1、考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (97 年 )设两个随机变量 X 与 Y 相互独立且同分布，P(X1)P(Y1) ，P(X1)P(Y1) ，则下列各式成立的是 【 】（A）P(XY)（B） P(XY)1（C） P(XY0)（D）P(XY1)2 (98 年 )设 F1()与 F2()分别为随机变量 X1 与 X2 的分布函数为使 F()a 1F1()bF 2()是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取 【 】（A）（B）（C）（D）3 (99 年 )设随机变量 Xi (i1，2)，且满足
2、 PX1X20，则 PX1X 2等于 【 】（A）0（B）（C）（D）14 (04 年 )设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1) ，对给定的 (0，1)，数 u满足PXu ，若 PXa 则 等于 【 】（A）（B）（C）（D）5 (06 年 )设随机变量 X 服从正态分布 N(1， 12)，随机变量 Y 服从正态分布N(2， 22)，且 PX 11PY 21 则必有 【 】（A） 1 2（B） 1 2（C） 1 2（D） 1 26 (08 年 )设随机变量 X， Y 独立同分布，且 X 的分布函数为 F()，则ZmaxX，Y的分布函数为 【 】（A）F 2()（B） F()F(y)（C）
3、11F() 2（D）1 F()1 F(y)7 (09 年 )设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N(0，1)，Y 的概率分布为 PY0PY 1 记 FZ(z)为随机变量 ZXy 的分布函数，则函数 FZ(z)的间断点个数为 【 】（A）0（B） 1（C） 2（D）38 (10 年 )设随机变量 X 的分布函数 F() ，则 PX1) 【 】（A）0（B） （C） e -1（D）1e -19 (10 年 ) 设 f1()为标准正态分布的概率密度，f 2()为1，3上均匀分布的概率密度，若 为概率密度，则 a，b 应满足 【 】（A）2a3b 4（B） 3a2b4（C） a
4、b1（D）ab 2二、填空题10 (00 年) 设随机变量 X 在区间 1，2 上服从均匀分布，随机变量 则方差DY_11 (02 年) 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 则 X2 和 Y2 的协方差cov(X2，Y 2)_12 (03 年) 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 09，若 ZX04，则 Y 与 Z 的相关系数为_13 (04 年) 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 PX _14 (08 年) 设随机变量服从参数为 1 的泊松分布，则 PXEX 2_15 (11 年) 设二维随机变量(X，Y) 服从正态分布 N(， ； 2， 2；0)，则 E(XY2)_16
5、(13 年) 设随机变量 X 服从标准正态分布 N(0，1)，则 E(Xe2X)_17 (15 年) 设二维随机变量(X，Y) 服从正态分布 N(1，0；1，1；0)，则PXYY0_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 (13 年) 设(X，Y)是二维随机变量， X 的边缘概率密度为 fX() 在给定X(0 1)的条件下 Y 的条件概率密度为 ()求(X ，Y)的概率密度 f(，y)；()求 Y 的边缘概率密度 fY()； ()求 PX2Y19 (16 年) 设二维随机变量(X，Y) 在区域 D(，y)01， 2y 上服从均匀分布，令 ()写出(X，Y) 的概率密度； ()问
6、 U 与 X 是否相互独立?并说明理由； () 求 ZUX 的分布函数 F(z)20 (87 年) 已知随机变量 X 的概率密度为 求随机变量 Y 的数学期望E(Y)21 (89 年) 已知随机变量 (X，Y) 的联合密度为 试求：(1)PX Y ； (2)E(XY)22 (91 年) 设随机变量 (X， Y)在圆域 2y 2r2 上服从联合均匀分布 (1)求(X，Y)的相关系数 ； (2) 问 X 和 Y 是否独立?23 (92 年) 某设备由三大部件构成在设备运转中各部件需要调整的概率相应为010，020 和 030设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，试求 E(X)和
7、 D(X)24 (93 年) 设随机变量 X 和 Y 同分布，X 的概率密度为 (1)已知事件AXa和 BYa独立，且 PAB) ，求常数 a； (2)求 的数学期望25 (94 年) 设由自动线加工的某种零件的内径 X(毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10 或大于 12 为不合格品，其余为合格品销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损已知销售利润 T(单位：元)与销售零件的内径 X 有如下关系： 问平均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大?26 (96 年) 设一部机器在一天内发生故障的概率为 02，机器发生故障时全天停止工作一周五个工作日，若无故障，可获利润 10 万元；发
