1、考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷 16 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 设函数 f(x， y)= ，且 g 有二阶导数，求证：2 已知函数 f(x，y，z)=x 2y2z 及方程 x+y+z-3+e-3=e-(x+y+z) (*)()如果 x=x(y，z)是由方程(*)确定的隐函数满足 x(1，1)=1 ，又 u=f(x(y，z)y，z) ，求 ()如果z=z(x，y) 是由方程(*)确定的隐函数满足 z(1，1)=1，又 w=f(x，y，z(x ，y)，求3 设 z=f(x，y，u)，其中 f 具有二阶连续偏导数，u(x，y)由方程 u3-5xy+5u
2、=1 确定求4 设 u=f(x，y ，z)，(x 2，e y，z)=0，y=sinx 确定了函数 y=y(x)，其中 f， 都有一阶连续偏导数，且5 设 y=f(x，t)，且方程 F(x，y，t)=0 确定了函数 t=t(x，y)，求6 设函数 f(u， v)具有二阶连续偏导数，函数 g(y)连续可导，且 g(y)在 y=1 处取得极值 g(1)=2求复合函数 z=f(xg(y)，x+y) 的二阶混合偏导数 在点(1，1)处的值7 设 f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且 fy(a，b)0，证明由方程f(x，y)=0 在 x=a 的某邻域所确定的隐函数 y=(x)在 x=a
3、 处取得极值 b=(a)的必要条件是： f(a，b)=0，f x(a，b)=0 ， 且当 r(a，b)0 时，b=(a)是极大值；当 r(a，b)0 时，b=(a)是极小值，其中8 求使得不等式 ln(x2+y2)A(x2+y2)在区域 D=(x，y)x0，y0 内成立的最小正数 A 与最大负数 B9 试求多项式 P(x)=x2+ax+b，使积分 取最小值10 某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为 x 和 y(单位：吨)时的总收益函数为 R(x，y)=42x+27y-4x 2-2xy-2，总成本函数为 C(x，y)=36+8x+12y( 单位：万元)除此之外，生产甲、乙两种产品每
4、吨还需分别支付排污费 2 万元，1 万元 ( )在不限制排污费用支出的情况下，这两种产品的产量各为多少吨时总利润最大?总利润是多少 ? ()当限制排污费用支出总额为 8 万元的条件下，甲、乙两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大总利润是多少?11 生产某种产品需要投甲、乙两种原料，x 1 和 x2(单位：吨)分别是它们各自的投入量，则该产品的产出量为 (单位：吨)，其中常数 0，0 且+=1如果两种原料的价格分别为 p1 与 p2(单位：万元吨)试问，当投入两种原料的总费用为 P(单位：万元)时，两种原料各投入多少可使该产品的产出量最大 ?12 已知三角形的周长为 2p，将它绕其一边旋转而构
5、成一立体，求使立体体积最大的那个三角形13 证明不等式：14 将下列累次积分交换积分次序：15 计算累次积分16 计算17 设区域 D 是由直线 y=x 与曲线18 求 I=19 计算20 计算 ，其中 D 由 y=ex，y=2 和 x=0 围成的平面区域21 设 f(x，y)= ，其中D=(x，y) x 2+y22x22 设 x=rcos，y=rsin，将如下直角坐标系中的累次积分化为极坐标系中的累次积分23 计算二重积分 ，其中积分区域 D 由直线 y=-x，y=x，x=-1 以及x=1 围成24 交换下列累次积分的积分顺序：25 计算二重积分 ，其中 D 是两个圆：x 2+y21 与(x
6、-2) 2+y24 的公共部分26 计算二重积分 其中 D 是曲线 y=lnx 与 y=2lnx 以及直线 x=e 所围成的平面区域27 求 I= ( x+y)dxdy，其中 D 是由曲线 xy=2，直线 y=x-1 及 y=x+1 所围成的区域28 计算二重积分 ，其中 D 是由曲线 y=ex 与直线 y=x+1 在第一象限围成的无界区域29 设 f(x)在a，b上连续，求证：考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷 16 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学2 【正确答案】 () 依题意， 为 fx(y，z)，y，z对
7、y 的偏导数，故有因为题设方程(*)确定 x 为 y，z 的隐函数，所以在(*)两边对 y 求导数时应将 z 看成常量，从而有在题设方程(*)中将 x 看成常量，对 y 求导，可得 =-1，故有【试题解析】 f 是 x，y，z 的函数，而 x 和 z 又分别是 y，z 和 x，y 的函数，所以在( )中把 x 看成中间变量，在() 中把 z 看成中间变量【知识模块】 多元函数微积分学3 【正确答案】 将方程 u5-5xy+5u=1 两端对 x 求导数，得 5u4ux-5y+5ux=0，解得在上式对 x 求导数时，应注意其中的f1，f 3 仍是 x，y，u 的函数，而 u 又是 x，y 的函数，
