1、考研数学三（微积分）模拟试卷 120 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设积分区域 D：x 2+y2R2，其中 y0，则( )其中 D1 是积分区域 D 在 x0 的部分区域2 若已知 f(cosx)dx=( )3 设区域 D 是 x2+y21 在第一、四象限的部分， f(x，y)在 D 上连续，则二重积分f(x，y)dxdy=( )4 二重积分 d0cosf(rcos，rsin)rdr 又可表示成( )5 设(x)= (x)f(yx)dxdy 的值为( )（A）(1 一 cos2)2（B） (1+cos2)2（C） (1+sin2)2（D）(1 一
2、 sin2)2二、填空题6 设 D 是由 x 轴，y 轴，x=1，y=2 所围成的闭区域，且 1f(x，y)3，则I= f(x，y)dxdy 的估值区间为_7 设 D 是由 x=0，y=0 ，y=1 一 x 所围成的区域，则二重积分 Cdxdy=_ (其中 C0) 8 设函数 f(u)连续，且积分区域 D=(x，y)0xa，0ya，则二重积分 f(x)f(y)d_9 二次积 01dyy1( )dx=_10 交换二重积分的次序 I=02dx f(x，y)dy=_11 设 x=rcos，y=rsin，将极坐标下的累次积分转换成直角坐标系下的累次积分：d12cosf(rcos，rsin)rdr=_三
3、、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 计算二重积分 I= ，其中 D 为 x2+y2=1 与 y=x所围成的区域13 求二重积分 I= ydxdy，其中积分区域 D 是由直线 y=0，y=2，x=2 及曲线 x=一 所围成的平面图形14 计算二重积分 I= sin(x2+y2)dxdy，其中积分区域D=(x，y) x 2+y215 求二重积分 I= xydxdy，其中积分区域 D=(x，y)x 2+y21，x 2+y22x0，y016 求二重积分 I= ，其中积分区域。是由曲线 y=a+(a0)和直线 y=一 x 所围成的平面区域17 求二重积分 I= (x+y)2dxdy，其
4、中积分区域D=(x，y) 0ayx 2+y22ay，a 0 18 计算二重积分 I= x1+yf(x2+y2)dxdy，其中积分区域D=(x， y)y=x 3，y=1， x=一 119 计算二重积分 I= ，其中积分区域 D=(x，y)x 2+y2R220 设分段函数 f(x，y)= f(x，y)dxdy，其中积分区域 D=(x，y)x 2+y22x21 计算 I= sin(x+y)dxdy，其中积分区域 D=(x，y)0x ，0y2 22 设积分区域 D=(x，y)0x，0y，计算二重积分 I= sinxsinymaxx，ydxdy23 计算二重积分 I= 3x+4ydxdy，其中积分区域
5、D=(x，y)x 2+y2124 求 I= ( x+y)dxdy，其中 D 是由曲线 xy=2，直线 y=x 一 1 及 y=x+1 所围成的区域25 计算二重积分 I= ，其中积分区域为D=(x，y) x1 ，0y226 计算二重积分 I= x+y 一 2d ，其中积分区域为 D=(x，y)0x2，一 2y227 设函数 f(x)在区间a，b上连续，且 f(x)0，证明： abf(x)dx ab (ba)228 设函数 f(x)在区间a，b上连续，且区域 D=(x，y)axb ，ayb，证明： abf(x)dx2(ba)abf2(x)dx29 交换二重积分 I=01dx f(x，y)dy 的
6、积分次序，其中f(x，y)为连续函数30 交换极坐标系下的二重积分 I=/2/2d0acosf(r， )dr 的次序，其中 f(r，) 为连续函数31 设函数 f(x)在区间a，b上连续，n1 为自然数，证明： abdxax(xy)n2f(y)dy=ab(b 一 y)n1f(y)dy32 设函数 f(x)在0，1上连续，并设 01f(x)dx=A，求 I=01f(x)dxx1f(y)dy考研数学三（微积分）模拟试卷 120 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为积分区域 D 是关于变量 y 对称，且 f(x，y)=x 是奇
