1、考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (03 年 )将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1掷第一次出现正面，A2掷第二次出现正面，A 3正、反面各出现一次，A 4正面出现两次，则事件 【 】（A）A 1，A 2，A 3 相互独立（B） A2，A 3，A 4 相互独立（C） A1，A 2，A 3 两两独立（D）A 2，A 3，A 4 两两独立2 (07 年 )某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0P 1)，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为 【 】（A）3p(1 p
2、) 2（B） 6p(1p) 2（C） 3p2(1p) 2（D）6p 2(1p) 23 (09 年 )设事件 A 与事件 B 互不相容，则 【 】（A）P( )0（B） P(AB)P(A)P(B) （C） P(A)1P(B)（D）P( )14 (14 年 )设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P(B)05，P(AB)03，则P(BA) 【 】（A）01（B） 02（C） 03（D）045 (15 年 )若 A，B 为任意两个随机事件，则 【 】（A）P(AB)P(A)P(B) （B） P(AB)P(A)P(B)（C） P(AB) （D）P(AB) 6 (16 年 )设 A，B 为两个随机事件，
3、且 0P(A) 1，0P(B)1，如果 P(AB)1，则 【 】（A）P( )1（B） P(A )0（C） P(AB)1（D）P(BA)17 (90 年 )设随机变量 X 和 Y 相互独立，其概率分布为 则下列式子正确的是： 【 】（A）XY（B） PX Y0（C） PX Y（D）PXY18 (93 年 )设随机变量 X 的密度函数为 ()，且 ()() ，F() 为 X 的分布函数，则对任意实数 a，有 【 】（A）F(a)1 0a()d（B） F(a) 0a()d（C） F(a)F(a)（D）F(a)2F(a) 19 (95 年 )设随机变量 XN(， 2)，则随着 的增大，概率 P(X
4、) 【 】（A）单调增大（B）单调减小（C）保持不变（D）增减不定二、填空题10 (89 年) 设随机变量 X 的分布函数为 则 A_，PX _11 (91 年) 设随机变最 X 的分布函数为 则 X 的概率分布为_12 (94 年) 设随机变量 X 的概率密度为 以 Y 表示对 X 的三次独立重复观察中事件X 出现的次数 PY2 _13 (00 年) 设随机变量 X 的概率密度为 若 k 使得 PXk ，则 k 的取值范围是_14 (05 年) 从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，X 中任取一个数，记为 Y，则 P(Y2_15 (05 年) 设二维随机变量(X，Y) 的概
5、率分布为 若随机事件X0与X Y1 相互独立，则 a_，b_ 16 (06 年) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0，3上的均匀分布，则Pmax(X，Y)1_17 (99 年) 设随机变量 Xij(i1，2，n；n2)独立同分布，E ij2， 则行列式Y 的数学期望 EY_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 (93 年) 设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)服从参数为 t的泊松分布(1)求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布；(2)求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下，再无故障运行 8 小时的概率 Q19 (94 年) 设随机变
6、量 X1， X2，X 3，X 4 相互独立且同分布，P(X i0)06，P(X i1)04(i1，2，3，4)求行列式 X 的概率分布20 (95 年) 已知随机变量 (X，Y) 的联合概率密度为 求(X，Y) 的联合分布函数21 (97 年) 设随机变量 X 的绝对值不大于 1，P(X 1) ，P(X1) 在事件1X1 出现的条件下，X 在区间(1，1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比试求 X 的分布函数 F()P(X) 22 (01 年) 设随机变量 X 和 Y 的联合分布是正方形 G(，y)：13 ，1y 上的均匀分布试求随机变量 UXY的概率密度 p(u)23 (0
7、3 年) 设随机变量 X 的概率密度为 F()是 X 的分布函数求随机变量YF(X)的分布函数24 (03 年) 设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为 而 Y 的概率密度为f(y)，求随机变量 UXY 的概率密度 g(u)25 (05 年) 设二维随机变量(X，Y) 的概率密度为 求：()(X，Y)的边缘概率密度 fX()，f Y(Y)； ( )Z 2XY 的概率密度 fZ(Z)； ()26 (07 年) 设二维随机变量(X，Y) 的概率密度为 ()求 PX2Y ； ( )求ZX Y 的概率密度 fz(z)27 (08 年) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布 P
