1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 19 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2006 年) 设非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)有两个不同的解 y1(x)，y 2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是( )（A）Cy 1(x)一 y2(x)。（B） y1(x)+Cy1(x)一 y2(x)。（C） Cy1(x)+y2(x)。（D）y 1(x)+Cy1(x)+y2(x)。2 (2010 年) 设 y1，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数， 使 y1+y2 是该方程的解，y 1 一 y2 是该方程对应
2、的齐次方程的解，则( )二、填空题3 (2009 年) 幂级数 的收敛半径为_。4 (1999 年) =_。5 (2005 年) 微分方程 xy+y=0 满足初始条件 y(1)=2 的特解为_。6 (2008 年) 微分方程 xy+y=0 满足条件 y(1)=1 的解 y=_。7 (2007 年) 微分方程 满足 y|x=1=1 的特解为 y=_。8 (2017 年) 设函数 f(x，y)具有一阶连续偏导数，且 df(x，y)=ye ydx+x(1+y)eydy，f(0，0)=0，则 f(x，y)=_ 。9 (2013 年) 微分方程 的通解为 y=_。10 (2015 年)设函数 y=y(x
3、)是微分方程 y“+y一 2y=0 的解，且在 x=0 处 y(x)取得极值 3，则 y(x)=_。11 (1998 年) 差分方程 2yt+1+10yt 一 5t=0 的通解为_。12 (1998 年) 某公司每年的工资总额比上一年增加 20的基础上再追加 2 百万。若以 Wt 表示第 t 年的工资总额(单位：百万元)，则 Wt 满足的差分方程是_。13 (2017 年) 差分方程 yt+1 一 2yt=2t 的通解为 yt=_。14 (2010 年) 设某商品的收益函数为 R(p)，收益弹性为 1+p3，其中 p 为价格，且R(1)=1，则 R(p)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明
4、过程或演算步骤。15 (2007 年) 将函数 展开成 x 一 1 的幂级数，并指出其收敛区间。16 (2001 年) 已知 fn(x)满足 fn(x)=fn(x)+xn-1ex(n 为正整数)且 求函数项级数的和。17 (2002 年)(I) 验证函数 y(x)= ( 一 x +)满足微分方程 y“+y+y=ex：() 利用(I) 的结果求幂级数 y(x)= 的和函数。18 (2003 年) 求幂级数 (|x|1)的和函数 f(x)及其极值。19 (2004 年) 设级数 (一x+)的和函数为 S(x)。求： (I)S(x)所满足的一阶微分方程； ()S(x)的表达式。20 (2005 年)
5、 求幂级数 在区间(一 1，1)内的和函数 S(x)。21 (2006 年) 求幂级数 的收敛域及和函数 S(x)。22 (2014 年) 求幂级数 (n+1)(n+3)xn 的收敛域及和函数。23 (2016 年) 求幂级数 的收敛域及和函数。24 (2017 年) 设 a0=1，a 1=0, (nan+an-1)，(n=1，2，)，S(x)为幂级数的和函数。(I)证明幂级数 的收敛半径不小于 1；()证明(1 一 x)S(x)一 xS(x)=0(x(一 1，1)，并求 S(x)的表达式。25 (1998 年) 设有两条抛物线 记它们交点的横坐标的绝对值为 an。(I) 求这两条抛物线所围成
6、的平面图形的面积 Sn；()求级数的和。26 (2000 年) 设 sinncosxdx，n=0 ，1，2，求27 (2008 年)设银行存款的年利率为 r=005，并依年复利计算。某基金会希望通过存款 A 万元实现第一年提取 19 万元，第二年提取 28 万元，第 n 年提取(10+9n)万元，并能按此规律一直提取下去，问 A 至少应为多少万元?28 (1999 年) 设有微分方程 y一 2y=(x)，其中 试求：在(一，+)内的连续函数 y=y(x)，使之在(一 ，1) 和(1，+)内都满足所给方程，且满足条件 y(0)=0。29 (2012 年) 已知函数 f(x)满足方程 f“(x)+
