1、考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则 =( )（A）f 2+xf11“+(x+z)f12“+xzf22“（B） xf12“+xzf22“（C） f2+x12“+xzf22“（D）xzf 22“2 函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)可偏导是函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)连续的( )（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件3 设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则下列结论正确的是 ( )（A）
2、f(x 0，y)在 y=y0 处导数为零（B） f(x0，y)在 y=y0 处导数大于零（C） f(x0，y)在 y=y0 处导数小于零（D）f(x 0，y)在 y=y0 处导数不存在二、填空题4 设 z=f(x2+y2+z2，xyz)且 f 一阶连续可偏导，则 =_5 设 y=y(x，z)是由方程 ex+y+z=x2+y2+z2 确定的隐函数，则 =_6 设 z=f(x，y)是由 e2yz+x+y2+z= 确定的函数，则 =_7 设 y=y(x)由 x 一 1x+ye 一 t2dt=0 确定，则 =_8 设 z=z(x，y)由 z+e2=xy2 确定，则 dz=_9 设 z=f(x+y， y
3、+z，z+x) ，其中 f 连续可偏导，则 =_10 设 z=xy+ ，其中 f 可导，则 =_11 由方程 xyz+ 确定的隐函数 z=z(x，y)在点(1，0，一 1)处的微分为 dz=_。12 设 f(x，y， z)=exyz2，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则fx(0，1，一 1)=_。13 设 f(x，y)可微，且 f1(一 1，3)=一 2，f 2(一 1，3)=1，令 z=f(2x 一 y， )，则dz|1，3 =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 z=z(x，y)由 z 一 yz+yez 一 x 一 y=0 确定，
4、求 及 dz15 设 z=fx 一 y+g(x 一 y 一 z)，其中 f，g 可微，求16 设 u=f(z)，其中 z 是由 z=y+x(z)确定的 x，y 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函数证明：17 设 xy=xf(z)+yg(z)，且 zf(z)+yg(z)0，其中 z=z(x，y)是 xy 的函数证明：18 设 z=f(x，y)由方程 z 一 y 一 z+xez 一 y 一 z=0 确定，求 dz19 设 u=f(x， y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程 exy 一 y=0 与 ez 一xz=0 确定，求20 设 y=y(x)， z=z(x)是由方程
5、 z=xf(z+y)和 F(x，y，z)=0 所确定的函数，其中 f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求21 设 y=f(x， t)，其中是由 G(x，y，t)=0 确定的 x，y 的函数，且 f(x，t)，G(x，y ，t) 一阶连续可偏导，求22 设 且 F 可微，证明：23 设变换 可把方程 ，求常数 a24 设 z=x+(x 一 y)，y，其中 f 二阶连续可偏导， 二阶可导，求25 设 f(x+y， x 一 y)=c2 一 y2+ ，求 f(u，)，并求26 求二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny 的极值27 试求 z=f(x，y)=x 3+y33xy 在
6、矩形闭域 D=(x，y)|0x2，一 1y2)上的最大值与最小值28 平面曲线 L: 绕 x 轴旋转所得曲面为 S，求曲面 S 的内接长方体的最大体积29 设某工厂生产甲乙两种产品，产量分别为 x 件和 y 件，利润函数为 L(x，y)=6x一 x2+16y 一 4y22(万元) 已知生产这两种产品时，每件产品都要消耗原料2000kg，现有该原料 12000kg，问两种产品各生产多少时总利润最大？最大利润是多少？考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 =xf“12+f2+xzf“22，选
7、(C) 【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 如 f(x，y)= 在点(0，0)处可偏导，但不连续；又如 f(x，y)= 在(0，0) 处连续，但对 x 不可偏导,选(D) 【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则有 fx(x0，y 0)=0， fy(x0，y 0)=0， 于是 f(x0，y) 在 y=y0 处导数为零，选(A)【知识模块】 多元函数微分学二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学6 【
