1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2009 年) 使不等式 lnx 成立的 x 的范围是( )（A）(0 ，1)。（B）（C）（D）(，+)。2 (2011 年) 设 则 I，J ，K 的大小关系是( )（A）IJK。（B） IKJ。（C） JIK。（D）KJI。3 (2001 年) 设函数 g(x)=0xf(u)du，其中 f(x)= 则 g(x)在区间(0，2)内( )（A）无界。（B）递减。（C）不连续。（D）连续。4 (2009 年) 设函数 y=f(x)在区间一 1，3上的图形为则函数 F(x)
2、=0xf(t)dt 的图形为( )5 (2008 年) 如图，曲线段的方程为 y=y(x)，函数 f(x)在区间0，a 上有连续的导数，则定积分 0ax f(x)dx 等于 ( )（A）曲边梯形 ABOD 的面积。（B）梯形 ABOD 的面积。（C）曲边三角形 ACD 的面积。（D）三角形 ACD 的面积。6 (2002 年) 设函数 f(x)在闭区间 a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则( )（A）当 f(a)f(b)0 时，存在 (a，b)，使 f()=0。（B）对任何 (a，b)，有 f(x)一 f()=0。（C） f(a)=f(b)时，存在 (a，b) ，使 f()=0。（D）
3、存在 (a，b) ，使 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)。7 (2004 年) 设 f(x)在a，b上连续，且 f(a)0，f(b)0，则下列结论中错误的是( )（A）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)f(a)。（B）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)f(b) 。（C）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=0。（D）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=0。二、填空题8 (1999 年) 设 f(x)有一个原函数 =_。9 (2004 年) 设 f(x)= =_。10 (2008 年) 设 =_11 (2016 年) 极限 =_12 (20
4、17 年) =_。13 (2000 年) =_。14 (2013 年) =_。15 (2010 年) 设位于曲线 (ex+)下方，x 轴上方的无界区域为G，则 G 绕 x 轴旋转一周所得空间区域的体积为_。16 (2011 年) 曲线 直线 x=2 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转所成的旋转体的体积为_。17 (2012 年) 由曲线 y= 和直线 y=x 及 y=4x 在第一象限中围成的平面图形的面积为_。18 (2014 年)设 D 是由曲线 xy+1=0 与直线 y+x=0 及 y=2 围成的有界区域，则 D 的面积为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 (
5、2010 年)()比较 01|lnt|ln(1+t)ndt 与 01tn|lnt|dt(n=1，2，)的大小，说明理由；()记 un=01|lnt|ln(1+t)ndt(n=1，2，)，求极限20 (2004 年) 设 f(x)，g(x)在a，b 上连续，且满足 axf(t)dtaxg(t)dt，xa，b)， abf(t)dt=abg(t)dt。证明： abxf(x)dxabxg(x)dx。21 (2017 年) 求22 (2008 年) 设 f(x)是周期为 2 的连续函数。 (I)证明对任意实数 t，有 tt+2f(x)dx=02f(x)dx； ()证明 G(x)=0x2f(t)一 tt+
6、2f(s)dsdt 是周期为 2 的周期函数。23 (2016 年) 设函数 f(x)连续，且满足 0xf(xt)dt=0x(xt)f(t)dt+e-x 一 1，求 f(x)。24 (2001 年) 已知抛物线 y=px2qx 印(其中 p0，q 0)在第一象限与直线 x+y=5 相切，且此抛物线与 x 轴所围成的平面图形的面积为 S。问 p 和 q 为何值时，S 达到最大?并求出此最大值。25 (2002 年) 设 D1 是由抛物线 y=2x2 和 x=a，x=2 及 y=0 所围成的平面区域；D 2 是由抛物线 y=2x2 和直线 y=0，x=a 所围成的平面区域，其中 0a2。 (I)试