7、f(x)一 2f(x)=0 及 f“(x)+f(x)=2ex。 (I)求f(x)的表达式； ()求曲线 y=f(x2)0xf(一 t2)dt 的拐点。30 (2000 年) 求微分方程 y“一 2y一 e2x=0 满足条件 y(0)=0，y(0)=1 的解。31 (2003 年) 设 F(x)=f(x)g(x)，其中函数 f(x)，g(x)在(一 ，+)内满足以下条件： f(x)=g(x)，g(x)=f(x)， 且 f(0)=0，f(x)+g(x)=2e x。 (I)求 F(x)所满足的一阶微分方程；()求出 F(x)的表达式。32 (2006 年) 在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点
8、 M(1，0)，其上任意点 P(x，y)(x0)处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax(常数 a0)。(I) 求 L 的方程；()当 L 与直线 y=ax 所围平面图形的面积为 时，确定 a 的值。33 (2014 年) 设函数 f(u)具有 2 阶连续导数，z=f(e xcosy)满足 =(4z+excosy)e2x。若 f(0)=0，f(0)=0，求 f(u)的表达式。34 (2015 年) 设函数 f(x)在定义域 I 上的导数大于零，若对任意的 x0I，由曲线y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线与直线 x=x0 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，且 f(0)=2，求
9、 f(x)的表达式。35 (2009 年)设曲线 y=f(x)，其中 y=f(x)是可导函数，且 f(x)0。已知曲线 y=f(x) 与直线 y=0， x=1 及 x=t(t1)所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 t 倍，求该曲线方程。考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 19 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由于 y1(x)一 y2(x)是对应齐次线性微分方程 y+P(x)y=0 的非零解，所以它的通解是 Y=Cy1(x)一 y2(x)，故原方程的通解为 y=y 1(x)+Y=y1(
10、x)+Cy1(x)一y2(x)， 故应选 B。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 由题意知(1)+(2)得(y 1+y2)+p(x)(y1+y2)=(+)q(x)，所以 +=1。(1)-(2)得(y 1-y2)+p(x)(y1-y2)=(-)q(x)，所以 -=1。【知识模块】 微积分二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 由题意知， ，则有故该幂级数的收敛半径为【知识模块】 微积分4 【正确答案】 4【试题解析】 考虑幂级数 可知，该幂级数的收敛半径为1，收敛区间为(一 1，1) ，则 两边从 0 到 x 积分，得【知识模块】 微积分5 【正确答案】 xy=2【试题解析】
11、 原方程可化为(xy)=0，积分得 xy=C，代入初始条件得 C=2，故所求特解为 xy=2。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 由 xy+y=0 变形整理后得 两端积分得 ln |y|=一 ln |x|+C1，即 ln|xy|=C1，也就是 因 y(1)=1，则 ，xy=1 ，故满足条件的解为【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 令 ，则原方程变为将 y|x=1=1 代入上式得C=e。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 xye y【试题解析】 根据全微分的表达式可知， f x(x，y)=ye y，f y(x，y)=x(1+y)ey，f(x，y)=ye ydx=
12、xyey+c(y)， f y(x，y)=xe y+xyey+c(y)=xey+xyey， 即 c(y)=0，即c(y)=C，因为 f(0，0)=0，故 C=0，即 f(x，y)=xye y。【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 二阶齐次微分方程的特征方程为 解方程得 1=2=所以齐次方程的通解为【知识模块】 微积分10 【正确答案】 e -2x+2ex【试题解析】 先求解特征方程 2+ 一 2=0，解得 1=一 2， 2=1。所以原方程的通解为 y=C 1e-2x+C2ex。 由题设可知 y(0)=3，y(0)=0。代入解得 C1=1，C 2=2，故 y=e-2x+2ex。【知识