8、于是【试题解析】 z 是 x，y， z 的函数，而 u 是由方程 u5-5xy+5u=1 所确定的 x，y 的隐函数，所以本题是隐函数的复合函数求偏导数的问题【知识模块】 多元函数微积分学4 【正确答案】 由复合函数求导法知其中上式中的 表示由方程(x2，e sinx，z)=0 所确定的函数 z=z(x)的导数由 (x2，e sinx)=0 两端对 x 求导得将 dz 代入 式即得【知识模块】 多元函数微积分学5 【正确答案】 由 y=f(x， t(x，y)两端对 x 求导得而t=t(x，y)由 F(x，y，t)=0 所确定，则【试题解析】 由本题要求的 知，y 应该是 x 的一元函数，分析清
9、楚这一点是解答本题的关键由题设知 F(x，y，t)=0 确定了 t=t(x，y)，将 t=t(x，y)代入y=f(x，t) 得 y=f(x，t(x，y)，这是关于戈和 y 的方程，它可确定 y 是 z 的一元函数另一种方法是利用一阶全微分形式不变性求解【知识模块】 多元函数微积分学6 【正确答案】 计算可得 =g(y)f1(xg(y)，x+y)+f 2(xg(y)，x+y) ， =g(y)f1(xg(y)，x+y)+g(y)f 11(xg(y)，x+y).xg(y)+f 12(xg(y)，x+y)+f 21(xg(y)，x+y).xg(y)+f22(xg(y)， x+y)将 x=1 与 y=1
10、 代入并利用 g(1)=2，g(1)=0 即得 =g(1)f1(2，2)+g(1)f 11(2，2)g(1)+f 12(2，2)+f 21(2，2)g(1)+f 22(2，2)=2f 12(2，2)+f22(2，2).【知识模块】 多元函数微积分学7 【正确答案】 y=(x) 在 x=a 处取得极值的必要条件是 (a)=0按隐函数求导法，(x)满足 f x(x，(x)+f y(x，(x)x(x)=0 (*)因 b=(a)，则有 f(a，b)=0， (a)=于是 fx(a， b)=0 将(*) 式两边对 x 求导得 fxx(x，(x)+f xy(x，(x)(x)+ fy(x，(x)(x)+f y
11、(x，(x)(x)=0，上式中令 x=a，(a)=b，(a)=0，得因此当 时，(a)0，故 b=(a)是极大值；当时，(a)0，故 b=(a)是极小值【知识模块】 多元函数微积分学8 【正确答案】 在区域 D=(x，y)x0，y0 内 ln(x2+y2)A(x2+y2)因此使上式成立的常数 4 的最小值就是函数 f(x，y)=在区域 D 上的最大值令 r=x2+y2，则 A 的最小值就是函数 F(r)= 在区间(0 ，+) 内,的最大值计算可得因此使上式成立的常数 B 的最大值就是函数 g(x，y)=xyln(x 2+y2)在区域 D 上的最小值计算可得 由此可知g(x，y)在 D 中有唯一
12、驻点 因为在区域 D 的边界(x ，y)x=0，y0与(x，y)x0，y=0上函数 g(x，y)=0，而且当 x2+y21 时 g(x，y)0，从而就是 g(x，y)在 D 内的最小值即 B 的最大值是【知识模块】 多元函数微积分学9 【正确答案】 本题是要确定 a，b 的值，使积分 取最小值，因此可把定积分看成 a，b 的二元函数求极值所以点是极小值点，由于驻点唯一，该点也就是最小值点，故【知识模块】 多元函数微积分学10 【正确答案】 () 根据题设知该厂生产这两种产品的总利润函数 L(x，y)=R(x， y)-C(x，y)-2x-y=42x+27y-4x 2-2xy-y2-36-8x-1
13、y-2x-y=32x+14y-4x2-2xy-y2-36， 求 L(x，y)的驻点：令 可解得唯一驻点 (3，4) 因 L(x，y) 的驻点唯一，且实际问题必有最大利润，故计算结果表明，在不限制排污费用支出的情况下，当甲、乙两种产品的产量分别为 x=3(吨)与 y=4(吨)时总利润 L(x，y)取得最大值且 maxL=L(3，4)=40(万元) ()当限制排污费用支出总额为 8 万元的条件时应求总利润函数 L(x， y)在约束条件 2x+y=8 即 2x+y-8=0 下的条件最大值可用拉格朗日乘数法，为此引入拉格朗日函数 F(x，y， )=L(x，y)+(2x+y-8) ， 为求F(x，y，)
14、 的驻点，令由，两式消去参数 可得 2x-y-2=0，与联立可得唯一驻点(25，3) 因驻点唯一，且实际问题必有最大利润，故计算结果表明，当排污费用限于 8 万元的条件下，甲、乙两种产品的产量分别为 x=25(吨) 与 y=3(吨)时总利润取得最大值，最大利润 maxL=L(25，3)=37(万元)【知识模块】 多元函数微积分学11 【正确答案】 由题设知应求函数 在条件 p1x1+p2x2=P 之下的最大值点用拉格朗日乘数法，构造拉格朗日函数为求 F(x1，x 2，)的驻点，解方程组因驻点唯一，且实际问题必有最大产出量，故计算结果表明，在两种原料投入的总费用为 P(万元)时，这两种原料的投入