7、求 D1绕 x 轴旋转而成的旋转体体积 V1；D 2 绕 y 轴旋转而成的旋转体积 V2； ()问 a 为何值时，V 1+V2 取得最大值? 试求此最大值。26 (2013 年) 设 D 是由曲线 ，直线 x=a(a0)及 x 轴所围成的平面图形。Vx，V y 分别是 D 绕 x 轴、y 轴旋转一周所得旋转体的体积。若 Vy=10Vx，求 a 的值。27 (2002 年) 设函数 f(x)， g(x)在a，b 上连续，且 g(x)0，利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点 a，b，使 abf(x)g(x)dx=f()abg(x)dx。28 (2000 年) 设函数 f(x)在 0，上连续，且
8、 0f(x)dx=0， 0f(x)cosxdx=0，试证：在(0，) 内至少存在两个不同的点 1， 2，使 f(1)=f(2)=0。29 (2003 年)设函数 f(x)在 0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1。试证必存在 (0，3)，使 f()=0。30 (2007 年)设函数 f(x)， g(x)在a，b 上连续，在 (a，b)内二阶可导且存在相等的最大值，又 f(a)=g(a)，b(b)=g(b) ，证明：(I)存在 (a，b)，使得 f()=g()；()存在 (a，b)，使得 f“()=g“()。31 (2010 年) 设函数 f(x)在
9、 0，3上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且 2f(0)=02f(x)dx=f(2)+f(3)。 (I)证明存在 (0，2)，使 f()=f(0)； ()证明存在 (0，3)，使f“()=0。32 (1999 年) 设函数 f(x)在区间 0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=0，试证：(I)存在 ，使 f()=；( )对任意实数 ，必存在 (0，)，使得 f()一 f()一 =1。33 (2001 年) 设 f(x)在区间 0，1上连续，在(0，1)内可导，且满足 f(1)=(k1) 。证明：存在 (0，1)，使得 f()=(1 一 -1)f()。34 (2009 年)
10、(I) 证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在a ，b上连续，在(a，b)内可导，则存在 (a，b) ，使得 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)； ()证明：若函数 f(x)在 x=0处连续，在(0，)( 0)内可导，且 =A，则 f+(0)存在，且 f+(0)=A。35 (2013 年) 设函数 f(x)在 0，+)上可导，f(0)=0 且 =2，证明：(I)存在a0，使得 f(a)=1；()对(I)中的 a，存在 (0，a)，使得 f()= 。考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【
11、试题解析】 原问题可转化为求成立时 x 的取值范围。由 ，t(0 ，1)，可知当 x(0，1)时，f(x)0。故应选 A。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 当 时， 因此 lnsinxlncosxlncotx ， 故选 B。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 只要 f(x)可积( 积分值有意义)，变上限积分 axf(t)dt 就一定连续，可知选项 D 是正确的，同时选项 C 是错误的；由于闭区间上的连续函数一定有界，可知选项 A 是错误的；被积函数 f(x)在区间(0 ，2)内的符号既可以取正也可以取负，可知 g(x)在区间 (0，2)上不具有单调性，选项