8、Xi (i1，0，1) ，Y 的概率密度为 fy(y) 记 ZXY ()求 PZX0； ( )求 Z 的概率密度 fz(z)28 (09 年) 设二维随机变量(X，Y) 的概率密度为 ()求条件概率密度fY X(y)； ()求条件概率 PX1Y129 (09 年) 袋中有 1 个红球、2 个黑球与 3 个白球现有放回地从袋中取两次，每次取一个球以 X，Y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数()求 PX1Z 0 ；()求二维随机变量 (X，Y) 的概率分布30 (10 年) 设二维随机变量(X，Y) 的概率密度为 f(，y)A ， y， 求常数 A 及条件概率密度 fYX (y)
9、31 (11 年) 设二维随机变量(X，Y) 服从区域 G 上的均匀分布，其中 G 是由y0，y2 与 y 0 所围成的三角形区域 ()求 X 的概率密度 fx()； ()求条件概率密度 fXY ( y)考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 P第 4 次射击恰好第 2 次命中目标P前 3 次射击恰中 1 枪，第 4次射击命中目标 P 前 3 次射击恰中 1 枪.P第 4 次射击命中目标 C 31p(1p)2.P3p 2(1p)
10、 2【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 A 与 B 独立， P(AB)P(A)P(B) 故 03P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(A)P(B) P(A)1 P(B)P(A)(105) 05(P(A) 得 P(A)06， P(BA) P(B)P(AB)P(B)P(A)P(B)05060 502【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 由 AB A，AB B 得 P(AB)P(A)，P(AB)P(B) ，两式相加即得： P(AB) 【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】
11、 由 1P(A B) ，有 P(B)P(AB) 于是【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 C【试题解析】 P(X Y) P(X1，Y1)P(X1，Y1) P(X1)P(Y1)P(X 1)P(Y1) 【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 B【试题解析】 由概率密度的性质和已知，可得 故选 B【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 C【试题解析】 由已知 XN(，) ，得 N(0 ， 1) 故 PX (1) ( 1) 故选 C【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题10 【正确答案】 1；【试题解析】 分布函数是右连续的，故 得 1Asin A1 这时，F()在(， )
12、上都连续，于是【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 F()为一阶梯状函数，则 X 可能取的值为 F()的跳跃点：1，1，3P(X1)F( 1) F(10)04P(X1)F(1)F(10)080404P(X3)F(3)F(30)10802【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 由题意，YB(3，p) 其中 p 故【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 1，3【试题解析】 P(Xk) k f()d可见： 若 k0，则 P(Xk)1 若 0k1，则 P(Xk) 若 k6，则 P(Xk)0 若 3k6，则 P(Xk) 若 1k3，则 P(Xk
13、) 综上，可知 K1，3【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 由题意，X 的概率分布为 而 P(Y2X 1)0，P(Y2 X2) ，P(Y 2X3) ，P(Y 2X4) ，故 由全概率公式得【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 04；01【试题解析】 由题意知 04ab011，ab 05而 PX0 04a， PXY1PX 0，Y 1PX1，Y 0ab0 5，PX0，XY1 PX0，Y1a由 PX0，XY1)PX0)PXY1a (04a)05，得 a04，从而 b01 【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 由题意知 X 与 Y 的概
14、率密度均为： 则 P(X1PY1 1f()d 故 Pmax(X，Y)1PX1 ， y1PX1Py1【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 0【试题解析】 由 n 阶行列式的定义知 Y ，P 1，P n 为(1，n) 的排列，(p1p2pn)为排列 p1p2pn 的逆序数 而 Xij(i，j1，2，n)独立同分布且EXij2，故【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 由题意，PN(t)k ，k0，1，2， (1)考虑PTt显然，t0 时，PT t1； T0 时，PTtPN(t)0 e -t 故 T 的分布函数 F(t)PTt
15、1PT t (2)所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 由题意，XX 1X4X 2X3 可能取的值为 1，0，1 P(X1)P(X 1X4X 2X31)P(X 1X40，X 2X31) P(X 1X40).P(X 2X31)1 P(X1X41).P(X 2X31) 1 P(X 11，X 41)P(X 21，X 31) 1 P(X11)P(X 41)P(X 21)P(X 31) 1 04 2.04 201344 同理，P(X1)P(X 1X41，X 2X30)P(X 1X41)P(X 2X30)01344 而 P(X0)1P(X1)P(X1)10134 4207312【知识