8、生一次故障仍可获利润5 万元；若发生两次故障，获利润 0 元；若发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元求一周内的利润期望27 (97 年) 游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光电梯于每个整点的第 5 分钟、第 25 分钟和第 55 分钟从底层起行设一游客在早上八点的第 X 分钟到达底层候梯处，且 X 在0，60 上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望28 (97 年) 两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开动试求两台自动记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度 f(t)、数学期望和方差29 (98 年) 一商店经
9、销某种商品，每周的进货量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 是两个相互独立的随机变量，且都服从区间10，20上的均匀分布商店每售出一单位商品可得利润 1000 元；若需求量超过了进货量，可以其他商店调剂供应，这时每单位商品的售出获利润为 500 元试求此商店经销该种商品每周所得利润的期望值30 (99 年) 假设二维随机变量(X，Y) 在矩形 G(，y)02 ，0y1 上服从均匀分布，记 (1)求 U 和 V 的联合分布； (2) 求 U 和 V 的相关系数 r考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确
10、答案】 A【试题解析】 P(X Y) P(X1，Y1)P(X1，Y1) P(X1)P(Y1)P(X 1)P(Y1) 【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 F 1()和 F2()均为分布函数， F1()F 2()1 要使 F()为分布函数，也有 F()1对该式令 ， 即得 ab 1，只有 A 符合【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 A【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 Z 的分布函数 FZ()PZ)Pmax(X ，Y) PX，YPX
11、.PYF 2()，故选 A【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 B【试题解析】 F Z(z)P(Zz)P(XYz) PXYzY 0PY0PXYzY1PY1 0zY0 PXzY 1 而P0zY0P0z PXzY1PXz 故 Fz(z) 在z0 和 z0 上，F z(z)显然连续；在 z0 上， 可见 Fz(z)只有 1 个间断点(z 0 处， )，故选 B【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 P(X 1)F(1) F(10)(1e -1) e -1故选 C【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 A【试题解析】 由题意知： 所以 2a3b4，故选 A【知
12、识模块】 概率论与数理统计二、填空题10 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 002【试题解析】 E(X 2Y2)0 2(1) 20070 2020180 2120151 2(1)2008 1 2020321 212020028 而关于 X 的边缘分布律为： 关于 Y 的边缘分布律为： EX20 2041 20606， Ey 2(1)2015 0 2051 203505 故 cov(X2，Y 2)E(X 2Y2)EX 2.EY20280605002【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 09【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【知识模块】 概
13、率论与数理统计14 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 2【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 2e 2【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 ()f(，y)f X()fYX (y) ()f Y(y) f(，y)d y0或 y1 时，f Y(y)0； 0y1 时，f Y(y) 9y 2lny 即 fY(y)【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 () 区域 D 如图(a)，面积为 SD ，由题意，(X，Y) 的概率密度为 () 由题意，