12、 B 也错误。故选 D。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 观察被积函数 f(x)的图像可知： 在区间一 1，3上，f(x) 只有两个跳跃间断点，所以 f(x)可积，则 F(x)=0xf(t)dt 连续，据此可排除选项 B。 注意到在区间一 1，0) 上， f(x)=1，故当一 1x0 时，F(x)= 0xf(t)dt=0xdt=x，据此可排除选项 A、C。 综上所述，选 D。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 易知， 0axf(x)dx=0axdf(x)=xf(x)|0a0af(x)dx=af(a)一 0af(x)dx。 其中 af(a)是矩形 ABOC
13、面积， 0af(x)dx 为曲边梯形 ABOD 的面积，所以 0axf(x)dx为曲边三角形 ACD 的面积。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 对于 A 选项，当函数 y=f(x)在闭区间a，b 上连续时，才可使用零点定理；对于 C、D 选项，当函数 y=f(x)在闭区间 a，b上连续时，才可使用拉格朗日中值定理。 由题设 f(x)在 (a，b)处可导，从而连续，故有 f(x)一 f()=0，故答案选 B。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 首先，由已知 f(x)在a，b上连续，且 f(a)0，f(b)0，则由零点定理，至少存在一点 x0(a，b)，使得
14、f(x0)=0；另外，由极限的保号性，至少存在一点 x0(a，b)使得即 f(x0)f(a) 。同理，至少存在一点 x0(a，b) 使得 f(x0)f(b) 。所以选项 A，B，C 都正确，故选 D。【知识模块】 微积分二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 由题设可知 由分部积分法，得【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 令 x1=t，则【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 sin1cos1【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 由对称区间上积分的性质和定积分的几何意义可知，【知识模块】 微积
15、分13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 ln2【试题解析】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知，【知识模块】 微积分17 【正确答案】 4ln2【试题解析】 平面图形如图所示，【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【试题解析】 画出 D 的草图如下图所示，为便于计算，对 y 积分得【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 (I)令 f(t)=ln(1+t)一 t。当 0t1 时， ，故当0t1 时，f(t)f(0)=0。即当
16、0t1 时，0ln(1+t)t1 ，从而 ln(1+t)ntn(n=1，2，)。 又由|lnt|0 得 01|lnt|ln(1+t)ndt01tn|lnt|dt(n=1，2，)。 ()由(I)知， 0u n=01|lnt|ln(1+t)ndt01tn|lnt|dt，因为【知识模块】 微积分20 【正确答案】 令 F(x)=f(x)一 g(x)，G(x)= abF(t)dt，由题设 G(x)0，xa，b，有 G(a)=G(b)=0，G(x)=F(x)。 从而 abxF(x)dx=abxdG(x)=xG(x)|ab-abG(x)dx=一abG(x)dx， 由于 G(x)0， xa，b，故有一 ab
17、G(x)dx0，即 abxF(x)dx0。因此 abxf(x)dxabxg(x)dx。【知识模块】 微积分21 【正确答案】 由定积分的定义式可得再由分部积分法可得【知识模块】 微积分22 【正确答案】 (I)由积分的性质知，对任意的实数 t， tt+2f(x)dx=t0f(x)dx+02f(x)dx+2t+2f(x)dx。 令 x=2+u，则 2t+2f(x)dx=0tf(2+u)du=0tf(u)du=一 t0f(x)dx。 所以tt+2f(x)dx=t0f(x)dx+02f(x)dxt0f(x)dx=02f(x)dx ()由()知，对任意的 t 有 tt+2f(x)dx=02f(x)dx
