1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 20 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 以 A 表示事件“ 甲种产品畅销，乙种产品滞销” ，则其对立事件 为（ ）（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”（B） “甲、乙两种产品均畅销”（C） “甲种产品滞销”（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”2 设 A，B 是任意两个随机事件，又知 B A，且 P（A）P（B）1，则一定有（ ）（A）P（AB）=P（A）+P（B）（B） P（AB）=P（A）P（B）（C） P（AB）=P（A）P（B|A）（D）P（A|B）P （A）3 设随机事件 A 与 B 互不相容，且 P（
2、A）0，P （B）0，则下列结论中一定成立的有（ ）（A）A，B 为对立事件（B） 互不相容（C） A，B 不独立（D）A，B 相互独立4 在最简单的全概率公式 P（B）=P （A）P（B|A）+P （A）P（B|A）中，要求事件 A 与 B 必须满足的条件是（ ）（A）0P（A）1，B 为任意随机事件（B） A 与 B 为互不相容事件（C） A 与 B 为对立事件（D）A 与 B 为相互独立事件5 连续型随机变量 X 的分布函数 F（x）= 则其中的常数 a 和 b为（ ）（A）a=1 ，b=1（B） a=1，b=1（C） a=1，b=1（D）a=0 ，b=16 设随机变量 X 服从正态分布
3、 N（， 2），则随 的增大，概率 P| X 一 |应该（ ）（A）单调增大（B）单调减少（C）保持不变（D）增减不定7 设随机变量（X，Y）服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，f X（x）f Y（y）分别表示 X，Y 的概率密度，则在 Y=y 条件下，X 的条件概率密度 fX|Y（x|y ）为（ ）（A）f X（x）（B） fY（y）（C） fX（x）f Y（y）（D）8 设（X，Y）为二维随机变量，则下列结论正确的是（ ）（A）若 X 与 Y 不相关，则 X2 与 Y2 不相关（B）若 X2 与 Y 不相关，则 X 与 Y 不相关（C）若 X 与 Y 均服从正态分布，则 X 与 Y
4、独立和 X 与 Y 不相关等价（D）若 X 与 Y 均服从 01 分布，则 X 与 Y 独立和 X 与 Y 不相关等价9 对于任意两随机变量 X 和 Y，与命题“X 和 Y 不相关” 不等价的是（ ）（A）E （XY）=E（X） E（Y）（B） Cov（ X，Y ）=0（C） D（XY）=D（X） D（Y）（D）D（X+Y）=D（X）+D（Y）10 设随机变量序列 X1，X 2，X n，相互独立，则根据辛钦大数定律，依概率收敛于其数学期望，只要X n：n1（ ）（A）有相同的期望（B）有相同的方差（C）有相同的分布（D）服从同参数 p 的 01 分布11 设总体 X 服从参数为 （ 0）的泊松
5、分布，X 1，X 2，X n（n2）为取自总体的简单随机样本，则对应的统计量 T1= 有 （ ）（A）E （T 1） E（T 2），D（T 1）D（T 2）（B） E（T 1）E（T 2），D（T 1）D （T 2）（C） E（T 1）E（T 2），D（T 1）D （T 2）（D）E （T 1） E（T 2），D（T 1）D（T 2）12 设 X1，X 2，X n 是取自正态总体 N（0， 2）的简单随机样本， 是样本均值，记 S12=，则可以作出服从自由度为 n1 的 t 分布统计量（ ）二、填空题13 将一枚硬币重复掷五次，则正、反面都至少出现两次的概率为_。14 假设盒内有 10 件产品
6、，其正品数为 0，1，10 个是等可能的，今向盒内放入一件正品，然后从盒内随机取出一件产品发现它是正品，则原来盒内有 7 件正品的概率 =_。15 假设 X 是在区间（0，1）内取值的连续型随机变量，而 Y=1X。已知PX029=075，则满足 PYk=025 的常数 k=_。16 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则17 设 X 是服从参数为 2 的指数分布的随机变量，则随机变量 Y=X 一 的概率密度函数 fY（y） =_。18 设二维随机变量（X，Y）在 xOy 平面上由直线 y=x 与曲线 y=x2 所围成的区域上服从均匀分布，则 P0X19 设随机变量 X 服从1，3上的均匀分
7、布，则20 设盒子中装有 m 个颜色各异的球，有放回地抽取 n 次，每次 1 个球。设 X 表示n 次中抽到的球的颜色种数，则 E（X）=_。21 设随机变量 X 和 Y 均服从 B（1， ）且 D（X+Y）=1，则 X 与 Y 的相关系数=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 已知一本书中每页印刷错误的个数 X 服从参数为 02 的泊松分布，写出 X 的概率分布，并求一页上印刷错误不多于 1 个的概率。23 设二维离散型随机变量（X，Y）的联合概率分布为试求：（）X 与 Y 的边缘分布律，并判断 X 与 Y 是否相互独立；（）PX=Y。24 将三封信随机地投入编号为 1
