1、考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (87 年 )若二事件 A 和 B 同时出现的概率 P(AB)0，则 【 】（A）A 和 B 不相容(互斥)（B） AB 是不可能事件（C） AB 未必是不可能事件（D）P(A)0 或 P(B)02 (89 年 )以 A 表示事件“ 甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件 为： 【 】（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销” （B） “甲、乙两种产品均畅销”（C） “甲种产品滞销” （D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销” 3 (90 年 )议 A、B 为随机事件，且
2、B A，则下列式子正确的是 【 】（A）P(AB)P(A)（B） P(AB)P(A)（C） P(BA) P(B) （D）P(BA)P(B)P(A)4 (91 年 )设 A 和 B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是： 【 】（A） 不相容（B） 相容（C） P(AB)P(A)P(B) （D）P(AB)P(A)5 (92 年 )设当事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 必发生，则 【 】（A）P(C)P(A)P(B) 1（B） P(C)P(A)P(B)1（C） P(C) P(AB)（D）P(C)P(A B)6 (93 年 )设两事件 A 与 B 满足 P(BA)1，则
3、 【 】（A）A 是必然事件（B） P(B )0（C） A B（D）A B7 (94 年 )设 0P(A)1，0P(B)1，P(AB) P( )1，则事件 A 和 B 【 】（A）互不相容（B）互相对立（C）不独立（D）独立8 (96 年 )已知 0P(B) 1，且 P(A1A 2)BP(A 1B)P(A 2B)，则下列选项成立的是 【 】（A）P(A 1A 2) P(A 1 )P(A 2 )（B） P(A1BA 2B)P(A 1B)P(A 2B)（C） P(A1A 2)P(A 1B)P(A 2B)（D）P(B)P(A 1)P(BA 1)P(A 2)P(BA 2)9 (00 年 )在电炉上安装
4、了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t0，电炉就断电以 E 表示事件“电炉断电”，而 T(1)T(2)T(3)T(4)为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E 等于 【 】（A）T (1)t0（B） T(2)t0（C） T(3)t0（D）T (4)t0二、填空题10 (88 年) 设 P(A)04，P(AB)07，那么(1)若 A 与 B 互不相容，则 P(B)_；(2)若 A 与 B 相互独立，则 P(B)_11 (88 年) 若事件 A，B ，C 满足等式 ACB C，则 AB该命题是否正确_(填正确或不正确)1
5、2 (90 年) 一射手对同一目标独立地进行 4 次射击，若至少命中一次的概率为 ，则该射手的命中率为_13 (92 年) 将 C，C，E，E，I，N，S 这七个字母随机地排成一行，则恰好排成SCIENCE 的概率为_14 (07 年) 在区间 (0，1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 的概率为_15 (12 年) 设 A，B ，C 是随机事件，A 与 C 互不相容，P(AB) ，P(C) ，则 P(AB )_16 (16 年) 设袋中有红、白、黑球各 1 个，从中有放回地取球，每次取 1 个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为 4 的概率为_三、解答题解答应写出文字
6、说明、证明过程或演算步骤。17 (87 年) 设有两箱同种零件：第一箱内装 50 件，其中 10 件一等品；第二箱内装30 件，其中 18 件一等品现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回)试求(1)先取出的零件是一等品的概率 p；(2)在先取出的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的条件概率 q18 (88 年) 玻璃杯成箱出售，每箱 20 只设各箱含 0，1，2 只残次品的概率分别为08，01 和 01一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看 4 只：若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回试求：(1)顾客买此箱玻璃杯的概率；(
7、2)在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率19 (90 年) 从 0，1，2，9 等 10 个数字中任意选出 3 个不同的数字，求下列事件的概率：A 1三个数字中不含 0 和 5；A 2三个数字中不含 0 或 520 (95 年) 某厂家生产的每台仪器，以概率 07 可以直接出厂，以概率 03 需进一步调试，经调试后以概率 08 可以出厂，以概率 02 定为不合格产品不能出厂现该厂新生产了 n(n2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)，求(1)全部能出厂的概率 ；(2)恰有两台不能出厂的概率 ；(3)至少有两台不能出厂的概率 21 (96 年) 考虑一元二次方程 2BC0，其中 B