18、，记 a=02f(x)dx，则 G(x)=20xf(t)dt 一 ax。所以，对任意的 x， G(x+2)一 G(x)=20x+2f(t)dta(x+2)一 20xf(t)dt+ax =2xx+2f(t)dt 一 2a=202f(t)dt 一 2a=0。 所以 G(x)是周期为 2 的周期函数。 () 由(I)知，对任意的 t 有 tt+2f(x)dx=02f(x)dx，记a=02f(x)dx，则 G(x)=2 0xf(t)dt 一 ax，G(x+2)=2 0x+2f(t)dta(x+2)。 由于对任意x，G(x+2)=2f(x+2)一 a=2f(x)一 a，G(x)=2f(x)一 a，所以G
19、(x+2)一 G(x)=0，从而 G(x+2)一 G(x)是常数，即 G(x+2)一 G(x)=G(2)一 G(0)=0。故 G(x)是周期为 2的周期函数。【知识模块】 微积分23 【正确答案】 0xf(xt)dt 作变量替换 u=x-t，则 0xf(xt)dt=x0f(u)(一 du)=0xf(u)du，代入方程可得 0xf(u)du=x0xf(t)dt 一 0xtf(t)dt+e-x 一 1。 两边同时求导数可得 f(x)=0xf(t)dte-x (1) 由于 f(x)连续，可知 0xf(t)dt 可导，从而 f(x)也可导，故对上式两边再求导可得 f(x)=f(x)+e -x，由(1)
20、式两边令 x=0 可得 f(0)=一 1，解微分方程可得【知识模块】 微积分24 【正确答案】 依题意知，抛物线如右图所示， 令y=px2+qx=x(px+q)=0，求得它与 x 轴交点的横坐标为 x1=0， 根据定积分的定义，面积 S 为 因直线 x+y=5 与抛物线 y=px2+qx 相切，故它们有唯一公共点。由方程组 得px2+(q+1)x 一 5=0，因为其公共解唯一，则该一元二次方程只有唯一解，故其判别式必为零，即 =(q+1) 2 一 4p(一 5)=(q+1)2+20p=0，令S(q)=0，得唯一驻点 q=3。当 1q3 时，S(q)0；q3 时，S(q) 0。故根据极值判定的第
21、一充分条件知，q=3 时，S(q)取唯一极大值，即最大值。从而最大值为 S=S(3)=【知识模块】 微积分25 【正确答案】 (I)画出题中图形如下图所示 ()取 V=V1+V2= +a4，(0a2)，则 V=4a3(1 一 a)=0，得区间(0，2)的唯一驻点 a=1。当 0a1 时，V0；当 a1 时， V0。因此 a=1 是极大值点，即最大值点。此时 V1+V2 的最大值为【知识模块】 微积分26 【正确答案】 由题意可得： 由于 Vy=10Vx，所以【知识模块】 微积分27 【正确答案】 因为 f(x)，g(x) 在a，b上连续，且 g(x)0，由最值定理，知 f(x)在a ，b上有最
22、大值 M 和最小值 m。即 mf(x)M，又 g(x)0 故 mg(x)f(x)g(x)Mg(x)。 abmg(x)dxabf(x)g(x)dxabMg(x)dx， 由介值定理知，存在 a，b 使 f()= 即 abf(x)g(x)dx=f()abg(x)dx。【知识模块】 微积分28 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt，0x，有 F(0)=0，由题设有 F()=0。 又由题设0f(x)cosxdx=0，用分部积分，有 0=0f(x)cosxdx=0cosxdF(x) =F(x)cosx|0+0F(x)sinxdx=0F(x)sinxdx， 由 0F(x)sinxdx=0 可知，必存
23、在一个 (0，)，使得 F()sin=0 成立，否则，在(0，)内 F(x)sinx 恒为正或恒为负，这与 0F(x)sinxdx=0 矛盾。 因为 (0，)，sin0，所以存在 (0，)，使得 F()=0。再在区间0，与， 上对 F(x)用罗尔定理，推知存在 1(0，)， 2(，)使 F(1)=0，F( 2)=0，即 f(1)=f(2)=0。【知识模块】 微积分29 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，3上连续，所以 f(x)在0，2上连续，则在0，2上必有最大值 M 和最小值 m，于是 mf(0)M， mf(1)M， mf(2)M。 所以由介值定理知，至少存在一点 c0，2，使由 f(c)
