1、考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)有连续导数，f(0)=0，f(0)0,且当 x0 时，F(x)与 xk 是同阶无穷小，则 k 等于（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题2 设 z=esinxy，则 dz=_3 交换积分次序 =_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 设 f(x)有连续一阶导数，试求5 确定常数 a、b、c 的值，使6 求极限7 求曲线 的一条切线 l，使该曲线与切线 l 及直线 x=0，x=2 所围成图形面积最小8 设函数 f(x)在0，1上连续在开区
2、间 (0，1)内大于零，并且满足又曲线 y=f(x)与 x=1，y=0 所围的图形 s 的面积值为 2，求函数 y=f(x)，并问 a 为何值时图形 S 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积最小9 设平面图形 A 由 x2+y22x 与 yx 所确定，求图形 A 绕 x=2 旋转一周所得旋转体体积10 设 求曲线 y=f(x)与 x 轴所围图形面积11 已知曲线 L 的方程为 1)讨论 L 的凹凸性；2)过点(一 1，0)引 L 的切线，求切点(x 0， y0)，并写出切线方程； 3)求此切线与 L(对应 xx0 的部分)及 x 轴所围成平面图形的面积12 设函数 f(x)在(0，+)上可导，f
3、(0)=0，且其反函数为 g(x)若13 设函数 y=y(x)由参数方程14 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，求极限15 设 求 dz16 设 D 是由曲线 y=x3 与直线 y=x 在第一象限内围成的封闭区域，求17 设 u+eu=xy，求18 求19 已知 z=f(u，v)，u=x+y，v=xy ，且 f(u，v)的二阶编导数都连续，求20 计算二重积分 其中 D 是由曲线 y=4x2 和 y=9x2 在第一象限所围成的区域21 某公司通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入 R(万元)与电台广告费用 x1(万元)及报纸广告费用 x2(万元)之间的关系有如下
4、经验公式：R=15+14x 1+32x28x1x22x12 一 10x22 (1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略； (2)若提供的广告22 计算二重积分 其中 D 是由 x 轴，y 轴与曲线 所围成的区域；a 0，b023 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 p1 和 p2；销售量分别为 q1 和 q2；需求函数分别为 q1=2402p 1，q 2=1005p 2 总成本函数为 C=35+40(q1+q2)试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得总利润最大?最大利润为多少?24 设 其中 (u，v)有二阶连续偏导数考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷 5 答案与解
5、析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数积分学二、填空题2 【正确答案】 e sinxycosxy(ydx+xdy)【试题解析】 dz=de sinxy=esinxydsinxy=esinxycoszyd(xy)=esinxycosxy(ydx+zdy)【知识模块】 多元函数微积分学3 【正确答案】 【试题解析】 由原题可知积分域如图 211 所示，则【知识模块】 多元函数微积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 【正确答案】 f(0)【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学
6、6 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 1)上凸2)切点为(2，3) ，切线方程为 y=x+1,【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 f(x)=(x+1)e 2 一 1【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学16 【正确答案】 【知识模块】 多
7、元函数微积分学17 【正确答案】 等式 u+ex=xy 两边同时对 x 求导得【知识模块】 多元函数微积分学18 【正确答案】 交换积分次序得【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 由复合函数求导公式得【知识模块】 多元函数微积分学20 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学21 【正确答案】 (1)利润函数(2)将x2=1 5 一 x1 代入 L(x1，x 2)中，得 L(x1)=394x12 令 L(x)=一 8x1=0，得x1=0， x2=1 50=15【知识模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 由【知识模块】 多元函数微积分学23 【正确答案】 【试题解析】 总利润【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】 由复合函数求导法知【知识模块】 多元函数微积分学