8、、C 分别是将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率 P 和有重根的概率 q22 (98 年) 设有来自三个地区的各 10 各、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5 份随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份(1)求先抽到的一份是女生表的概率 P；(2)已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q23 (87 年) 已知随机变是 X 的概率分布为 P(X102，PX203，PX305试写出其分布函数 F()24 (88 年) 设随机变量 X 在区间 (1，2) 上服从均匀分布，试求随机变量 Ye 2X 的概率密度 f(y)
9、25 (89 年) 设随机变量 X 在 2，5 上服从均匀分布现在对 X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率26 (90 年) 一电子仪器由两个部件构成，以 X 和 y 分别表示两个部件的寿命(单位：千小时)，已知 X 和 Y 的联合分布函数为： (1)问 X 和 Y 是否独立? (2)求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率27 (90 年) 对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为 72 分，96 分以上的占考生总数的 23，试求考生的外语成绩在 60分至 84 分之间的概率 表中 ()是标准正态分布函数28 (91 年) 一辆汽
10、车沿一街道行驶，要过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红、绿两种信号显示的时间相等以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 X 的概率分布29 (92 年) 设测量误差 X N(0，10 2)试求在 100 次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于 196 的概率 ，并用泊松分布求出 的近似值(要求小数点后取两位有效数字)30 (92 年) 设二维随机变量(X，Y) 的概率密度为 (1)求 X 的概率密度 fx()； (2)求 PXY1考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项
11、中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 P(AB)0 不能推出 AB 的结论，故 A、B 均排除而 D 明显不对，应选 C【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 A【试题解析】 A B， AB A，故选 A【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 B【试题解析】 由已知得 ，化简得 B 项正确【知识模块】
12、概率论与数理统计9 【正确答案】 C【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题10 【正确答案】 03；05【试题解析】 由 P(AB)P(A)P(B) P(AB) (1)若 A、B 互不相容，则 AB，P(AB)0，代入上式得 0704P(B)0，故 P(B)03 (2)若 A、B相互独立，则 P(AB)P(A)P(B)，代入得 0704P(B)04P(B)，故 P(B)05【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 不正确【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 设该射手的命中率为 p，则 4 次射击(独立重复) 中命中 k 次的概率为C4kpk(1p) 4-k
13、由题意 P(他至少命中一次)1P( 他命中 0 次)1C 40p0(1p) 4-01(1p) 4 解得 p【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 这 7 个字母排一行共有 71 种排法(第 1 位置有 7 种放法，第 2 位置有 6 种放法，余类推，用乘法原则)，这是总样本点个数而在有利场合下，第 1位置有 1 种放法(1 个 S)，第 2 位置有 2 种放法(2 个 C 中选 1 个)，同理，第 3 位置有 1 种放法(1 个 D，第 4 位置有 2 种放法(2 个 E 中选 1 个)，后边都是 1 种选法(即使是 C 或 E，只剩 1 个了)，故有 12121114
14、 种放法，这是有利样本点个数 故所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 设这两个数分别为 ，y，则二维点(，y)可能取的点为图 43 中的正方形内部(面积为 1)，而符合要求(即题中“两数之差的绝对值 ”)的点集合(，y)：01，0y1，y 为图中阴影部分 G，而 G 的面积为12 故所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 AC ，A ，得 P(AB )P(AB) ， 又 P( )1P(C) ， 故【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 用古典概型，4 次取球共有 34 种取法；而“第 1 次取红球，第
15、 2、3次至少取得 1 白球且未取得黑球，第 4 次取黑球”共有 3 种取法：(按顺序)“红红白黑，红白红黑，红白白黑”，故上述事件(引号内的事件)的概率为 而红、白、黑 3 种颜色排列有 31 种，故本题所求概率为 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 记 A(取的是第 1 箱)，B 1从该箱中先取出的是一等品，B2从该箱后取出的是一等品) 则由已知知： (1)由全概率公式，得 pP(B 1)P(A)P(B 1A) 04 (2)仍由全概率公式得 P(B1B2)P(A)P(B1B2A)P( )P(B1B2 ) 0194229415