8、，2，3，4 的四个邮筒。记 X 为 1 号邮筒内信的数目，Y 为有信的邮筒数目。求：（）（X，Y）的联合概率分布；（）Y 的边缘分布；（）在 X=0 的条件下，关于 Y 的条件分布。25 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为求：（）（X ，Y ）的边缘概率密度 fX（ X）f Y（Y）；（ ）Z=2XY 的概率密度 fZ（Z）。26 设随机变量 X 和 Y 分别服从 ，已知 PX=0，Y=0= 求：（）（X，Y）的分布；（）X 和 l，的相关系数；（）PX=1|X 2+ Y2=1。27 设随机变量 X 与 Y 相互独立且分别服从正态分布 N（ ， 2）与 N（ ，2 2），其中 是未知参数且
9、 0，设 Z=XY。（）求 Z 的概率密度 f（z； 2）；（）设 Z1，Z 2，Z n 为来自总体 Z 的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 20 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 设 A1=甲种产品畅销，A 2=乙种产品滞销，则 A=A1A2。由德摩根定律得 为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”，故选项 D 正确。选项 A，B 中的事件与事件 A 都是互斥但非对立（互逆）的；选项 C 中事件的逆事件显然包含事件 A，故选项 A，B，C 都不正确。【知识模块】 概率论与数理统计2 【
10、正确答案】 D【试题解析】 由于 B A，则 AB=B，AB=A。当 P（A）0，选项 A 不成立；当 P（A ）=0 时，条件概率 P（B|A）不存在，选项 C 不成立；由于任何事件概率的非负性，而题设 P（A）P（B），故选项 B 不成立。对于选项 D，根据题设条件 0P（A）P（B）1，可知条件概率 P（A|B）存在，并且故应选 D。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 A，B 互不相容，只说明 AB= ，但并不一定满足 AB=，即互不相容的两个事件不一定是对立事件，又因 AB= 不一定成立，故）=0，但是 P（A）P（B）0，即 P（AB）P （A）P（B ）
11、，故 A 与 B 一定不独立，应选 C。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 故选项 A 正确。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 （a+ be x）=a=1。F（x）为连续型随机变量 X 的分布，故 F（x）必连续，那么 F（x）在 x=0 连续。所以 F（x）=0，即a+b=0，b=1，故选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 若 X 一 N（， 2），则 N（0，1），因此 P|X 一 |=2（ 1）1。该概率值与 无关，故选项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 A【试题
12、解析】 因为（X，Y）服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，那么 X 与 Y独立，且 f（x，y）=f X（x）f Y（y）。则 f X，Y （x|y）=故正确答案为 A。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 D【试题解析】 对于选项 D：设 XB（1，p），YB（1，g），当 X 与 Y 独立时X 与 Y 不相关。反之，当 X 与 Y 不相关，即 E（XY）=E（X）E（Y ）=pq 时，可得下列分布律 由此可知 X 与 Y 独立。故此时 X 与 Y 独立和 X 与 Y 不相关等价，故选项 D 正确。根据不相关的性质可排除选项 A 和 B。对于选项 C，当 X 与 Y 均服从正
13、态分布时，（X，Y）未必服从二维正态分布，故选项 C 不正确。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 C【试题解析】 因为 Cov（X，Y）=E（XY）E（X ）E（Y ）=0 是“X 和 Y 不相关”的充分必要条件，所以 A 与 B 等价。由 D（X+Y）=D（X ）+D（Y）的充分必要条件是 Cov（X，Y）=0，可见选项 B 与 D 等价。于是， “X 和 Y 不相关”与选项 A，B 和 D 等价。故应选 C。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 D【试题解析】 由于辛钦大数定律除了要求随机变量 X1，X 2，X n，相互独立的条件之外，还要求 X1，X 2，X 2n
14、，同分布与期望存在。只有选项 D 同时满足后面的两个条件，应选 D。【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 D【试题解析】 因为 X 服从参数为 （ 0）的泊松分布，那么 E（X i）=A，D（X i）=，i=1，2，n，则所以 E（T 1） E（T 2）， D（T 1）D（T 2），故选 D。【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 B【试题解析】 由于 不独立，所以 C 和 D 也不正确。故选B。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 该试验为独立重复试验序列概型，记 A=“正、反面都至少出现两次”，X 为将硬币投掷五次正面出现的次数，则
