1、考研数学三（无穷级数）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 级数 (常数 a0)( )（A）发散 （B）条件收敛 （C）绝对收敛 （D）收敛性与 有关2 设 为常数，则级数 ( )（A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）收敛性与 的取值有关3 设函数 f(x)=x2，0x ，其中sinnxdx，n=1，2，3，则 等于( )（A）（B）（C）（D）4 已知 的收敛半径 R=1，则 的收敛域为( )（A）(-1，1) （B） -1,1) （C） (一 1，1 （D）(一， +)5 当级数 都收敛时，级数 ( )（A）一定条件收敛 （
2、B）一定绝对收敛的（C）一定绝对发散 （D）可能收敛，也可能发散6 若 则级数 ( )（A）发散（B）收敛于 0（C）改敛于（D）其敛散性不确定7 设 un0(n=1，2，3)，且 则级数 ( )（A）发散 （B）绝对收敛（C）条件收敛 （D）收敛性根据所给条件不能判定8 若级数 条件收敛，设 则( )（A）级数 都发散（B）级数 收敛 发散（C）级数 发散， 收敛（D）级数 都收敛9 若 a0，b0，则级数 ( )（A）ba 时一定收敛 （B） ba 时一定发散（C） b0，f “(x)0，x 为自变量 x 在点 x0 处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x0 处对应的增量与微分，
3、若x0，则( )（A）00 且而 发散，因此级数发散，从而原级数条件收敛【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】 A【试题解析】 因为若 都收敛，则 收敛,即绝对收敛题设 条件收敛矛盾，故 D 不正确若 中只有一个收敛，则 应发散，与条件收敛矛盾，故 B、C 都不正确【知识模块】 无穷级数9 【正确答案】 A【试题解析】 设 ，由 a0,b0.知 un0，因为当 ba 时,恨据比值判别法知 收敛。【知识模块】 无穷级数10 【正确答案】 D【试题解析】 对于正项级数 根值法中的 仅是允分条件，并小必要，故 A 不正确， 有可能不存在如收敛，故 收敛，但不存在此例亦可排除 C【知识模块】 无穷级数
4、11 【正确答案】 B【试题解析】 由于 绝对收敛， 条件收敛，因此必收敛，且为条件收敛，故应选 B。【知识模块】 无穷级数12 【正确答案】 B【试题解析】 因为正项级数 收敛，所以，a n0，且an0(n+) 又 于是正项级数 有相同的敛散性，即 收敛,且 也收敛,又，级数 收敛，所以，由比较判别法，级数 绝对收敛，故选 B【知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 D【试题解析】 将四个选项分别代入验证，可知正确答案为 D【知识模块】 常微分方程与差分方程简介14 【正确答案】 B【试题解析】 微分方程 xyy=x2+y2 两边同除以 xy 可得，则 y=ux, 将其代入上述微分方程中并化
5、简可得， ,即有 C再将 代入可得，因为 y x=e=2e，代人后得到，C=1，此时特解为即为 y2=2x2(Inx+1)故正确答案为 B【知识模块】 常微分方程与差分方程简介15 【正确答案】 A【试题解析】 在方程 两边关于 x 求导可得，f (x)+2f(x)=1 利用公式可求得 在方程中，令 x=0，得 f(0)=0代人上式，解得 则故正确答案为 A【知识模块】 常微分方程与差分方程简介16 【正确答案】 D【试题解析】 因为线性无关函数 y1，y 2，y 3 都是二阶线性非齐次方程 y“+P(x)y+q(x)y=f(x)的解。所以 y1 一 y3 和 y2 一 y3 是二阶线性齐次方
6、程 y“+P(x)y+q(x)y=0两个相互独立的解函数，其通解为 Y=C1(y1 一 y3)+C2(y2 一 y3)y 3 可看作 y“+P(x)y+q(x)y=f(x)的特解，则该二阶线性非齐次方程 y“+P(x)y+q(x)y=f(x)的通解为Y=C1(y1 一 y3)+C2(y2 一 y3)+y3=C1y3+C2y2+(1 一 C1C2)y3 故正确答案为 D【知识模块】 常微分方程与差分方程简介17 【正确答案】 B【试题解析】 将四个选项分别代人验证，可知正确答案为 B【知识模块】 常微分方程与差分方程简介18 【正确答案】 D【试题解析】 因为 =一 2，故需求弹性的绝对值则 2
7、P=1602P，得 P=40故应选 D.【知识模块】 微积分在经济学中的应用19 【正确答案】 A【试题解析】 用举特例排除法设 y=f(x)=x2(x0)，贝吐 f(x)=2x0，f “(x)=20因为在点 x=x0(x00)处有y=(x 0+x)2-x02=2x0x+2x,dy=2x0x，所以当x0 时不等式 O【知识模块】 微积分在经济学中的应用二、填空题20 【正确答案】 0【试题解析】 由级数 收敛知 ，因为级数 收敛，因此其通项趋于 0【知识模块】 无穷级数21 【正确答案】 2【试题解析】 由题设知 即 f“(0)=2,由题目所给条件，当 x 在 0 的邻域内时有 故 n 充分大
8、时即 f“(0)=2【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 (一 3，1)【试题解析】 幂级数在 x=2 处条件收敛 R=2 的收敛半径为 2 z+1收敛故 的收敛区间为(一 3，1)【知识模块】 无穷级数23 【正确答案】 【试题解析】 将 f(x)在(一 1，0)上作奇延拓后阿进行刷期延拓则 an=0【知识模块】 无穷级数24 【正确答案】 3【试题解析】 的收敛区间为(一 27，27)它的收敛半径为 27设 u=x2，则 而当u 3的收敛半径为 3【知识模块】 无穷级数25 【正确答案】 【试题解析】 x= 是 一 ，区间的端点，由收敛性定理知，该傅氏级数在 x=处收敛于【知识模块】
9、无穷级数26 【正确答案】 【试题解析】 f(x)是以 2为周期的函数，故 S(2)=S(0)，而 x=0 是 f(x)的断点，由狄氏定理，在 x=0 点处，傅里叶级数收敛【知识模块】 无穷级数27 【正确答案】 y 一 y+x1=0【试题解析】 y=Ce x+x 两边关于 x 求导可得，y =Cex+1，则 Cex=y一 1，将其代人到通解 y=Cex+x 中可得微分方程为 y=y一 1+x，即 y一 y+x 一 1=0【知识模块】 常微分方程与差分方程简介28 【正确答案】 (x 一 1)y“一 xy)+y=0【试题解析】 在通解 y=C1ex+C2x 两边关于 x 求一次和二次倒数可得，
10、由此解得 将其代入到通解中可得微分方程为 y=y“+(y一 y“)x，即为(x 一 1)y“一 xy+y=0【知识模块】 常微分方程与差分方程简介29 【正确答案】 (x 一 4)y4=Cx【试题解析】 由微分方程 ydx+(x2 一 4x)dy=0 可得，两边积分得 化简后即为(x一 4)y4 一 Cx=0【知识模块】 常微分方程与差分方程简介30 【正确答案】 Y=(x+C)cosx【试题解析】 利用公式可得，【知识模块】 常微分方程与差分方程简介31 【正确答案】 【试题解析】 由题意可知，y =xln(1+x2)，则因为曲线y=f(x)过 点，代入上式可得， 所以【知识模块】 常微分方程与差分方程简介32 【正确答案】 【试题解析】 由题设，Q=1，则 ALK=1，确定了 K 为 L 的函数，两边对 L 求导，得 A(L-1K+L.K-1.K)=0 从而 则由弹性的定义知【知识模块】 微积分在经济学中的应用
