1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 22 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1990 年) 设函数 f(x)=xtanxesinx，则 f(x)是( )（A）偶函数 （B）无界函数 （C）周期函数（D）单调函数2 (2011 年) 已知当 x0 时，函数 f(x)=3sinxsin3x 与 cxk 是等价无穷小，则( )（A）k=1，c=4（B） k=1，c=一 4（C） k=3，c=4（D）k=3，c=一 43 (2000 年) 设函数 f(x)在点 x=a 处可导，则函数f(x)在点 x=a 处不可导的充分条件是( )（A）f(a)=0 且
2、f(a)=0 （B） f(a)=0 且 f(a)0（C） f(a)0 且 f(a)0（D）f(a)0 且 f(a)0 4 (2007 年) 设某商品的需求函数为 Q=1602p，其中 Q，p 分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是( )（A）10（B） 20（C） 30（D）405 (1987 年) 下列广义积分收敛的是( ) 6 (2018 年) 设函数 f(x)在0，1上二阶可导，且 01 f(x)dx=0，则( )7 (2006 年) 设 f(x，y)与 (x，y)均为可微函数，且 (x，y)0，已知(x 0，y 0)是f(x，y)在约束条件 (x，y)
3、=0 下的一个极值点，下列选项正确的是( )（A）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)=0（B）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)0（C）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)=0（D）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)08 (2016 年) 级数 (k 为常数)( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与 k 有关二、填空题9 (2007 年) =_10 (1990 年) 设 f(x)有连续的导数， f(0)=0 且 f(0)=b，若函数在 x=0 处连续，则常数 A=_11 (2003 年) 已知曲线 y=
4、x3 一 3a2x+b 与 x 轴相切，则 b2 可以通过 a 表示为b2=_12 (2018 年)设函数 f(x)满足 f(x+x)一 f(x)=2xf(x)x+o(x)(x0)，且 f(0)=2，则f(1)=_13 (2010 年) 设可导函数 y=y(x)由方程 0x+yet2 dt=0xxsint2dt 确定，则=_.14 (2000 年) 设 其中 f，g 均可微，则 =_15 (2014 年) 二次积分 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 (2013 年) 当 x0 时，1 一 cosx.cos2x.cos3x 与 axn 为等价无穷小，求 n 与 a 的值
5、17 (1997 年) 在经济学中，称函数 为固定替代弹性生产函数，而称函数 为 CobbDouglas 生产函数，(简称 CD 生产函数) 试证明：当 x0 时，固定替代弹性生产函数变为 CD 生产函数，即有 18 (2007 年) 设函数 y=y(x)由方程 ylnyx+y=0 确定，试判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性19 (1988 年) 过曲线 y=x2(x0)上某点 A 作一切线使之与曲线及 z 轴围成图形的面积为 ，求：(1)切点 A 的坐标(2) 过切点 A 的切线方程； (3)由上述图形绕 z 轴旋转而成旋转体体积 V20 (1997 年) 设函数 f(x)在
6、0，+)上连续单调不减且 f(0)0试证函数在0，+)上连续且单调不减(其中 n0)21 (2008 年) 设 f(x)是周期为 2 的连续函数 ()证明对任意的实数 t，有 tt+2f(x)dx=02f(x)dx； ()证明 G(x)=0x2f(t)一 tt+2f(s)dsdt 是周期为 2 的周期函数22 (1991 年) 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 p1 和 p2；销售量分别为 q1 和 q2；需求函数分别为 q 1=24 一 02p 1，q 2=10 一 05p 2 总成本函数为 C=35+40(q 1+q2) 试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得总利润
7、最大?最大利润为多少 ?23 (2001 年) 设 u=f(x，y，z)有连续的一阶偏导数，又函数 y=y(x)及 z=z(x)分别由下列两式确定：e xyxy=224 (2009 年) 求二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny 的极值25 (2018 年)将长为 2m 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在，求出最小值26 (1997 年) 从点 P1(1，0)作 x 轴的垂线，交抛物线 y=x2 于点 Q1(1，1)；再从 Q1 作这条抛物线的切线与 x 轴交于 P2然后又从 P2 作 x 轴的垂线，交抛物线于 Q2，依次重复上述
8、过程得到一系列的点 P1，Q 1；P 2，Q 2；P n，Q n；(1)求 ；(2)求级数表示点 M1 与 M2 之间的距离27 (2018 年) 已知 求 an28 (1987 年) 某商品的需求量 x 对价格 p 的弹性 =一 3p3，市场对该商品的最大需求量为 1(万件) ，求需求函数29 (2000 年) 求微分方程 y一 2y一 e2x=0 满足条件 y(0)=1，y(0)=1 的解考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 22 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由于 则 f(x)无界2 【正确答案】 C【试题解析】