15、 XB（5， ），而 Y=5X 为 5 次投掷中反面出现的次数，那么 A=2X5，2y5=2X5，25 一 X5=2X5，0X3=X=2X=3 ，所以 P（A）=PX=2+PX=3=【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 设事件 Ai=“盒内原有 i 件正品”，i=0，1，10；事件 B=“取出的产品是正品”，所以 A0， A 1，A 10 构成一个完备事件组，依题意有所求概率 P（A 7|B）可直接应用贝叶斯公式： 或先应用全概率公式求出 P（B）= 再根据条件概率定义计算出 P（A 7|B）。【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 071【试题解析】 由于
16、 PYk=P1Xk=PX1k=1PX1k=025，所以 PX1k=1025=075。又因 PX029=075，得 1k=029，即k=071。【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 由题设，可知【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 XE（2），所以其概率密度函数为 fX（x）= 所以 FY（ y）=PY y=PX 所以 fY（y）=F Y（ y）=【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 由直线 y=x 与曲线 y=x2 所围成的区域面积为 A=01（xx 2）dx= 所以（X，Y）的概率密度函数为 f（x，y）= 于是【
17、知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 随机变量 X 的密度函数【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 令 Xi= X=X1+ X2+ Xm。事件“X i=0”表示 n 次中没有抽到第 i 种颜色的球，由于是有放回抽取，n 次中各次抽取结果互不影响，所以有【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 1【试题解析】 根据题意可知 D（X）=D（Y）= ，且 1=D（X+Y）=D（X ）+D（Y）+2Cov （X ，Y）= + 2Cov（X，Y）解得 Cov（X ，Y ）= 故相关系数【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证
18、明过程或演算步骤。22 【正确答案】 由题意可知，Xp（02），X 的概率函数为将 x=0，1，2，3代入函数，可得p（0）0818 7，p（1）01637，p（2）0016 4，p（3）00011，p（4）0000 1，p（5）0。X 的概率分布表如下：一页上印刷错误不多于 1 个的概率 p=p（0） +p （1）0982 4。【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 （）因为边缘分布律就是联合分布律表格中行或列中诸元素之和，所以 P1 =P2 =p3 =p4 =（P i =pX=i，pj =PY=j）假如随机变量 X 与 Y 相互独立，就应该对任意的 i，j 都有pij=Pi Pj
19、 ，而本题中 p14=0，但是 p1 与 p4 均不为零，所以 p14P1 P4 ，故 X 与Y 不是相互独立的。【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 （）根据题意，（X，Y）的全部可能取值为（0，1），（0，2），（0，3），（1，2），（1，3），（2，2），（3，1），再分别计算相应的概率。事件X=0，Y=1表示“三封信均投入后 3 个邮筒中的某一个邮筒内”。根据古典概型公式，样本空间所含样本点数为 43=64，有利于事件X=0，Y=1的样本点数为 C31=3，于是 类似地可以计算出各有关概率值，列表如下：（）从表中看出 Y 只取 1，2，3 三个可能值，相应概率分别是对表中
20、 pij 的各列求和。于是 Y 的边缘分布为表中最下行值。在 X=0 条件下，关于 Y 的条件分布，可以应用上述公式计算出来，列表如下：【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 （）已知（X，Y）的概率密度，所以关于X 的边缘概率密度（）设 FZ（z）=PZz=P2XYz，（1）当 z0 时，F Z（z）=P2XYz=0；（ 2）当 0z2 时，F Z（z）=P2XYz=z （3）当 z2时，F Z（z ）=P2XYz=1。所以 FZ（z ）的即分布函数为：F Z（z）=故所求的概率密度为 fZ（z ）=【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 （）由已知条件及离散型随机变量边缘分布的性质，得【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 （）因为 XN（， 2），YN （ ，2 2），且 X 与 Y 相互独立，故 Z=XYN（0 ，3 2）。所以，Z 的概率密度为解得最大似然估计值为【知识模块】 概率论与数理统计
