1、考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 其中 D=(x,y)丨 x2+y21，则（A）I 3I 2 I1（B） I1I 2I 3（C） I2I 1I 3（D）I 3I 1 I22 3 4 二、填空题5 设 f(x,y)连续，且 ，其中 D 是由 y=0,y=x2,x=1 所围成的，则 f(x,y)=_.6 设 而 D 表示全平面，则=_.7 设函数 f 连续，若 F（u，v)= ，其中 Duv 为图中阴影部分，则F/u=_.8 交换积分次序： =_.9 设 D=(x， y)丨 x 2+y21，则 =_.三、解
2、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny 的极值11 求函数 u=xy+2yx 在约束条件 x2+y2+z2=10 下的最大值和最小值12 某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的同定成本为 10000(万元).设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为 x(件)和 y(件) ，且这两种产品的边际成本分别为20+x/2(万元件)与 6+y(万元件)13 求生产甲、乙两种产品的总成本函数 C(x，y)(万元)；14 当总产量为 50 件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小?求最小成本；15 求总产量为 50 件且总成本最小时甲
3、产品的边际成本，并解释其经济意义16 已知函数 z=f(x，y)的全微分 dz=2xdx-2ydy，并且 f(1，1)=2求 f(x，y) 在椭圆域 上的最大值和最小值17 求函数 u=x2+y2+z2 存约束条件 z=x2+y2 和 x+y+z=4 下的最人值与最小值18 计算二重积分 ，其中 D 是由曲线 和直线y=-x 围成的区域19 计算二重积分 sin(x2+y2)dxdy,其中积分区域 D=（x，y）丨x2+y220 求 其中 D 是由圆 x2+y2=4 和(x+1) 2+y2=1 所围成的平面区域.21 计算二重积分 其中 D 是由直线 y=x，y=1，x=0 所围成的平面区域2
4、2 设闭区域 D(如图) ：x 2+y2y，x0,f(x，y)为 D 上的连续函数，且求 f(x，y)23 计算二重积分 ，其中 D=（x，y）丨(x-1) 2+(y-1)22,yx24 设函数 f(x)在区间0， 1上具有连续导数 f(0)=1，且满足求 f(x)的表达式25 设函数 D=(xy) 丨 x2+y24，x0，y0 ，f(x) 为 D 上的正值连续函数，a，b 为常数，求26 计算二重积分 以及 y 轴为边界的无界区域。27 计算考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【知识模块】 多
5、元函数微积分学2 【正确答案】 D【知识模块】 多元函数微积分学3 【正确答案】 B【知识模块】 多元函数微积分学4 【正确答案】 D【知识模块】 多元函数微积分学二、填空题5 【正确答案】 xy+1/8【知识模块】 多元函数微积分学6 【正确答案】 a 2【知识模块】 多元函数微积分学7 【正确答案】 vf(u 2)【知识模块】 多元函数微积分学8 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学9 【正确答案】 /4【知识模块】 多元函数微积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学11 【正确答案】 F(x，y，z，) =xy+2
6、yz+(x 2+y2+z2-10)，为求 F(x，y，z，)的驻点，应解如下方程组：【知识模块】 多元函数微积分学【知识模块】 多元函数微积分学13 【正确答案】 求 C(x，y)=C 1(x,y)+C2(y)，其中 C1(x)，C 2(y)分别为生产甲、乙两种产品的成本。由 C1(x)=20+x/2(万元件)，C 2(y)=6+y(万元件)C(x,y)=C 1(0)+=1/4x2+20x+1/2y2+6y+10000(万元) ，其中 C1(0)+C2(0)=10000(万元)【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 求 C(x，y)当 x+y=50 时的最小值点及最小值 令 F(x，
7、y，)=1/4x2+20x+1/2y2+6y+10000+(x+y-50)， 1/2x-y=-14 x=24，y=26 由于实际问题一定存在最小值，又驻点唯一，故(24，26)为 C(x，y)的最小值点 因此甲、乙产品的产量分别为 24，26(件)时总成本最小，最小成本为 C(24，26)=11118(万元)【知识模块】 多元函数微积分学15 【正确答案】 总产量为 50 件且总成本最小时甲产品的边际成本为 (20+x/2)丨x=24=20+12=32(万元件) 它的经济意义是，当甲产品产量为 24(件)时，每增加一件甲产品，则甲产品的成本增加 32(万元)【知识模块】 多元函数微积分学16
8、【正确答案】 (1)先求 f(，Y)由 dz=d(x2)-d(y2)=d(x2-y2)z=x2-y2+c；由 f(1，1)=2 c=2 z=f(x，y)=x 2-y2+2(2)求 f(x，Y) 在 D 内驻点及驻点处的函数值得(x，y)=(0，0)唯一驻点(0，0)，且 f(0，0)=2(3)求 f(x，y)在D 的边界 y2=4(1-x2)上的最大值和最小值将 y2=4(1-x2)(丨 x 丨1)代人 z=x2-y2+2得 z(x)=x2-4(1-x2)+2=5x2-2 z(x)=10xz(0)=-2，z(1)=3z(x)在-1，1上的最大值为 3，最小值为-2(4)比较(2) ，(3)中所
9、得各点处的函数值即知：z=f(x ，Y)在 D上的最大值是 max2，3，-2=3，最小值是 min2，3，-2=-2【知识模块】 多元函数微积分学17 【正确答案】 用拉格朗日乘数法求解，引入拉格朗日函数 F(x，y，z，u) =x2+y2+z2+(x2+y2-z)+u(x+y+z-4)，为求其驻点，解如下方程组z=2x2 与 z=4-2x，从而得到两个驻点 P1(1，1，2)与 p2(-2，-2， 8)对应的函数值分别为 u(1，1，2)=6 ，u(-2，-2，8)=72比较即知函数u=x2+y2+z2 在约束条件 z=x2+y2 与 x+y+z=4 下的最大他为 72，最小值为 6，分别在点 P2(-2，-2 ，8) ，P 1(1，1，2)取得【知识模块】 多元函数微积分学18 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学20 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学21 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学23 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学26 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学27 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学