8、正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 e 一 1【试题解析】 当 x=0 时，y=1，x 一 1x+ye 一 t2dt=0 两遍求导得【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 【试题解析】 z+e z=xy2 两边求微分得 d(z+ez)=d(xy)2，即 dz+ezdz=y2dx+2xydy 解得【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 【试题解析】 z=f(x+y，y+z，z+x) 两边求偏导得【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 z+xy【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 dx 一【试题解析】 把(1， 0，一
9、 1)，代入上式得 dz=dx 一【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 1【试题解析】 f x(x，y，z)= ， x+y+z+xyz=0 两边对 x 求偏导得，将 x=0，y=1，z=一 1 代入得，解得 fx(0，1，一 1)=1【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 一 7dx+3dy【试题解析】 则 dz|(1，3) =一 7dx+3dy【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 方程 x 一 yz+yez 一 x 一 y=0 两边对 x 求偏导得方程 x 一 yz+yez 一x 一 y=0 两边对 y 求偏导得【
10、知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 等式 z=f(x 一 y+g(x 一 y 一 z)两边对 x 求偏导得等式 z=f(x 一 y+g(x 一 y一 z)两边对 y 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 xy=xf(z)+yg(z)两边分别对 x，y 求偏导，得【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 对 z 一 y 一 x+xez 一 y 一 x=0 两边求微分，得 dz 一 dy 一 dx+ez 一 y 一xdx+xez 一 y 一 x(dz 一 dy 一 dx)=0，解得【知识模块】 多元函数微分学19 【
11、正确答案】 方程 exy 一 y=0 两边对 x 求导得方程 ez 一 xz=0 两边对 x 求导得【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 z=xf(x+y)及 F(x，y，z)=0 两边对 x 求导数，得【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 将 y=f(x，t)与 G(x，y，t)=0 两边对 x 求导得解得【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 两边对 x 求偏导得两边对 y 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 将 u， 作为中间变量，则函数关系为 z=f(u，)，则有将上述式子代入方程根据题意得 解得 a=3【知识模块】 多元函数微分学24
12、【正确答案】 z=fx+(x 一 y)，y两边对 y 求偏导得 =一 f1+f 2， =一(一 f“11+f“12)+f1“一 f“21+f“22=f“11()2 一 2f“+f1“+f“22【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 令 ，从而 f(u，)=u+于是【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 二元函数 f(x，y)的定义域为 D=(x，y|y0 ， 因为 AC一 B2 0 且 A0，所以 为 f(x，y)的极小点，极小值为【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 当(x，y)在区域 D 内时，在 L1:y=一 1(0x2)上，z=z3+3x 一 1，因为 z=3
13、x2+30，所以最小值为 z(0)=一 1，最大值为 z(2)=13；在L2:y=2(0x2)上，z=x 36x+8，由 z=3x2 一 6=0 得 x= ，z(0)=8，2( )=8 ， z(2)=4；在 L3：x=0(一 1y2)上，z=y 3，由 z=3y2=0 得 y=0，z(一 1)=一1，z(0)=0，z(2)=8；在 L4：x=2( 一 1y2)上，z=y 36y+8，由 z=3y2 一 6=0 得 y=，z(一 1)=13，z( )=8 一 4 ，z(2)=4故 z=x3+y33xy 在 D 上的最小值为一 1，最大值为 13【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 曲线
14、 绕 x 轴旋转一周所得的曲面为根据对称性，设内接长方体在第一卦限的顶点坐标为M(x，y，z)，则体积为 V=8xyz令 由由实际问题的特性及点的唯一性，当 时，内接长方体体积最大，最大体积为【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 根据题意，即求函数 L(x，y)=6x 一 x2+16y4y22 在 0x+y6下的最大值L(x ，y)的唯一驻点为 (3，2)，令 F(x，y，)=6x 一 x2+16y4y2 一2+(x+y 一 6)，由 根据题意，x，y 只能取正整数，故(x，y)的可能取值为 L(4，2)=22，L(3，3)=19，L(3，2)=23，故当 x=3，y=2 时利润最大，最大利润为 23 万元【知识模块】 多元函数微分学