14、P(U0)P(U0)P(XY) D1 见图(b) 可见， 故 U 与 X 不独立 ()F(z) P(Zz)P(UXz)P(UXz，U0)P(UXz ，U1) P(Xz ，XY) P(Xz1，XY) 可见，z 0 时，F(z)0； z2 时，P(Xz，XY)P(XY) ，P(Xz1，XY)P(XY) 所以 F(z)P(XY) P(XY)1； 0z1 时，由1z10，知 P(Xz1，XY)0， 而 P(Xz，XY) ， G2 见图(e) 故 F(z) z2z 3； 1z2 时，P(Xz，XY) P(X Y) ， 这时 0z11，有 P(Xz 1，XY) G3 见图(f) 所以 F(z)【知识模块】
15、 概率论与数理统计20 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 由题意，(X，Y)的联合概率密度为 f(，y) ，若2y 2r2(别处为 0) 则关于 X 的边缘密度为 fx() f(，y)dy 当 r 时，fX()0； 当 r 时， 完全同理类似，得关于 Yy 的边缘概率密度为 (1)EX 同理，EY 0 而 E(XY) 以上积分为 0 可由被积函数为奇函数而积分区间对称且积分是收敛的得到 于是 covc(X，Y) E(XY)E(X)E(Y)0，故 X 与 Y 不独立【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 设
16、这三个部件依次为第 1、2、3 个部件，记 Ai(第 i 个部件需调整)，i1，2，3则 A1，A 2，A 3 相互独立 则 P(A1)01，P(A 2)02，P(A 3)03或 P(Ai) ，i1，2，3 Xi 显然，X 1，X 2，X 3 相互独立 则 E(Xi)1.P(A i) ，i1，2，3且 XX 1X 2X 3 D(Xi)E(X i2)E(X i)21 2.P(Ai) ，i1，2，3 故 EXEX 1EX 2EX 3 06 DX 046【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 (1)(1)由题意， P(A)P(B) a f()d 显然 a(0，2)否则，若a0，则 P(A)
17、 1；若 a2，则 P(A)0，都与 P(AB) 矛盾 故 P(A)P(B) P(A B)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B) P(A)P(B) 解得 a (舍负) (2)【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 ET( 1)P(X10) 20.P(10X12) 5.P(X12) (1).P(X10 )20P(10X(12) 5P(X12 (1)(10)20(12)(10)51(12) 25(12)21P(10)5 (ET)25(12 ).(1)21.(10).(1) 其中 () 为标准正态分布的概率密度 令(ET) 0，得 两边取对数，得 011 可以验证，故 ET 在 0 处
18、取得唯一极值且为极大值，所以 ET 在 0 处取最大值故答：当 11 时，平均利润最大【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 设这部机器一周内有 X 天发生故障，这一周的利润为 Y 万元由题意可知 XB(5，02) 故 EY10.P(X0)5P(X1)0.P(X2)(2).P(X3) 10C 50.0 20.08 55C 51.02 1.08 421 C 50.02.08 5C 51.02 1.08 4C52.02 208 3 520896【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 设 Y(分钟)为该游客的等候时间，由题意知： 而 X 的概率密度为：【知识模块】 概率论与数理统
19、计28 【正确答案】 设第 i 台自动记录仪无故障工作的时间为 Xi，(i 1，2)，由题意，X1 与 X2 独立同分布，概率密度为 且知EX1EX 2 DX 1DX 2 ，T X 1X 2 故ETEX 1EX 2 ，DTDX 1DX 2 下面求 f(t) 用卷积公式知： f(t) fx(1)fx(t 1)d1 0 5e-5fx(t)d 而 f(t) 当 t0 时，f(t) 0(积分中 0， t，f(t ) 0)； 当 t0 时，f(t) 0t5e-5.5e-5(t-)d25 0te-5td25te -5t 故 f(t)【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 设此商店经销该种商品每周
20、所得利润为 元，则由题意得； 而 X 和 Y 的概率密度均为： 故(X，Y)的联合密度为 f(，y)f 1().f1(y)G1、G 2 见图 46【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 G 的面积为 SG2如图 47 分得 GD 1D2D3 其中，D 1 的面积： ； D 3 的面积： 211； D 2 的面积： 由题意，(X，Y) 的概率密度为： 而(U，V)可能取的值为(0，0) ，(0 ，1)，(1 ，0)，(1，1) 于是(1)P(U0，V0)P(XY，X2Y) f(，y)ddy P(U0，V 1)P(XY，X2y) f(，y)ddy 0 P(U1，V 0)P(XY，X2Y) P(U1，V1)P(XY，X2y) 于是写出(U ，Y)的分布列如下： DUE(U 2)(EU) 2 DVE(V 2)(EV) 2 E(U.V)00 010 10 11 得(U，V)的相关系数为【知识模块】 概率论与数理统计
