1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 35 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，且 f(x)为偶函数，X 的分布函数为 F(x)，则对任意实数 a，有 ( )（A）F(一 a)=1 一 0af(x)dx（B） F(一 a)= 一 0af(x)dx（C） F(一 a)=F(a)（D）F(一 a)=2F(a)一 12 设随机变量 X，Y 的分布函数分别为 F1(x)，F 2(x)，为使得 F(x)一 aF1(x)+bF2(x)为某一随机变量的分布函数，则有( )3 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，则下列函数中可作为
2、某随机变量的分布函数的是( )（A）F(x 2)（B） F(一 x)（C） 1 一 F(x)（D）F(2x 一 1)4 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则随机变量 Y 一 min(X，2)的分布函数( )（A）是阶梯函数（B）恰有一个间断点（C）至少有两个间断点（D）是连续函数二、填空题5 设一次试验成功的概率为 p，进行 100 次独立重复试验，当 p=_时，成功次数的标准差最大，其最大值为_6 设每次试验成功的概率为 p= ，X 表示首次成功需要试验的次数，则 X 取偶数的概率为_7 设随机变量 X 的概率密度为 fX(x)= (一x+)，Y=X 2 的概率密度为_8 设随机变
3、量 X，Y 相互独立，且 XNN(0，4)，Y 的分布律为 Y则 P(X+2Y4)=_9 设(X，Y) 的联合分布函数为 F(x，y)=则 Pmax(X，Y)1=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 某人打电话忘记对方号码最后一位，因而对最后一位数随机拨号，设拨完某地区规定的位数才完成一次拨号，且假设对方不占线，求到第 k 次才拨通对方电话的概率11 甲、乙两人从 1，2，15 中各取一个数，设甲取到的数是 5 的倍数，求甲数大于乙数的概率11 甲、乙两人独立对同一目标进行射击，命中目标概率分别为 60和 5012 甲、乙两人同时向目标射击，求目标被命中的概率；13 甲、乙
4、两人任选一人，由此人射击，目标已被击中，求是甲击中的概率14 设事件 A，B 独立，证明：事件 A， 都是独立的事件组15 设 A，B 同时发生，则 C 发生证明：P(C)P(A)+P(B)一 116 设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5 份，随机取出一个地区，再从中抽取两份报名表(1)求先抽到的一份报名表是女生表的概率 p；(2)设后抽到的一份报名表为男生的报名表，求先抽到的报名表为女生报名表的概率 q17 有甲、乙两个口袋，两袋中都有 3 个白球 2 个黑球，现从甲袋中任取一球放人乙袋，再从乙袋中任取 4 个球，设
5、4 个球中的黑球数用 X 表示，求 X 的分布律17 设一设备在时间长度为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)P(t) 18 求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布；19 求设备在无故障工作 8 小时下，再无故障工作 8 小时的概率20 设一电路由三个电子元件并联而成，且三个元件工作状态相互独立，每个元件的无故障工作时间服从参数为 的指数分布，设电路正常工作的时间为 T，求 T 的分布函数20 设随机变量 X 满足|X|1 ，且 P(X=一 1)= ，P(X=1)= ，在 一 1X 1发生的情况下，X 在(一 1，1)内任一子区间上的条件概率与该子区间长度成正比21 求 X 的分布函数；
6、22 求 P(X0)23 设 X 的密度函数为 fX(x)= (一x+)，求 Y=1 一 密度 fY(y)24 设随机变量 X 的概率密度为 Fx(x)= 求 Y=eX 的概率密度 fY(y)25 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，证明： Y=1 一 e 一 2X 在区间(0，1)上服从均匀分布26 设 求矩阵 A 可对角化的概率27 设随机变量 XE()，令 Y= 求 P(X+Y=0)及 FY(y)考研数学三（概率统计）模拟试卷 35 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 D
7、【试题解析】 根据性质 F(+)=1，得正确答案为 (D)【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 D【试题解析】 函数 (x)可作为某一随机变量的分布函数的充分必要条件是： (1)0(x)1；(2)(x)单调不减；(3)(x) 右连续；(4)(一)=0 ，(+)=1显然只有F(2x 一 1)满足条件，选(D)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 B【试题解析】 F Y(y)=P(Yy)=Pmin(X，2)y=1 一 Pmin(X，2)y=1 一P(Xy，2 y)=1 一 P(Xy)P(2y)当 y2 时，F Y(y)=1；当 y2 时，F Y(y)=1 一P(Xy)=P(Xy)=F X(Y)
8、，而 FX(x)= 所以当 0y2 时，F Y(y)=1 一e 一 y；当 y 0 时，F Y(y)=0，即 FY(y)= 显然 FY(y)在 y=2 处间断，选(B) 【知识模块】 概率统计二、填空题5 【正确答案】 ；5【试题解析】 设成功的次数为 X，则 XB(100，p)，D(X)=100p(1 一 p)，标准差为 令 f(p)一 p(1 一 p)(0p1)，由 f(p)一 12p=0 得 p= ，因为=一 20，所以 p= 为 f(p)的最大值点，当 p= 时，成功次数的标准差最大，最大值为 5【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 【试题解析】 由 PX=k=(1 一 p)k 一
9、1p(k=1，2，)，得【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 【试题解析】 F Y(y)=P(YY)=P(X2y)当 y0 时，F Y(y)=0；【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 046587【试题解析】 P(X+2Y4)=P(Y=1)P(X4 一 2Y|Y 一 1)+P(Y=2)P(X4 一 2Y|Y=2)+P(Y 一 3)P(X4 一 2Y|Y=3)【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 e 2+e3 一 e5【试题解析】 由 FX(x)=F(x，+)= 得 XE(2)，同理 YE(3)，且 X，Y 独立Pmax(X，Y)1=P(X 1 或 Y1)=1 一 P(X1，Y1)=1 一
