1、考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x，y)= 则 f(x，y)在点(0，0)处（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在2 设函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)的某邻域内有定义且在点(x 0，y 0)处的两个偏导数fx(x0，y 0)，f y(x0，y 0)都存在，则3 设 I1= ，则（A）I 1I 2 I3 （B） I2I 3I 1（C） I3I 1I 2（D）I 3I 2 I1二、填空题4 设 的值为_5 设 D 是 Oxy 平
2、面上以 A(1，1)，B(-1 ，1)和 C(-1，-1)为顶点的三角形区域，则=_6 设 =y2(x2-1)(xy0)，则 df (1，1) =_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 求下列极限：8 证明极限 不存在9 设 f(x，y)=x 2+(y-1)10 设 f(x，y)=11 设 z=12 设 x=xy.yx，求13 设 z=f(u，v，x)，u=(x，y)，v=(y)都是可微函数，求复合函数 z=f(x，y)，(y)， x)的偏导数14 设 z=f(u，v)，u=(x ，y)，v=(x ，y) 具有二阶连续偏导数，求复合函数z=f(x，y) ，(x ，y)的一阶与
3、二阶偏导数15 设 z=f(2x-y，ysinx)，其中 f(u，v)有连续的二阶偏导数，求16 设 z=f(x，y)是由方程 x=y+(y)所确定的二次可微函数，求17 设 z=z(x，y)是由方程 F(xy，y+z，xz)=0 所确定的隐函数，且 F 具有一阶连续偏导数，求18 求二元函数 f(x，y)=x 4+y4-2x2-2y2+4xy 的极值19 求函数 z=x2y(4-x-y)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的区域 D 上的最大值与最小值20 求函数 f(x，y)=3xv+3y 2-x3 在 D=(x，y)x 2+y216上的最大值与最小值21 将 化为累次积分，其中
4、D 为 x2+y22ax 与 x2+y22ay 的公共部分(a 0)22 设 D 是由曲线 (a0，b0) 与 x 轴，y 轴围成的区域，求23 求 I= ，y=x 及 x=0 所围成区域24 求 ，其中 D：x1，0y225 设 D 由抛物线 y=x2：y=4x 2 及直线 y=1 所围成用先 x 后，y 的顺序将化成累次积分26 求 I= ，其中 D 由直线 x=-2，y=0，y=2 及曲线 x= 所围成27 设 z(x，y)满足求 z(x，y)28 设 f(x，y)= ()求 ；()讨论 f(x，y)在点(0，0)处的可微性，若可微并求 af (0，0) 29 求下列各函数的偏导数与全微
5、分：考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 这是讨论 f(x，y)在点(0 ，0)处是否连续，是否可偏导先讨论容易的，即 f(x， y)在点(0，处是否可偏导由于 f(x，0)=0( (-，+)，则因此(B)，(D)被排除再考察 f(x，y)在点(0，0)处的连续性令 y=x3，则 因此 f(x，y)在点(0 ，0) 处不连续故应选(C) 【知识模块】 多元函数微积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 选项(A) 表示 f(x，y)当(x，y)(x 0，y 0)时极限存在；选项(B)
6、表示f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续；选项 (D)表示 f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微它们在题设条件下都未必成立而选项(C)表示一元函数 f(x0，y 0)与 y(x，y 0)分别在点y=y0， x=x0 处连续由于根据一元函数可导必连续的性质知(C) 成立【知识模块】 多元函数微积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 先比较 I1 和 I3 的大小：由于 I1 和 I3 被积函数相同且非负，而 I1 的积分域包含了 I3 的积分域，由性质 7 可知，I 1I 3 再比较 I2 和 I3 的大小：由于 I2和 I3 的积分域相同，又 x2+y22xy，由比较定理可知 I3I