7、函数，所以 而相应的右侧均不为 0，故选 B【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 因为【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 区域 D 是以 1 为半径的圆在 x 坐标轴的右边的部分，如图 172所示的阴影部分，所以，【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 积分区域 D 为圆 的上半部分，如图 1 一 73所示的阴影部分所以，【知识模块】 微积分5 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)f(yx)仅在区域 D1：xyx+2，0x2 内非零，所以 f(x)f(yx)dxdy =02dxxx+2sinxsin(yx)dy =(1 一cos2)2 故
8、选 A【知识模块】 微积分二、填空题6 【正确答案】 2，6 【试题解析】 因为 D 的面积为 2，f(x，y)在 D 上的最大值 M=3，最小值 m=1所以，由二重积分的估值性质知【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 ( 0af(x)dx)2【试题解析】 f(x)f(y)d=0adx0af(x)f(y)dy =0af(x)dx0af(y)dy =(0af(x)dx)2。【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 二次积分的积分区域 01dyy1( )dx 为D=(x，y)0y1，yx1=(x，y)0x1，0yx交换积分次序得【知识模
9、块】 微积分10 【正确答案】 02dy f(x，y)dx 【试题解析】 积分区域 D 为由 y= ，x 2+y2=8 及 x 轴所围在第一象限的部分，如图 171 的阴影部分所以【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【试题解析】 在极坐标系下，积分区域 D：0 ，1r2cos 故在直角坐标系下，D 为 x2+y2=1 和 x2+y2=2x 以及 x 轴上的线段 1x2 围成的区域，所以 原式=f(x，y)dy 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 【试题解析】 如图 17 一 4，因为被积函数 f(x，y)= ，所以应先定变量x 的上、下
10、限，然后再定变量 y 的上、下限又因为被积函数与积分区域关于 y 坐标轴对称，故只需考虑积分区域 D 在第一象限部分的情况【知识模块】 微积分13 【正确答案】 利用直角坐标系计算【试题解析】 因为被积函数 f(x，y)=y，所以应先定变量 z 的上、下限，然后再定变量 y 的上、下限【知识模块】 微积分14 【正确答案】 作极坐标变换，x=rcos，y=rsin，则 I=e sinr2dr 令 t=r2，则 I=e0etsintdt 再令 I etsintdt=A，则 A=一 0sintd(et) =一(e tsint 0一 0etcostdt) =一0costd(et) =一(e tcos
11、t 0+0etsintdt) =e+1 一 A因此，A=(1+e)【试题解析】 因为被积函数 f(x，y)含有 x2+y2，且积分区域 D 为圆，应选用极坐标系计算二重积分【知识模块】 微积分15 【正确答案】 如图 175，利用直角坐标系在直角坐标系下，积分区域为 D=D1+D2，其中【试题解析】 根据积分区域的表达式，画出相应的积分区域的图形，以此确定相应的计算方法【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 本题主要考查二重积分在极坐标系下的计算方法【知识模块】 微积分17 【正确答案】 其中 D1是由 D 中 x0 部分的区域组成【试题解析】 因为积分区域 D 是圆域的一部分，
12、故可用极坐标系计算又因为积分区域 D 是关于坐标 y 轴对称，则只需分析被积函数 f(x，y)关于变量x 的奇偶性即可【知识模块】 微积分18 【正确答案】 (后一项，D 1 关于 x 轴对称，f(x，y)是变量 y 的奇函数)【试题解析】 设 D1 是由 y=一 x3，y=x 3 和 x=一 1 围成的区域，D 2 是 y=x3，y=一x3 和 y=1 围成的区域，则 D1 关于 x 轴对称，D 2 关于 y 轴对称，所以补充曲线 y=一 x3，使积分区域 D 分别关于 x 坐标轴、y 坐标轴对称【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【试题解析】 因为积分区域 D 是圆域，所以轮换变量 x