24、=1=f(3)，且 f(x)在c ，3上连续，在(c，3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在 (c，3) (0，3)，使 f()=0。【知识模块】 微积分30 【正确答案】 (I)设 f(x)，g(x)在(a ，b)内某点 c(c(a，b)同时取得最大值，则f(c)=g(c)。此时的 c 就是所求点 ，使得 f()=g()。 若两个函数取得最大值的点不同，则有 f(x)=maxf(x)，g(d)=maxg(x) ，故有 f(x)一 g(x)0，g(d)-f(d) 0，由介值定理，在(c，d) (a，b)内肯定存在一点 使 f()一 g()=0，即 f()=g()。 ()设F(x)=f(x)-g(
25、x)，由题设与(I) 的结论知，F(x)在a，b上连续，(a ，b)内二次可导，且存在 (a，b)，使 F(a)=F()=F(b)=0，分别在a，与，b上对 F(x)应用罗尔定理可得，存在 (a，) ， (，b) 使 F()=F()=0，所以 F(x)在 ，上满足罗尔定理的条件，因此根据罗尔定理知存在 (，) (a，b)，使 F“()=0，即 f“()=g“()。【知识模块】 微积分31 【正确答案】 (I)令 F(x)=0xf(t)dtxf(0)，则 F(0)=0，F=(2)=0 ，又因为 F(x)在0，2上连续，在 (0，2)内可导，故根据罗尔定理可得，至少存在一点 (0，2)，使得 F(
26、)=0，即 f()=f(0)。( )因为 f(2)+f(3)=2f(0)，即 =f(0)，又因为F(x)在2 ，3上连续，由介值定理知，至少存在一点 12，3，使得 f(1)=f(0)。因为 f(x)在0， 上连续，在(0，)上可导，且 f(0)=f()。所以由罗尔定理知，存在1(0， )，有 f(1)=0。 又因为 f(x)在， 1上是连续的，在(， 1)上是可导的，且满足 f()=f(1)。所以由罗尔定理知，存在 2(， 1)，有 f(2)=0。因为 f(x)在1， 2上是二阶可导的，且 f(1)=f(2)=0，根据罗尔定理，至少存在一点(1， 2)，使得 f“()=0。【知识模块】 微积
27、分32 【正确答案】 (I)构造函数 F(x)=f(x)一 x，则 F(x)在区间0，1上连续，在(0，1)内可导，且 ，F(1)=f(1)一 1=01=一 10，所以由介值定理得，存在一点 ，使得 F()=f()一 =0，即存在一点使得 f()=，原命题得证。 ( )令 f(x)一 f(x)一 x一 1=0，解微分方程得 f(x)=x+Cex，即 e-x(f(x)一 x)=C，令 G(x)=e -xf(x)一 x。 因为 G(0)=e 0(f(0)一 0)=0，G()=e -(f()一 )=0，所以，在(0，)上由罗尔定理知，必然存在点 (0，)，使得 G()=0，即 G()= 一 e-(f
28、()一 )+e-(f()一 1) =e-(一 f()+f()一 1)=0，即 f()一 f()一 =1。【知识模块】 微积分33 【正确答案】 且 F()=e-f()，F(1)=e-1f(1)，把 f(1)=e1-f()代入，则 F(1)=e -1f(1)=e-1e1-f()=e-f()=F()。 那么F(x)在，1上连续，在(，1)内可导，由罗尔定理知，至少存在一点 (，1)0， 1，使得 F()=e-f()e-f()+e-f()=0，即 f()=(1 一 -1)f()。【知识模块】 微积分34 【正确答案】 (I)作辅助函数 易验证 (x)满足(a)=(b)，(x)在闭区间 a，b上连续，
29、在开区间 (a，b)内可导，且根据罗尔定理，可得在(a，b)内至少有一点 ，使 ()=0，即 ()任取 x0(0，)，则函数 f(x)满足：在闭区间0 ，x 0上连续，开区间 (0，x 0)内可导，从而由拉格朗日中值定理可得，存在 ，使得故 f+(0)存在，且 f+(0)=A。【知识模块】 微积分35 【正确答案】 (I)设 F(x)=f(x)一 1，x0，因为 所以存在 X0，当xX 时，f(x)1。 令 x0X，则 f(x0)1，所以 F(x0)0。 又因为 F(0)=一 10，根据介值定理，存在 a(0，x 0) (0，+) ，使得 F(a)=0，即 f(a)=1。 ()函数在0，a上连续，在(0，a)内可导，由拉格朗日中值定理，存在 (0，a)，使得【知识模块】 微积分
