f(x)， 故 f(x)为偶函数，应选 D【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 B【试题解析】 由函数连续的定义可知，所以 f(x)在 x=一 1 处连续，故选 B【知识模块】 函数、极限、连续
12、二、填空题17 【正确答案】 0【试题解析】 因为 x0 时，【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知，将 xn 化简得【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 e 6【试题解析】 化为指数函数求极限，则有【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 1；一 4【试题解析】 因为得a=1且原极限可化为 得b=一 4 因此，a=1，b=一 4【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】
13、函数、极限、连续24 【正确答案】 ln2【试题解析】 因为 因此 e3a=8，即a=ln2【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 0【试题解析】 因为【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 1【试题解析】 又因为 f(x)在( 一，+)内连续 ,f(x)必在 x=c 处连续，所以得 c=1【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 maxa 1，a 2，a m【试题解析】 假设 a1 为最大值，则【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确
14、答案】 【试题解析】 利用等价无穷小量代换【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。31 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续32 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续33 【正确答案】 所以原式极限为 1【知识模块】 函数、极限、连续34 【正确答案】 由已知条件得故所求切线方程为y=x 由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得【知识模块】 函数、极限、连续35 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续36 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续37 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续38 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续39 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续40 【正确答案】 (1)由不等式 及题设条件，有0x n+1yn+1(n=0，1，2，)，所以 于是可知数列xn单调增加，数列 yn单调减少，又 a=x1x2x nxn+1yn+1yny 1=b所以数列x n有上界，数列 yn有下界，根据单调有界准则，此二数列均收敛【知识模块】 函数、极限、连续