13、y，使得积分区域 D 不变【知识模块】 微积分20 【正确答案】 令 D1 是由 y=x，y=【试题解析】 本题主要考查分段函数的二重积分【知识模块】 微积分21 【正确答案】 当 0x+y 时，sin(x+y)0 ； 当 x+y2 时，sin(x+y)0； 当2x+y3 时，sin(x+y)0故可将积分区域 D 分解成三个小区域 D1，D 2，D 3，如图 176 所示于是，【试题解析】 本题主要考查绝对值函数的二重积分【知识模块】 微积分22 【正确答案】 因为 maxx，y= ，故设积分区域 D1=(x，y) yx ，0y，D 2=(x，y)xy，0x于是，【试题解析】 首先应设法去掉最
14、大值符号 max，为此将积分区域分为两部分即可【知识模块】 微积分23 【正确答案】 设坐标交换 u=1 于是，上述变换就将区域 D=(x，y)x 2+y21换成区域D=(u，v) u 2+v21所以， 【试题解析】 本题主要考查绝对值函数的二重积分，关键问题在于如何去掉绝对值的符号【知识模块】 微积分24 【正确答案】 作出积分区域 D 的图形，如图 177 因积分区域 D 关于坐标原点 0 是对称的，被积函数(x+y) 又是变量 x 与 y 的偶函数，故【试题解析】 本题的被积函数含有两个绝对值符号，关键问题在于先去掉一个绝对值符号，再去掉另一个【知识模块】 微积分25 【正确答案】 因为
15、被积函数 f(x，y)= 关于变量 x 是偶函数，且积分区域 D 关于 y 坐标轴对称因此，其中积分区域D1=(x，y) 0x1 ，0yx 2(x，y)0x1，x 2y2由于【试题解析】 对于绝对值函数的二重积分，关键问题是根据条件画出相应的图形，如图 178【知识模块】 微积分26 【正确答案】 如图 179，设积分区域 D 1=(x，y)0x2，2 一 xy2， D2=(x，y) 0x2 ，一 xy2 一 x， D 3=(x，y)0x2，一 xy一 x于是，=02dx2x2(x+y2)dy+02dx2x2(2xy)dy+02dx2x2(x+y2)dy=8【试题解析】 被积函数含有绝对值，应
16、当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【试题解析】 本题主要考查如何将定积分的问题化为二重积分【知识模块】 微积分28 【正确答案】 因为 f(x)在区间a ，b上连续，则f(x)一 f(y)2 在区域 D 上可积，且 0 f2(y)dxdy =abdyabf2(x)dx 一 2abf(x)dx abf(y)dy+abdxabf2(y)dy =2(b 一 a)abf2(x)dx 一2abf(x)dx2，由此可得 abf(x)dx2(b 一 a)abf2(x)dx【试题解析】 在不等式的证明中，若含有一个函数 f(x)的平方 f2(x)，以及
17、f(x)的某种表达式的平方，一般采用构造一个新的函数形式，如f(x)一 f(y)2 等【知识模块】 微积分29 【正确答案】 如图 1710，由已知二重积分的第一部分 01dx f(x，y)dy，得积分区域 D 1=(x，y) 0x1，0yx 2 由已知二重积分的第二部分13 f(x，y)dy，得积分区域 D 2=(x，y)1x3 ，0y (3 一 x) 按着新的积分次序(先 x 后 y)，得到相应的积分区域【试题解析】 交换二重积分的一般步骤为：(1)根据原有的二重积分的上、下限，画出相应的积分区域的图形；(2)按着新的积分次序写出相应的二重积分【知识模块】 微积分30 【正确答案】 所给积分区域的边界的直角坐标系下的方程为 x2+y2=ax将原积分区域变换为 D=(x ，y)x 2+y2=ax【试题解析】 极坐标系下的二重积分的交换次序，与直角坐标系下的二重积分的交换次序完全一致【知识模块】 微积分31 【正确答案】 【试题解析】 凡是遇到逐项积分，一般均应先交换二重积分的次序【知识模块】 微积分32 【正确答案】 交换积分次序积分区域其中最后一个等式是在 D2=(x，y)0x1，0yx上积分，故【试题解析】 因为 f(x)为抽象函数，未具体给出，故原函数无法直接求得【知识模块】 微积分
