1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 21 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1989 年) 设 f(x)=2x+3x 一 2，则当 x0 时( )（A）f(x)是 x 等价无穷小（B） f(x)与 x 是同阶但非等价无穷小（C） f(x)是比 x 更高阶的无穷小（D）f(x)是比 x 较低阶的无穷小2 (2010 年) 设 f(x)=ln10x，g(x)=x， ，则当 x 充分大时有( )（A）g(x) h(x)f(x)（B） h(x)g(x)f(x)（C） f(x)g(x)h(x)（D）g(x) f(x)h(x)3 (1998 年) 设周期函数
2、 f(x)在(一，+)内可导，周期为 4，又，则曲线 y=f(x)在点 (5，f(5) 处的切线斜率为( )（A）（B） 0（C）一 1（D）一 24 (2007 年) 曲线 渐近线的条数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）35 (2011 年) 设 则I，J，K 的大小关系为( )（A）IJK（B） IKJ（C） JIK（D）KJI6 (2005 年) 设其中 D=(x，y)x 2+y21，则 ( )（A）I 3I 2 I1（B） I1I 2I 3（C） I2I 1I 3（D）I 3I 1 I27 (2015 年) 下列级数中发散的是( )二、填空题8 (2006 年) =_9 (19
3、89 年) 曲线 y=x+sin2x 在点 处的切线方程是_10 (2003 年) 设 其导函数在 x=0 处连续，则 的取值范围是=_ 11 (2018 年) 曲线 y=x2+2lnx 在其拐点处的切线方程是_12 (2008 年) 设 =_13 (1995 年) 设 f(u)可导，则 xzx+yzy=_14 (2013 年) 设函数 z=z(x，y)由方程(z+y) z=xy 确定，则 =_15 (2018 年) 差分方程 yx 一 yx=5 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 (2012 年) 求极限 17 (1996 年) 设某种商品的单价为 P 时，售出
4、的商品数量 Q 可以表示成其中 a、b、c 均为正数，且 abc 1)求 P 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少； 2)要使销售额最大，商品单价 P 应取何值?最大销售额是多少?18 (2006 年)证明：当 0a b 时，bsinb+2cosb+basina+2cosa+a19 (2017 年) 已知方程 在区间(0，1)内有实根，确定常数 k 的取值范围20 (1988 年) 求21 (1996 年) 设 f(x)在区间 0，1上可微，且满足条件 ，试证：存在 (0，1)，使 f()+f()=022 (2006 年) 在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M(1，0)，其上任意点
5、 P(x，y)(x0)处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax(常数 a0) )求 L 的方程；()当 L 与直线 y=ax 所围成平面图形的面积为 时，确定 a 的值23 (1991 年) 计算二重积分所围成的区域；a0，b024 (2000 年) 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别为 p 1=182Q1， p 2=12 一 Q2 其中 p1 和 p2 分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元吨) ，Q 1 和 Q2 分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)并且该企业生产这种产品的总成本函数是 C=2Q+5 其中 Q 表示该产品在两个
6、市场的销售总量，即 Q=Q1+Q2 1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润； 2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化，并比较两种价格策略下的总利润大小25 (2008 年) 计算 其中 D=(x，y)0x2，0y226 (2018 年) 设平面区域 D 由曲线 及 y 轴围成，计算二重积分27 (1995 年) 将函数 y=1n(1 一 x 一 2x2)展成 x 的幂级数，并指出其收敛区间28 (2017 年) 设 a0=1，a 1=0，的和函数( )证明幂级数 的收敛半径不小于
7、 1；()证明(1 一 x)S(x)xS(x)=0(x(一 1，1)，并求 S(x)的表达式29 (1999 年) 设有微分方程 y一 2y=(x)，其中 试求在(一，+)内的连续函数 y=y(x)，使之在(一 ，1) 和(1，+)内都满足所给方程，且满足条件 y(0)=0考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 21 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由于=ln2+ln3=1n6 则应选 B2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 则当 x 充分大时 h(x)g(x) 又则当 x 充分大时，g(x) f(x)，故应选 C3 【
8、正确答案】 D【试题解析】 由题设 f(x)在( 一，+) 内可导，且 f(x)=f(x+4)，两边对 x 求导，则f(x)=f(x+4)，故 f(5)=f(1)由于则 f(1)=一 2，故 y=f(x)在点(5，f(5)处的切线斜率为 f(5)=一 24 【正确答案】 D【试题解析】 由于 则 x=0 为原曲线的一条垂直渐近线而 则 y=0 为原曲线的一条水平渐近线则 y=x 为原曲线的一条斜渐近线，由此可知原曲线共有三条渐近线所以本题应选 D5 【正确答案】 B【试题解析】 当 ，sinxcosx1cotx，而 lnx 为单调增的函数，则lnsinxlncosxlncotx 故应选 B6