16、故 qP(B 1B 2)0485573539【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 记 B(顾客买下此箱玻璃杯)，A i 售货员取的是含 i 只残次品的一箱玻璃杯，i0，1，2由题意知：A 0、A 1、A 2 构成互不相容完备事件组，且 P(A 0)08，P(A 1)P(A 2)01，P(BA 0)1 P(BA 1) (1)由全概率公式得： P(B) P(Ai)P(BA i)081 0 1 0 1 0943157894 (2)P(A0B) 0848214286【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 记 B 三个数字中不含 0，C 三个数字中不含 5 则 P(B)故 P(A2
17、)P(B C)P(B) P(C)P(BC) P(A1)P(BC)【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 设 A(1 台仪器可直接出厂)，B 1 台仪器最终能出厂) 则 AB P(B)P(A)P( )P(A) 070803094 由贝努里概型的计算式(p094) ： (1)P(n 台仪器能出厂) C nnp(1p) n-n094 n (2)P(恰有 n2 台仪器能出厂) 094 n-2006 2 (3)1P(n 台仪器全能出厂) P(恰 n1 台仪器能出厂) 1C nnpnn(1p) n-nC nn-1pn-1(1p) n(n-1)1094 nn.094 n-1006【知识模块】 概率
18、论与数理统计21 【正确答案】 方程 2 BC0 的判别式 B 24C 则 P(方程有实根)P( 0)P(B 24C) P(方程有重根)P(0)P(B 24C) 而(B，C)可能取的值为(1，1) ，(1，2)， (1，6)，(2， 1)，(2，2)，(2，6)， ，(6，1)，(6，2)，(6 ，6) 共有 36 个基本结果(样本点) 其中符合 B24C的有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2) ，(4，3)，(4，4)，(5 ，i)，(6，i)(i 1，2，6)共 19 个结果；符合 B24c 的有(2，1)，(4 ，4)两个结果，故 P(方程有实根) ，P( 方程有重
19、根) 【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 设 Ai(取的是 i 区的报名表)，i1，2，3 B 1(从中先抽到的是女生表)，B 2(从中后抽到的是女生表) 由题意，A 1、A 2、A 3、为互不相容完备事件组，且 由全概率公式得：【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 F(X)PX 当 1 时，F()0 当 12 时，F()PX1)02 当 23 时，F()PX1PX2)020305 当3时， F()PX1)PX2PX30203051 故 F()【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 X 的概率密度为：f X() 而 Y 的分布函数 FY(y)PYyPe 2X
20、y 由 X 的取值范围，可见 当 y0时，F Y(y)0，f(y)F Y(y)0； 当y0 时，F Y(y)P2XlnyPX lny fx()d， 故得 f(y)【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 由题意，X 的概率密度为： 则 pPX3 3+f()d设在对 X 进行的三次独立观测中，有 Y 次观测值大于 3，则 Y 服从参数为3，p(p )的二项分布故所求概率为 PY2PY 2PY3 【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 (1)关于 X 的边缘分布函数为 F x() F(，y)1e -0.5(0)(别处 Fx()0) 同理，关于 Y 的边缘分布函数为 F Y(y)
21、(，y)1e -0.5(y0)(别处 FY(y) 0) 故当 0，y0 时， F X().FY(y)(1e -0.5)(1e -0.5y) 1e -0.5e -0.5ye -0.5(+y)F(，y) 而当 0 或 y0 时，F x().FY(y)0F(，y) 故 (，y)R2，均有 F()FY(y)F(，y)，X 和 Y 独立 (2)X 与 Y 独立，故 P(X100，Y100)P(X100)P(Y100)1 FX(100)1F Y(100) e -0.5100.e-0.5100e -100【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 设该地考生的外语成绩为 X，由题意， X N(72，
22、2)，且P(X96)0023 得 2， 12【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 由题意，X 可能取的值为 0，1， 2，3【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 设在 100 次测量中，有 Y 次的测量误差的绝对值大于 196，则YB(100，p) 其中 pP X196 1P196X1961P196 196 1(1 96)(196) 22(1 96)220 975 005 故 P(Y3) 1 P(Yi) 1C 1000.005 0.095 100C 1001.005 1.095 99C 1002.005 2.095 98 1095 1005095 99 005 2095 980962106973 用泊松分布逼近时，1000055 则 1e -5185 1000718 50871【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 (1)f x() f(，y)dy 当 0时，f(，y)0，f x()0 当 0时，F X() e-ydye 故 fx()【知识模块】 概率论与数理统计