13、模块】 微积分11 【正确答案】 【试题解析】 首先把差分方程改写成标准形式 yt+1+5yt= 其齐次方程对应的特征方程及特征根分别为 r+5=0，r=一 5，故齐次方程的通解为 Yt=C(一 5)t，C 为常数。将方程右边的 此处“1”不是特征根，故令非齐次方程的一个特解为 yt*=At+B，从而 yt+1*=A(t+1)+B，代入原方程，得【知识模块】 微积分12 【正确答案】 12W t-1+2【试题解析】 W t 表示第 t 年的工资总额，则 Wt-1 表示第 t 一 1 年的工资总额，再根据每年的工资总额比上一年增加 20的基础上再追加 2 百万，所以由差分的定义可得 Wt 满足的
14、差分方程是： W t=(1+20)W t-1+2=12W t-1+2。【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 由 yt+1 一 2yt=2t 可得齐次特征方程为 r 一 2=0，得 r=2，故其齐次方程的通解为 y=C.2t，设 y*=pt2t，代入得 故通解为【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 由已知条件可知 fn(x)一 fn(x)=xn-1ex，这是以 fn(x)为未知函数的一阶线性非齐次微分方程，其中 p(x)=一 1，q(x
15、)=x n-1ex，代入通解公式 f(x)=e -p(x)dx(q(x)ep(x)dx+C)，得其通解为记收敛区间为(一 1，1) 。当 x(一 1，1)时，根据幂级数的性质，可以逐项求导，故根据函数积分和求导的关系f(x)dx=f(x)+C ，得 0xS(x)dx=S(x)|0x=S(x)一 S(0)，当 x=一 1时， 级数在此点处收敛，而右边函数连续，因此成立的范围可扩大到 x=一 1 处，即【知识模块】 微积分17 【正确答案】 (I)因为幂级数 的收敛域是(一， +)，因而可在( 一 ，+)上逐项求导，得()与y“+y+y=ex 相应的齐次微分方程为 y“+y+y=0，其特征方程为
16、2+1=0，【知识模块】 微积分18 【正确答案】 上式两边从 0 到 x 积分，得令 f(x)=0，求得唯一驻点 x=0。由于 f“(0)=一 10。因此 f(x)在 x=0 处取得极大值，且极大值为 f(0)=1。【知识模块】 微积分19 【正确答案】 因此S(x)是初值问题 y(0)=0 的解。由初始条件 y(0)=0，得 C=1。故 因此和函数 S(x)=【知识模块】 微积分20 【正确答案】 S(x)=S1(x)一S2(x)，x(一 1，1)。由于【知识模块】 微积分21 【正确答案】 记 则所以当|x| 21，即|x|1 时，所给幂级数收敛；当|x|1 时，所给幂级数发散；当 x=
17、1 时，所给幂级数均收敛。故所给幂级数的收敛域为一 1，1。又 S1(0)=0，于是 S1(x)=arctanx。 同理 S1(x)一 S1(0)=0xS1(t)dt=0xarctantdt故 S(x)=2x2arctanxxln(1+x2)， x(一 1，1)。由于所给幂级数在 x=1 处都收敛，则 S(x)=2x2arctanxxln(1+x2)， x一 1，1。【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由于 则收敛半径 R=1。当 x=1 时，(一 1)n(n+1)(n+3)发散，故收敛域为(一 1，1)。当 x0 时，【知识模块】 微积分23 【正确答案】 令 两边同时求导可得两边再求导
18、可得由于 f(0)=0，可知 f(x)=ln(1+x)一 ln(1 一 x)，再积分可得 f(x)=(1+x)ln(1+x)+(1 一 x)ln(1 一 x)+C，由于f(0)=0，可知 f(x)=(1+x)ln(1+x)+(1 一 x)ln(1 一 x)，其中一 1x1，当 x=1 与 x=一 1 时，原级数为此为一个 p 级数，根据 p 级数的性质，该和式收敛，因此可知幂级数的收敛域为一 1，1。又因为幂级数的和函数在其收敛域上连续，所以=2ln2=f(1)。因此和函数为【知识模块】 微积分24 【正确答案】 (I)由 (nan+an-1)，两边同时减去 an 可知【知识模块】 微积分25