7、2，从而有I1I 3I 2故应选 (B)【知识模块】 多元函数微积分学二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 将上式对 y 求导，得(对 y 求导时 x 为常量)【知识模块】 多元函数微积分学5 【正确答案】 8【试题解析】 连 将区域 D 分成 D1(三角形 OAB)，D 2(三角形 OBC)两个部分(见图 413) ，它们分别关于 y 轴与 x 轴对称由于 对 x 与 y 均为奇函数，因此于是 I=0+8=8【知识模块】 多元函数微积分学6 【正确答案】 dx-dy【试题解析】 求解本题的关键是确定函数 f(x，y)的解析式令 u=xy，v= 就有f(u，v)= =u2-uv，即 f(x
8、，y)=x 2-xy，求一阶全微分可得 df(x ，y)=(2x-y)dx-xdy在上式中令 x=1，y=1 即得 df (1，1) =dx-dy【知识模块】 多元函数微积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学8 【正确答案】 (x，y) 沿不同的直线 y=kx 趋于(0， 0)，有再令(x，y)沿抛物线 y2=x趋于(0 ，0) ，有 由二者不相等可知极限不存在【试题解析】 先考察(x，y)沿不同的直线趋于(0，0)时 f(x，y) 的极限若不同，则得证；若相同，再考察点(x，y)沿其他特殊的路径曲线趋于(0，0)时 f(x，y
9、)的极限【知识模块】 多元函数微积分学9 【正确答案】 因为 f(x，1)=x 2，故【知识模块】 多元函数微积分学10 【正确答案】 按定义【知识模块】 多元函数微积分学11 【正确答案】 按定义【知识模块】 多元函数微积分学12 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学13 【正确答案】 由复合函数求导法可得【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 已求得第一步，先对 的表达式用求导的四则运算法则得第二步，再求 这里 f(u，v)对中间变量 u，v 的导数仍然是 u，v 的函数，而 u，v 还是 x，y 的函数，它们的复合仍是 x，y 的函数，因而还要用复合函数求导法求第三步，
10、将它们代入(*)式得【知识模块】 多元函数微积分学15 【正确答案】 =f1(2x-y，ysinx).2+f 2(2x-y，ysinx).ycosx， =-2f11(2x-y，ysinx)+2f 12(2x-y，ysinx)sinx-f 21(2x-y，ysinx)ycosx+f 22(2x-y，ysinx).sinx.ycosx+f2(2x-y，ysinx)cosx为书写简便，可以把变量省略，写成 =-2f11+(2sinx-ycosx)f12+ysinxcosxf22+cosxf2，因为 f 有连续的二阶偏导数，故其中的 f12=f21【知识模块】 多元函数微积分学16 【正确答案】 将
11、x=y+(y)两端对 x 求导，得【知识模块】 多元函数微积分学17 【正确答案】 此题既有复合函数运算又有隐函数求导问题，将隐函数方程对x，y 求偏导数，则有【知识模块】 多元函数微积分学18 【正确答案】 为求函数 f(x，y)的驻点，解如下方程组得到三个驻点(x 1，y 1)=(0，0)，(x 2，y 2)=为判定上述三个驻点是否是极值点，再计算在点(0，0)处，由于A(O，0)=-4 0，B(0，0)=4 ，C(0，0)=-4，且 AC-B2=0，故无法用充分条件判断点(0，0)是不是 f(x，y)的极值点但由于在直线 y=x 上，f(x，y)=2x 4 在 x=0 取极小值；而在直线
12、 y=-x 上，f(x，-x)=2x 4-8x2 在 x=0 取极大值，所以点(00)不是函数f(x，y)的极值点在点 处，由于 A=200，B：4，C=20，A C-B2=3840，故 是函数 f(x，y) 的极小值在点 处，由于 A=200，B=4，C=20，AC-B 2=3840，故 也是函数 f(x，y)的极小值【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 区域 D 如图 41 所示，它是有界闭区域 z(x，y)在 D 上连续，所以在 D 上一定有最大值与最小值，或在 D 内的驻点达到，或在 D 的边界上达到 为求 D 内驻点，先求 =2xy(4-x-y)-x2y=xy(8-3x-