10、P(X1)P(Y1)=1 一 FX(1)FY(1)=1 一(1 一 e2)(1 一 e3)=e2+e3 一 e5【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 令 Ak=第 k 次拨通对方电话(k=1，2，10)，【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 设 A1=甲数为 5，A 2=甲数为 10，A 3=甲数为 15，B=甲数大于乙数 ， P(A1)=P(A2)=P(A3)= ，P(B|A 1)= ， P(B|A2)= ，P(B|A 3)=1，则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=【知识模块】 概
11、率统计【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 设 A=甲击中目标 ，B= 乙击中目标)，C= 击中目标，则C=A+B，P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(A)P(B)=06+05 一 0605=08【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 设 A1=选中甲 ，A 2=选中乙 ，B=目标被击中 ，则 P(A1)=P(A2)= ，P(B|A 1)=06，P(B|A 2)=05，【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 由 A，B 独立，得 P(AB)=P(A)P(B)，【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 因为 A，B 同时发生，则 C 发生，
12、所以 AB C，于是 P(C)P(AB)，而 P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)1，所以有 P(AB)P(A)+P(B)一 1，于是P(C)P(A)+P(B)一 1【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 (1)设 Ai=所抽取的报名表为第 i 个地区的)(i=1，2，3)，B j=第 j次取的报名表为男生报名表)(j=1，2)，则【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 设 A=从甲袋中取出黑球 ，X 的可能取值为 0，1，2，3，令X=i=B，(i=0，1，2，3)，则 P(X=0)=P(B0)=P(A)P(B0|A)+P(X=1)=P(B1)=P(A)P(B1|A)+P(X=
13、2)=P(B2)=P(A)P(B2|A)+P(X=3)=P(B3)=P(A)P(B3|A)+所以 X 的分布律为 X【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 T 的概率分布函数为 F(t)=P(Tt)，当 t0 时，F(t)=0；当 t0时，F(t)=P(Tt)=1一 P(Tt)=1 一 P(N=0)=1 一 et所以 F(t)= 即TE()【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 所求概率为 p=P(T16|T8)= =e8【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 设三个元件正常工作的时间为 Ti(i=1，2，3)，T 1，T 2，T 3 相互独立且其分布函数都是 当
14、t0 时，令 A=T1t)，B=T2t)，C=T 3t)，且 A，B，C 独立，则 FT(t)=P(Tt)=P(A+B+C)P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)一 P(AB)一 P(AC)一 P(BC)+P(ABC)，P(A)=P(B)=P(C)=1 一 e 一t， FT(t)=3(1 一 e 一 t)一 3(1 一 e 一 t)2+(1 一 e 一 t)3，于是 FT(t)=【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 当 x一 1 时，F(x)=0 ；当 x=一 1 时，F(一 1)= 因为 P(一1tX1)=1 一 所以在一 1X1(一 1x1) 发生下，P(
15、一1Xx|一 1X1)= ，于是当一 1x1 时， P(一 1Xx)=P(一 1Xx ，一 1x1)=P(一 1X1) P( 一 1Xx| 一 1x 1)= F(x)=P(Xx)=P(X一 1)+P(一 1Xx)= 当 x1时，F(x)=1，【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 P(X0)=F(0)=【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 F Y(y)=P(Yy)=P(e 一 Xy)，当 y1时，X0 ，F Y(y)=0；当 y1 时，x0，F Y(y)=P(cXy)=P(Xlny)=0lnyfX(x)dx=0lnye 一 Xdx，【知识模块】
16、概率统计25 【正确答案】 因为 X 服从参数为 2 的指数分布，所以其分布函数为 FX(x)=y 的分布函数为 FY(y)=P(Yy)=P(1一 e2Xy)，当 y0时，F Y(y)=P(X0)=0；当 y1时，F Y(y)=P(一X+)=1；当 0y1 时，F Y(y)=P(1 一 e 一 2Xy)=即 FY(y)=所以 Y=1 一 e2X 在区间(0，1)上服从均匀分布.【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 由 =(一 1)(一 2)(一Y)=0 得矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=Y若 Y1，2 时，矩阵 A 一定可以对角化；当 Y=1 时，A= ，=1 为二重特征值，
17、因为 r(E 一 A)=2，所以 A不可对角化；当 Y=2 时， A= ，=2 为二重特征值，因为 r(2E 一 A)=1，所以 A 可对角化，故 A 可对角化的概率为 P(Y1，2)+P(Y=2)=P(Y=0)+P(Y=2)+P(Y=3)=【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 P(X+Y=0)=P(Y= 一 X)=P(|X|1)=P(X1)+P(X一 1)=P(X1)=1一 P(X1)=1一 FX(1)=e 一 FY(y)=P(Yy)=P(yy，|X|1)+P(yy，|X|1)=P(Xy，|X|1)+P(一 Xy，X1)+P(一 Xy，X一 1)=P(Xy，0X1)+P(X一y，X1) 当 y一 1 时，F Y(y)=P(X一 y)=e 一 y；当一 1y0 时，F Y(y)=P(X1)=e 一 ；当 0y1时，F Y(y)=P(Xy)+P(X1)=1 一 e 一 y+e 一 ；当 y1 时，F Y(y)=P(0X1)+P(X1)=1，故 FY(y)=【知识模块】 概率统计