9、 则 k=3， c=43 【正确答案】 B【试题解析】 排除法A 选项显然不正确，f(x)=(x 一 a)2 就是一个反例事实上C 和 D 也是不正确的因为 f(x)在 a 点可导，则 f(x)在 a 点连续，若 f(a)0(或f(a)0)则存在 a 点某邻域在此邻域内 f(x)0(或 f(x)0)，因此在 a 点的此邻域内f(x)=f(x)(或f(x)=一 f(x)从而可知f(x)与 f(x)在 a 点可导性相同，而 f(x)在点可导，从而 C 和 D 都不正确，因此，应选 B4 【正确答案】 D【试题解析】 由题设可知，该商品的需求弹性为 由知 p=40故应选 D5 【正确答案】 C【试题
10、解析】 由于 收敛，所以应选 C6 【正确答案】 D【试题解析】 由泰勒公式得上式两端积分得7 【正确答案】 D【试题解析】 由拉格朗日乘数法知，若(x 0，y 0)是 f(x，y)在条件 (x，y)=0 下的极值点，则必有 若 fx(x0，y 0)0，由 式知0，由原题设知 y (x0，y 0)0，由 式可知 fy (x0，y 0)0，故应选 D8 【正确答案】 A【试题解析】 由于 收敛，则原级数绝对收敛二、填空题9 【正确答案】 应填 0【试题解析】 由于sinx+cosx为有界变量，则10 【正确答案】 应填 a+b【试题解析】 由于 F(x)在 x=0 连续，则11 【正确答案】 应
11、填 4a6【试题解析】 设 曲线 y=x3 一 3a2x+b 在 x=x0 处与 x 轴相切，则 3x 023a2=0 且 x033a2x0+b=0 即 x 02=a2 且 x 0(x023a2)=一 b 从而可得 b2=4a612 【正确答案】 应填 2e【试题解析】 由 f(x+x)一 f(x)=2xf(x)x+o(x)(x0)知上式中令x0 得 f(x)=2xf(x)解方程得 f(x)=Ce x2 又 f(0)=2，则 C=2，f(x)=2e x2，f(1)=2e13 【正确答案】 应填一 1【试题解析】 由 0x+yet2 dt=x0xsintdt 知，x=0 时 y=0，且 e (x
12、+y)2 (1+y)=0xsintdt+xsinx 将 x=0 和 y=0 代入上式得 1+y(0)=0 y(0)=114 【正确答案】 应填【试题解析】 15 【正确答案】 应填【试题解析】 积分 中的第二项适合先对 x 后对 y 积分，但第一项适合先对 y 后对 x 积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 由于当 n=2 时，由题设知 故 a=7当 n2 时，显然不合题意所以 a=7，n=217 【正确答案】 18 【正确答案】 等式 ylnyx+y=0 两边对 x 求导得 ylny+y一 1+y=0在点(1，1)附近 y0，则曲线 y=y(x)是凸的19
13、 【正确答案】 画草图 设切点 A 为(x 0，x 02)，由 f(x)=2x知，过 A 点的切线方程为 yx 02=2x0(xx0)即 y=2x0xx02，令 y=0，得切线与 x轴的交点为 由题设则 x0=1，即切点 A 的坐标为(1，1)，切线方程为 y 一 1=2(x 一 1)所求旋转体的体积为20 【正确答案】 显然 x0 时，F(x)连续，又则 F(x)在0，+) 上连续 当 x(0，+)时由于 f(x)单调不减，则 f(x)f()，又 xnn，从而 x nf(x)nf()故 F(x)0 (0x+)F(x)在0 ，+) 上单调不减21 【正确答案】 () 由积分的性质知，对任意的实
14、数 t， tt+2f(x)dx=t0f(x)dx+02f(x)dx+2t+2f(x)dx 令 s=x 一 2，则有 2t+2f(x)dx=0tf(s+2)ds=0tf(s)ds=一 t0f(x)dx 所以 tt+2f(x)dx=t0f(x)dx+02f(x)dx t0f(x)dx=02f(x)dx ()由于 tt+2f(s)ds02f(s)ds 记 02f(s)ds=a 则 G(x)=2 0xf(t)dtax 因为对任意的 x， G(x+2)一 G(x)=20x+2f(t)dta(x+2)一20xf(t)dt+ax =2xx+2f(t)dt 一 2a=202f(t)dt 一 2a=0，所以，G
15、(x) 是周期为 2 的周期函数22 【正确答案】 利润函数为 L=(p1q1+p2q2)一35+40(q 1+q2)=32p102p 12+12p2005p 22 一 1395 令 由问题的实际意义可知，当 p1=80，p 2=120 时，厂家所获得的总利润最大，其最大利润为 L p1=80，p2=120 =80=60523 【正确答案】 由 exy 一xy=2 两边时 x 求导得又由两边对 x 求导，得24 【正确答案】 显然，ACB 20，而 A0，故二元函数 f(x，y)有极小值25 【正确答案】 设圆的半径为 x，正方形与正三角形的边长分别为 y 和 z，则问题化为：函数 f(x，y
16、，z)=x 2+y2+ 在条件 2x+4y+3z=2(x0，y0，z 0)下是否存在最小值令考虑方程组又当2x+4y+3z=2 且 xyz=0 时，f(x，y，z) 的最小值为所以三个图形的面积之和存在最小值，最小值为26 【正确答案】 (1)由 y=x2 得，y=2x，对于任意 a(0a1) ，抛物线 y=x2 在点(a， a2)处的切线方程为 ya 2=2n(xa)且该切线与 x 轴的交点为可见27 【正确答案】 因为28 【正确答案】 由弹性公式，得 两边积分得 lnx=一p3+c1 即 x=e p3+c 1=cep3 。由 x p0 =1，解得 c=1，故所求函数为 ep3 29 【正确答案】 齐次方程 y一 2y=0 的特征方程为 2 一 2=0，由此得1=0， 2=2对应齐次方程的通解为 =C1+C2e2x 设非齐次方程的特解为 y=Axe2x代入原方程得 从而所求解为