15、量分别为 (吨)时可使该产品的产出量最大【知识模块】 多元函数微积分学12 【正确答案】 设三角形的三边长为 a，6，c ，并设以 AC 边为旋转轴(见图 46)，AC 上的高为 h，则旋转所成立体的体积为 又设三角形的面积为 5，于是有 问题化成求 V(a，b，c)在条件 a+b+c-2p=0 下的最大值点，等价于求 V0(a，b，c)= (p-a)(p-b)(p-c)=ln(p-a)+ln(p-b)+ln(p-c)-lnb 在条件 a+b+c-2p=0 下的最大值点用拉格朗日乘子法令F(a，b ，c，)=V 0(a，b，c)+(a+b+c-2p)，求解方程组比较，得 a=c，再由得 b=2
16、(p-a) 比较， 得 b(p-b)=(p-a)p 由，解出 由实际问题知，最大体积一定存在，而以上解又是方程组的唯一解因而也是条件最大值点所以当三角形的边长分别为 的边旋转时，所得立体体积最大【知识模块】 多元函数微积分学13 【正确答案】 由以上分析知其中D1=(x，y) x 2+y21，x0，y0 ，D 2=(x，y)x 2+y22，x0，y0.【试题解析】 由定积分与积分变量所选用的字母无关可知此二重积分的积分区域 D 为正方形，即 D=(x，y)0x1，0y1现将该积分区域 D 作放缩，取D1=(x，y)x 2+y21，x0 ，y0 ，D 2=(x，y)x 2+y22，x0，y0，显
17、然，根据二重积分性质，有再对不等式两端作极坐标变换，即可得到所要证明结果【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 () 首先画出积分域如图 47 所示交换积分次序后原积分可以写成 ()画出积分域，如图 48 所示由图可知，交换积分次序后原积分成为【知识模块】 多元函数微积分学15 【正确答案】 积分区域图形如图 49，由被积函数的形式，可以看出应先对 x积分，故交换积分次序，得【知识模块】 多元函数微积分学16 【正确答案】 由累次积分知积分区域 D 如图 410，由被积函数和区域 D 看出，本题在极坐标系 x=rcos，y=rsin 中计算较方便y=在极坐标下的方程为 r=2cos，
18、且D=D1+D2，其中【知识模块】 多元函数微积分学17 【正确答案】 区域 D 如图 411，在极坐标系 x=rcos，y=rsin 中它可表示为【知识模块】 多元函数微积分学18 【正确答案】 作出区域 D 的平面图形，如图 412将 D 分割成 D1 与 D2，则D=D1+D2，其中若本题选择对 y 积分，则【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 积分区域 D 为扇形(见图 413)：【试题解析】 因为无法得到 的原函数的解析式，所以在直角坐标系中无法算出结果注意被积函数属 f(x2+y2)的形式，因此可选用极坐标系x=rcos，y=rsin【知识模块】 多元函数微积分学20
19、【正确答案】 积分区域如图 414由被积函数形式可以看出，此积分只能先对 x 积分，故【知识模块】 多元函数微积分学21 【正确答案】 由 f(x，y)的定义域和 D 确定的积分区域如图 415 中的 D1，即【知识模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 本题中积分区域如图 416 中阴影部分所示将其化为极坐标，可知 由于 y=1-x 可表示为rsin=1-rcos，即 r= 而 y2=2x-x2 可表示为 r=2cos，故r2cos从而原积分可化为【知识模块】 多元函数微积分学23 【正确答案】 积分区域 D 分别关于 x 轴与 y 轴对称，如图 417由于被积函数 f(x，y)= 分别
20、是 x 与 y 的偶函数，从而其中 D1 是 D 在第一象限的部分因被积函数的表达式中包含 ，采用极坐标系 x=rcos，y=rsin 来计算较简，这时【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】 () 由题意知，积分区域 D=D1D2，其中 D 1=(x，y)0x1，1-x2y1，D 2=(x，y) 1xe ，lnxy1 ，见图 4 18，交换积分顺序得()由 I2 可知，D=D 1D2，其中D1=(x，y) 0y1 ，0x ，D 2=(x，y)1y2 ，0x2-y，见图 419，交换积分顺序得【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 积分区域 D 如图 420 所示由于被积函数
21、 f(x，y)=y 关于 x 轴对称，积分区域 D 也关于 x 轴对称，所以积分值为 0 【知识模块】 多元函数微积分学26 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学27 【正确答案】 作出 D 的平面图形如图 421因积分区域关于原点 O 对称，被积函数又是 x 与 y 的偶函数，故 其中D1=(x，y) 0x1 ，x-1y0， D 2=(x，y)0x1，0yx+1，【知识模块】 多元函数微积分学28 【正确答案】 由题设知 D=(x，y)0x+， x+1yex，(如图 422)设常数 b0，且 Db=Dxb=(x，y)0xb，x+1ye x，则【知识模块】 多元函数微积分学29 【正确答案】 设积分区域 D=(x，y)axb， ayb，由可知二重积分另一方面利用不等式 f(x)f(y) f2(x)+f2(y)，又有【知识模块】 多元函数微积分学