16、模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 (X，Y) 的联合分布函数为 F(，y) du yf(u，v)dv 当 0或y0时，F(，y)0； 当 01，y1 时， F(， y) 4uvdudv 0du014uvdv 2(G 见图 42) 同理，当 1，0y1 时， F(，y) 01du0y4uvdvy 2 当 01，0y1 时，F(，y) 0du0y4uvdv 2y2 当 1，y 1 时，F(， y) 01du014uvdv1 故得【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 由 F()P(X) ，以及 P(X1)1 所以，当 1 时，F()0； 而 F(1)P(X1)P(X1) ； 当
17、 1时，F()1 当11 时，由题意知：P 1X1X1K(1) 其中 K 为比例系数，为一常数 由已知可得 p(11) 1P(X 1)P(X1)1 P(1X1X1) 得 P(1X) K(1)K(1)，其中K K 为常数 故 F()P(X) P( 1) P(X 1) K(1) 而 P(X1)F(1)F(10)1(2K )，得 K 故最终得：【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 G 的面积显然为 4，(X，Y)的联合概率密度为 U 的分布函数 F(u)P(Uu)P(XYu) 显然，u0 时，F(u) 0； 而 u0 时，F(u)f(，y)ddy 从图 43 中易见， 当 u2时，F(u
18、) ddy1 当0u2 时，F(u) 其中 D 为图 43 中阴影部分，其面积 SD42 (2u) 24uu 2 即 0u2 时，F(u)u u2【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 X 的分布函数 F() f(t)dt 当 1 时，F()0；当 8时，F() 80dt1； 当 18 时，F() 故 F() 则 YF(X)的分布函数为：G(y) PYyPF(X)y 注意到 0F()1， (，)，得：y0 时，G(y) 0；y1 时，G(y) 1； 当 0y1 时，G(y)P 1yPX(1y) 3F(1 y) 3 1y 即 G(y)【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 设
19、 Y 的分布函数为 FY(y)，由全概率公式，知 U 的分布函数为 G(u)P(Uu PX YuPX1PX YuX 1 PX2PXYu X2 03P1YuX107P2Yu X2 因为 X 与Y 相互独立，故 G(u) 03PYu 1 07PYu203F Y(u1)07F Y(u2) 故 g(u)G(u)03F Y(u1)07F Y(u2)03f(u1)07f(u2)【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 ()f X() f(，y)dy 当 0或 1时，f()0； 当01 时， fX() 021dy2 故 fx() 同理， fY(y) f(，y)d 当y0或 y2时，f Y(y)0；
20、当 0y2 时，f Y(y) 故 fY(y) 积分的讨论和定限可见图(a) ()Z 的分布函数为： F z(z)PZzP2XY2) f(，y)ddy 当 1即 z2时，F z(z)1，f z(z)F z(z)0(参见图(b) 当0 即 z0 时，F z(z)0，f z(z)F z(z)0( 参见图 (c) 当 0 1 即0z2 时， fz(z)F z(z)1 (参见图(d) 故 fz(z)【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 ()f z(z) f(，z)d 于是，f z(z) 01f(，z)d z0 时，f z(z)0；0z1 时，f z(z) 0z(2z)dz(2z) 1z2 时
21、，f z(z) z-11(2z)d(2z) 2；z2 时，f z(z)0 故 fz(z)【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 ()PZ X0 PX Y X0P0Y X0PY ()Y 的分布函数为：F Y(y) Z的分布函数为 故 fz(z)F Z(z)【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 () 由题意，关于 X 的边缘概率密度为： fx() f(，y)dy 当 0时，f x()0； 当 0 时，f x() 0e-dye 即 fx() 故当 0 时，(其中 G、D 区域分别见图(a)，(b) 故 PX1Y1【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 () 由 P(Z
22、0) ， P(X1，Z0) P(X1z 0)( )X 和 Y 可能取得值均为：0，1，2得：【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 关于 X 的边缘概率密度为： 得：1 fx()d A 故 A 当 时，【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 G 的面积 SG 211，故 (X，Y) 的概率密度为： ()fx() f(，y)dy 0 或 2时，f x()0； 0 1 时，f x() 0dy； 12 时，f x() 02-dy2 f() ()关于 Y 的边缘概率密度为：f Y(y) f(，y)d y0 或 y1时，f Y(y)0； 0y 1 时，f Y(y) y2-yd2(1y) fY(y) 故 0y1 时，【知识模块】 概率论与数理统计