19、 【正确答案】 (I) 因图形关于 y 轴对称，所以，所求图形的面积为()由(I)的结果知 根据级数和的定义，【知识模块】 微积分26 【正确答案】 先计算出积分 In 的具体表达式，再求和得到幂级数的收敛半径 在(-1，1)内，先微分再积分，在收敛域内幂级数仍收敛，有【知识模块】 微积分27 【正确答案】 设 An 为用于第 n 年提取(1 0+9n)万元的贴现值，则 An=(1+r)-n(10+9n)，故【知识模块】 微积分28 【正确答案】 由于所求函数 y=y(x)在(一，1)和(1，+)都满足所给微分方程，故在两个区间上分别求微分方程，即 解得由题设y(0)=0，其中 x01，可知
20、y|x=0=一 1+C1e2x|x=0=一 1+C1=0，解得 C1=1，【知识模块】 微积分29 【正确答案】 (I)特征方程为 r2+r 一 2=0，特征根为 r1=1，r 2=一 2，因此齐次微分方程 f“(x)+f(x)一 2f(x)=0 的通解为 f(x)=C1ex+C2e-2x。 再由 f“(x)+f(x)=2ex，得2C1ex+5C2e-2x=2ex，可知 C1=1，C 2=0。故 f(x)=ex。令 y“=0，原式可得 x=0。 为了说明 x=0 是 y“=0 唯一的解，需讨论 y“在 x0 和 x0 时的符号。故 x=0 是 y“=0 唯一的解。同时，由上述讨论可知曲线 y=
21、f(x2)0xf(一 t2)dt 在 x=0 左右两边的凹凸性相反，可知点(0 ，0) 是曲线 y=f(x2)0xf(一 t2)dt 唯一的拐点。【知识模块】 微积分30 【正确答案】 本题对应的齐次微分方程为 y“一 2y=0，其特征方程为 r2 一2r=0，特征根为 r1=0，r 2=2。于是齐次方程的通解为 Y=C 1+C2e2x。 由于 =2 是特征方程的单根，所以设 y*=Axe2x，求得 y*=Ae 2x+2Axe2x，y*“=4Ae 2x+4Axe2x。 代入原方程，得 4Ae2x+4Axe2x 一 2Ae2x 一 4Axe2x=e2x，即 2Ae2x=e2x，约去 e2x，再比
22、较等式左、右两边，得 2A=1， 故得特解 非齐次方程的通解为再由初始条件 y(0)=1，得 C1+C2=1， (1)【知识模块】 微积分31 【正确答案】 (I)由于 F(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x) =g 2(x)+f2(x) =f(x)+g(x)2 一 2f(x)g(x) =(2ex)2 一 2F(x)， 所以 F(x)所满足的一阶微分方程为 F(x)+2F(x)=4e2x。 () F(x)=e-2dx4e2x.e2dxdx+C =e-2x.4e2xdx+C =e2x+Ce-2x。 将 F(0)=f(0)g(0)=0 代入上式，得 C=一 1。于是 F(x)=e2x 一 e-
23、2x。【知识模块】 微积分32 【正确答案】 (I)设曲线 L 的方程为 y=f(x)，则由题设可得 这是一阶线性微分方程，其中 P(x)= ，Q(x)=ax，代入通解公式得又 f(1)=0，所以 C=一 a。故曲线 L 的方程为 y=ax2 一 ax(x0)。()L 与直线 y=ax(a0)所围成平面图形如图所示。所以 D=02ax 一(ax 2 一 ax)dx=a02(2xx2)dx= ，故 a=2。【知识模块】 微积分33 【正确答案】 设 u=excosy，则 z=f(u)=f(excosy)，对其求导得由已知条件 =(4z+excosy)e2x，可知 f“(u)=4f(u)+u。这是
24、一个二阶常系数非齐次线性方程。对应齐次方程的通解为 f(u)=C1e2u+C2e-2u，其中 C1，C 2 为任意常数，对应非齐次方程特解为 ，故非齐次方程通解为 将初始条件 f(0)=0，f(0)=0 代入，可得 所以 f(u)的表达式为【知识模块】 微积分34 【正确答案】 先写出切线方程：y=f(x 0)(xx0)+f(x0)，令 y=0，则可以得到所以(x 0，0)到切线与 x 轴交点的距离为|x 一 x0|= (x0，0)与切点距离为 f(x0)，可以得到切线与 x=x0，x 轴所围成的直角三角形面积为整理得微分方程 f2(x0)=8f(x0)，解该微分方程得又因为 f(0)=2，可
25、以计算出【知识模块】 微积分35 【正确答案】 旋转体的体积为 V=1tf2(x)dx=1tf2(x)dx。曲边梯形的面积为S=1tf(x)dx，则由题可知 V=tS，即 1tf2(x)dx=t1tf(x)dx，也就是 1tf2(x)dx=t1tf(x)dx。两边对 t 求导可得 f 2(t)=1tf(x)dx+tf(t)，即 f2(t)一 tf(t)=1tf(x)dx (*)继续求导可得 2f(t)f(t)一 f(t)一 tf(t)=f(t)，记 f(t)=y，化简可得在(*)式中令 t=1，则 f2(1)一f(1)=f(1)f(1)一 1=0，因为 f(t)0，所以 f(1)=1。代入所以该曲线方程为【知识模块】 微积分