9、【正确答案】 A【试题解析】 由于当 cosx 是减函数，而当 0x2+y21 时，x2+y2(x2+y2)，即 I1I2I37 【正确答案】 C【试题解析】 由交错级数的莱布尼兹准则知，级数 发散，故级数发散选 C二、填空题8 【正确答案】 应填 1【试题解析】 9 【正确答案】 应填 y=x+1【试题解析】 y=1+2sinxcosx ， 该曲线在点 处的切线方程是 即 y=x+110 【正确答案】 应填 2【试题解析】 当 x0 时 当 x=0 时由上式可知，当 1 时， f(0)存在，且 f(0)=0 又由上式可知，当 2 时，即导函数在 x=0 处连续11 【正确答案】 应填 y=4
10、x 一 3【试题解析】 令 y=0 得 x=l，x= 一 1(舍去)，拐点为(1 ，1)，又 f(1)=2+2=4 则拐点处的切方程是为 y1=4(x 一 1)即 y=4x 一 312 【正确答案】 应填【试题解析】 13 【正确答案】 应填 2z【试题解析】 14 【正确答案】 应填 221n2【试题解析】 方程(x+y) x=xy 两端取对数得 xln(x+y)=lnx+lny 上式两端对 x 求偏导得 将 x=1，y=2 代入上式，并注意 z=0，得15 【正确答案】 应填 yx=C2x 一 5【试题解析】 2yx=x+1 一y x (yx+2 一 yx+1)一(y x+1 一 yx)
11、=yx+22yx+1+yx 代入 2yx一 yx=5 得 y x+22yx+1=5，即 yx+12yx=5 齐次差分方程 yx+1 一 2yx=0 的通解为 yx=C.2x 而 yx+12yx=5 的特解为 yx*=一 5 故原方程的通解为 y x=C2x 一 5三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 17 【正确答案】 (1)设售出商品的销售额为 R，则令 R=0，得当 时，R0，所以随单价 p 的增加，相应销售额也将增加当时，有 R0所以随单价 p 的增加，相应销售额将减少(2)由(1)可知，当 时，销售额 R 取得最大值，最大销售额为18 【正确答案】 设
12、fx)=xsinx+2cosx+x，x 0，则 f(x)=sinx+xcosx 一 2sinx+=xcosxsinx+f(x)=cosxxsinxcosx=一 xsinx0，x (0，)故 f(x)在0 ， 上单调减少，从而 f(x)f()=0，x(0，)因此 f(x)在0，上单调增加，当 0ab 时f(b)f(a)即 bsinb+2cosb+basina+2cosa+a19 【正确答案】 记记 g(x)=(1+x)ln2(1+x)一 x2，则 g(x)=In 2(1+x)+2In(1+x)一 2x，当 x(0，1 时，g(x)0，所以 g(x)g(0)又g(0)=0，所以当 x(0，1 时，
13、g(x) 0，从而 g(x)g(0)=0综上可知 f(x)0，即f(x)单调递减由于所以方程 f(x)=0 在区间(0，1)内有实根当且仅当 故常数 k 的取值范围为20 【正确答案】 21 【正确答案】 令 (x)=xf(x)，由积分中值定理可知，存在 使由已知条件，有由于 (1)=f(1)=()并且 (x)在，1上连续，在( ，1) 上可导，故由罗尔定理可知，存在 (，1) (0，1)，使得 ()=0 即 f()+f()=022 【正确答案】 () 依题意得 求得其通解为将 x=1，y=0 代入上式得 C=一 a从而 L 的方程为 y=ax2 一 ax ()L 与直线 y=ax 的交点坐标
14、为 (0，0)和(2，2a) ，那么 L 与直线 y=ax 围成平面图形的面积 S(a)=02(ax 一 ax2+ax)dx=02(2ax 一 ax2)dx=于是由题设知 从而 a=223 【正确答案】 先画积分域草图(图 210)， 以便确定积分限dx=一 2a(1一 t)dt则 I=ab 201(t4t 5)dt=24 【正确答案】 (1)根据题意，总利润函数为 L=RC=p 1Q1+p2Q2 一(2Q+5)=一2Q12 一 Q22+16Q1+10Q25 令 解得 Q1=4，Q 2=5，则p1=10(万元吨)，p 2=7(万元吨) 因驻点(4，5)唯一，且实际问题一定存在最大值，故最大值必
15、在驻点处达到，最大利润为 L= 一 2B42 一 52+16B4+10B55=52(万元) (2)若实行价格无差别策略，则 p1=p2，于是有约束条件 2Q1Q2=6 构造拉格朗日函数 F(Q1，Q2，)=一 2Q12 一 Q22+16Q1+10Q25+(2Q1Q26)令解得 Q1=5，Q 2=4，=2，则 p1=p2=8最大利润L=一 2B52 一 42+16B5+10B45=49(万元)由上述结果可知，企业实行差别定价所得总利润要大于统一价格的总利润25 【正确答案】 曲线 xy=1 将区域 D 分成如图所示的两个区域 D1 和 D226 【正确答案】 令 x=sint，则27 【正确答案
16、】 ln(1 一 x 一 2x2)=ln(12x)(1+x)=ln(1+x)+ln(12x)其收敛域为(一 1，1：28 【正确答案】 () 因为 a0=1，a 1=0， 所以0an+11记 R 为幂级数 的收敛半径当x1 时，因为a nxnx n 且级数 收敛，所以幂级数 绝对收敛，于是(一1，1) (一 R，R)，故 R1()解方程(1 一 x)S(x)xS(x)=0 得 由 S(0)=a0=1 得 C=1，故29 【正确答案】 当 x1 时，有 y一 2y=2，其通解为 y=C 1e2x 一 1(x1)由 y(0)=0知，C 1=1，所以 y=e 2x 一 1，(x1) 当 x1 时，有 y一 2y=0，其通解为y=C2e2x(x1)由 =e2 一 1 得 C2=1 一 e2 ，所以 y=(1 一e2 )2x (x1) 因此