13、2y)，=x2(4-x-y)-x2y=x2(4-x-2y)再解方程组 得 z(x，y)在 D 内有唯一驻点(x， y)=(2，1)且 z(2，1)=4 在 D 的边界 y=0，0x6 或 x=0，0y6 上 z(x，y)=0； 在边界 x+y=6(0x6)上将 y=6-x 代入得 z=x 2(6-x)(-2)=2(x3-6x2)，0x6，令h(x)=2(x3-6x2)，则 h(x)=6(x 2-4x)，h(4)=0，h(0)=0，h(4)=-64，h(6)=0 ，即 z(x，y)在边界 x+y=6(0x6)上的最大值为 0，最小值为-64因此，=z(4，2)=-64【知识模块】 多元函数微积分
14、学20 【正确答案】 因为函数 f(x，y)在有界闭域 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上存在最大值与最小值解方程组 得两个驻点(x，y)=(0，0)与(x ，y)=(2，0) 令 F(x，y，)=3x 2+3y2-x3-(x2+y2-16)，解方程组得(x，y)=(4 ，0)或(x ，y)=(0 ，4)由于 f(0，0)=0，f(2，0)=4，f(4，0)=-16，f(-4，0)=112 ，f(0， 4)=48，所以函数 f(x，y)在 D上的最大值为 f(-4，0)=112，最小值为(4，0)=-16【知识模块】 多元函数微积分学21 【正确答案】 方法 1采用直角坐标系 x2+yv
15、=2ax 与 x2+y2=2ay 是两个圆，其交点为 O(0，0) 与 P(a，a)从 D 的图形(图 410)可知因此，若先对 y 求积分，就有 若先对 x 求积分，则方法 2采用极坐标系如图 411，由于两个圆在极坐标系下的表达式分别为 r=2acos 与 r=2asin，并且连线 OP 将区域D 分成两部分，故 D=D1+D2，而 D1=(r，)0 ，0r2asin，D 2=(r，)，0r2acos因此【知识模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 先对 x 积分区域 D 如图 412 所示【知识模块】 多元函数微积分学23 【正确答案】 区域 D 如图 414被积函数只含 y，先对
16、x 积分，虽然积分区域要分块，但计算较简单若先对 y 积分，则求积分 要费点功夫选择先对 x 积分，将 D 分块：【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】 在积分区域 D 上被积函数分段表示为因此要将 D 分块，用分块积分法又D 关于 y 轴对称，被积函数关于 x 为偶函数，记 D 1=(x，y)(x ，y)D，xD，yx 2， D 2=(x，y)(x，y)D，x0，yx 2，于是【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 区域 D 如图，415 所示，将 D 分成 x0 与 x0 两部分，用分块积分法得【知识模块】 多元函数微积分学26 【正确答案】 D 的图形如图 416 所
17、示若把 D 看成正方形区域挖去半圆 D1，则计算 D1 上的积分自然选用极坐标变换若只考虑区域 D，则自然考虑先 x 后 y的积分顺序化为累次积分若注意 D 关于直线 y=1 对称，选择平移变换则最为方便 作平移变换 u=x，v=y-1 ，注意曲线 x= 即 x2+(y-1)2=1，x0，则 D 变成 DD由 u=-2，v=-1 ，v=1，u 2+v2=1(u0)围成，则【知识模块】 多元函数微积分学27 【正确答案】 把 y 看作任意给定的常数，将等式两边对 x 求积分得 z(x，y)=-xsiny- ln1-xy+(y) ，其中 (y)为待定函数由 式得-siny- ln1-y+(y)=siny，故【试题解析】 实质上这是一元函数的积分问题当 y 任意给定时，求 z(x，y)就是 x 的一元函数的积分问题，但求积分后还含有 y 的任意函数，要由 z(1，y)定出这个任意函数【知识模块】 多元函数微积分学28 【正确答案】 () 当(x ，y)(0 ，0)时， 当(x，y)=(0，0) 时，因 f(x，0)=0 由对称性得当(x，y)(0，0)时，()考察 在(0，0)的连续性注意【知识模块】 多元函数微积分学29 【正确答案】 () 由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则得【知识模块】 多元函数微积分学
