1、考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 f(x,y)=e ，则2 二元函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是3 二元函数 在点(0，0)处（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在4 设函数 u(x，y)=(x+y)+(x-y)+ 其中函数妒具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有二、填空题5 设连续函数 z=f(x，Y)满足 则 dz 丨 0,1=_.6 函数 f(，)由关系式 fxg(y)，y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且
2、 g(y)0，则 =_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 设8 设 f(，)具有二阶连续偏导数，且满足 又 g(x，y)=9 设 f(u)具有二阶连续导数，且10 已知函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，f(1 ，1)=2 是 f(u，v)的极值，z=f(x+y,f(x,y).求11 设函数 z=f(x，y)在点(1，1)处可微，且 f(1，1)=1，12 设函数 z=f(xy，yg(x)，函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导且在 x=1 处取得极值 g(1)=1求13 设 u=f(x， y，z)有连续的一阶偏导数，又函数 y=y(x)及 z=z(x)分别由下
3、列两式确定： 求 du/dx.14 设函数 u=f(x，y，z)有连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 xex-yey=zez 所确定，求du14 设 z=z(x，y)是由方程 x2+y2-z=(x+Y+z)所确定的函数，其中 具有二阶导数，且 -1(I)15 求 dz；16 记17 设函数 z=f(u)，方程 U=(u)+ 确定 u 是 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微；p(t)，(u)连续，且 (u)1求18 设生产某种产品必须投入两种要素，x 1 和 x2 分别为两要素的投入量，Q 为产出量； 若生产函数为 Q=2x1x2，其中 为正常数，且 +=1假设两种要素的价格分别为
4、P1 和 p2， 试问：当产出量为 12 时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小?18 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是 p 1=18-2Q1， p 2=12-Q2， 其中 p1 和 p2 分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元吨)，Q 1 和 Q2 分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是 C=2Q+5，其中 Q 表示该产品在两个市场的销售总量，即 Q=Q1+Q219 如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；20 如果该企业实行价格无差别策略，试
5、确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 多元函数微积分学2 【正确答案】 C【知识模块】 多元函数微积分学3 【正确答案】 C【知识模块】 多元函数微积分学4 【正确答案】 B【知识模块】 多元函数微积分学二、填空题5 【正确答案】 2dx-dy【知识模块】 多元函数微积分学6 【正确答案】 g(v)/g(v) 2【知识模块】 多元函数微积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
6、步骤。7 【正确答案】 于是原式=-2x 2y2e-x2y2-2e-x2y2+4x2y2e-x2y2-2x2y2e-x2y2=-2e-x2y2【知识模块】 多元函数微积分学8 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学9 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学10 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学11 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学12 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学13 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 设 F（x,y,z）=xe x-yey-zez,则 Fx=(x+1)ex,Fy=-(y+1)ey,Fz=-(z+
7、1)ez【知识模块】 多元函数微积分学【知识模块】 多元函数微积分学15 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学16 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学17 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学18 【正确答案】 按题目要求应在产出量 2x1x2=12 的条件下，求总费用 P1x1+p2x2的最小值为此作拉格朗日函数因驻点唯一，且实际问题存在最小值，故计算结果说明当 x1= ，x 2=时投入总费用最小【知识模块】 多元函数微积分学【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 根据题意，总利润函数为 解得唯一驻点Q1=4，Q 2=5，对应的价格分别为 p1=10(万元
8、吨)，p 2=7(万元吨)因驻点唯一，且实际问题一定存在最大值，故最大值必在驻点处达到最大利润为 L=-242-52+164+105-5=52(万元)【知识模块】 多元函数微积分学20 【正确答案】 若实行价格无差别策略，即 p1=p2，于是有约束条件 2Q1-Q2=6构造拉格朗日函数 F(Q1，Q 2，=-2Q 1-Q22+16Q12+10Q2-5+(2Q1-Q2-6)，解得唯一驻点 Q1=5，Q 2=4，=2，对应的统一价格为p1=P2=8(万元吨) 驻点唯一，实际问题一定存在最大利润，故最大利润必在驻点处达到最大利润为 L=-252-42+165+104-5=49(万元)可知，企业实行差别定价所得最大总利润要大于统一定价时的最大总利润【知识模块】 多元函数微积分学
