[考研类试卷]考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷20及答案与解析.doc

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1、考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷 20 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 以 A 表示事件“ 甲种产品畅销,乙种产品滞销” ,则其对立事件 为( )(A)“甲种产品滞销,乙种产品畅销”(B) “甲、乙两种产品均畅销”(C) “甲种产品滞销”(D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”2 设 A,B 是任意两个随机事件,又知 B A,且 P(A)P(B)1,则一定有( )(A)P(AB)=P(A)+P(B)(B) P(AB)=P(A)P(B)(C) P(AB)=P(A)P(B|A)(D)P(A|B)P (A)3 设随机事件 A 与 B 互不相容,且 P(

2、A)0,P (B)0,则下列结论中一定成立的有( )(A)A,B 为对立事件(B) 互不相容(C) A,B 不独立(D)A,B 相互独立4 在最简单的全概率公式 P(B)=P (A)P(B|A)+P (A)P(B|A)中,要求事件 A 与 B 必须满足的条件是( )(A)0P(A)1,B 为任意随机事件(B) A 与 B 为互不相容事件(C) A 与 B 为对立事件(D)A 与 B 为相互独立事件5 连续型随机变量 X 的分布函数 F(x)= 则其中的常数 a 和 b为( )(A)a=1 ,b=1(B) a=1,b=1(C) a=1,b=1(D)a=0 ,b=16 设随机变量 X 服从正态分布

3、 N(, 2),则随 的增大,概率 P| X 一 |应该( )(A)单调增大(B)单调减少(C)保持不变(D)增减不定7 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且 X 与 Y 不相关,f X(x)f Y(y)分别表示 X,Y 的概率密度,则在 Y=y 条件下,X 的条件概率密度 fX|Y(x|y )为( )(A)f X(x)(B) fY(y)(C) fX(x)f Y(y)(D)8 设(X,Y)为二维随机变量,则下列结论正确的是( )(A)若 X 与 Y 不相关,则 X2 与 Y2 不相关(B)若 X2 与 Y 不相关,则 X 与 Y 不相关(C)若 X 与 Y 均服从正态分布,则 X 与 Y

4、独立和 X 与 Y 不相关等价(D)若 X 与 Y 均服从 01 分布,则 X 与 Y 独立和 X 与 Y 不相关等价9 对于任意两随机变量 X 和 Y,与命题“X 和 Y 不相关” 不等价的是( )(A)E (XY)=E(X) E(Y)(B) Cov( X,Y )=0(C) D(XY)=D(X) D(Y)(D)D(X+Y)=D(X)+D(Y)10 设随机变量序列 X1,X 2,X n,相互独立,则根据辛钦大数定律,依概率收敛于其数学期望,只要X n:n1( )(A)有相同的期望(B)有相同的方差(C)有相同的分布(D)服从同参数 p 的 01 分布11 设总体 X 服从参数为 ( 0)的泊松

5、分布,X 1,X 2,X n(n2)为取自总体的简单随机样本,则对应的统计量 T1= 有 ( )(A)E (T 1) E(T 2),D(T 1)D(T 2)(B) E(T 1)E(T 2),D(T 1)D (T 2)(C) E(T 1)E(T 2),D(T 1)D (T 2)(D)E (T 1) E(T 2),D(T 1)D(T 2)12 设 X1,X 2,X n 是取自正态总体 N(0, 2)的简单随机样本, 是样本均值,记 S12=,则可以作出服从自由度为 n1 的 t 分布统计量( )二、填空题13 将一枚硬币重复掷五次,则正、反面都至少出现两次的概率为_。14 假设盒内有 10 件产品

6、,其正品数为 0,1,10 个是等可能的,今向盒内放入一件正品,然后从盒内随机取出一件产品发现它是正品,则原来盒内有 7 件正品的概率 =_。15 假设 X 是在区间(0,1)内取值的连续型随机变量,而 Y=1X。已知PX029=075,则满足 PYk=025 的常数 k=_。16 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布,则17 设 X 是服从参数为 2 的指数分布的随机变量,则随机变量 Y=X 一 的概率密度函数 fY(y) =_。18 设二维随机变量(X,Y)在 xOy 平面上由直线 y=x 与曲线 y=x2 所围成的区域上服从均匀分布,则 P0X19 设随机变量 X 服从1,3上的均匀分

7、布,则20 设盒子中装有 m 个颜色各异的球,有放回地抽取 n 次,每次 1 个球。设 X 表示n 次中抽到的球的颜色种数,则 E(X)=_。21 设随机变量 X 和 Y 均服从 B(1, )且 D(X+Y)=1,则 X 与 Y 的相关系数=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 已知一本书中每页印刷错误的个数 X 服从参数为 02 的泊松分布,写出 X 的概率分布,并求一页上印刷错误不多于 1 个的概率。23 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布为试求:()X 与 Y 的边缘分布律,并判断 X 与 Y 是否相互独立;()PX=Y。24 将三封信随机地投入编号为 1

8、,2,3,4 的四个邮筒。记 X 为 1 号邮筒内信的数目,Y 为有信的邮筒数目。求:()(X,Y)的联合概率分布;()Y 的边缘分布;()在 X=0 的条件下,关于 Y 的条件分布。25 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求:()(X ,Y )的边缘概率密度 fX( X)f Y(Y);( )Z=2XY 的概率密度 fZ(Z)。26 设随机变量 X 和 Y 分别服从 ,已知 PX=0,Y=0= 求:()(X,Y)的分布;()X 和 l,的相关系数;()PX=1|X 2+ Y2=1。27 设随机变量 X 与 Y 相互独立且分别服从正态分布 N( , 2)与 N( ,2 2),其中 是未知参数且

9、 0,设 Z=XY。()求 Z 的概率密度 f(z; 2);()设 Z1,Z 2,Z n 为来自总体 Z 的简单随机样本,求 2 的最大似然估计量考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷 20 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 设 A1=甲种产品畅销,A 2=乙种产品滞销,则 A=A1A2。由德摩根定律得 为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”,故选项 D 正确。选项 A,B 中的事件与事件 A 都是互斥但非对立(互逆)的;选项 C 中事件的逆事件显然包含事件 A,故选项 A,B,C 都不正确。【知识模块】 概率论与数理统计2 【

10、正确答案】 D【试题解析】 由于 B A,则 AB=B,AB=A。当 P(A)0,选项 A 不成立;当 P(A )=0 时,条件概率 P(B|A)不存在,选项 C 不成立;由于任何事件概率的非负性,而题设 P(A)P(B),故选项 B 不成立。对于选项 D,根据题设条件 0P(A)P(B)1,可知条件概率 P(A|B)存在,并且故应选 D。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 A,B 互不相容,只说明 AB= ,但并不一定满足 AB=,即互不相容的两个事件不一定是对立事件,又因 AB= 不一定成立,故)=0,但是 P(A)P(B)0,即 P(AB)P (A)P(B )

11、,故 A 与 B 一定不独立,应选 C。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 故选项 A 正确。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 (a+ be x)=a=1。F(x)为连续型随机变量 X 的分布,故 F(x)必连续,那么 F(x)在 x=0 连续。所以 F(x)=0,即a+b=0,b=1,故选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 若 X 一 N(, 2),则 N(0,1),因此 P|X 一 |=2( 1)1。该概率值与 无关,故选项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 A【试题

12、解析】 因为(X,Y)服从二维正态分布,且 X 与 Y 不相关,那么 X 与 Y独立,且 f(x,y)=f X(x)f Y(y)。则 f X,Y (x|y)=故正确答案为 A。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 D【试题解析】 对于选项 D:设 XB(1,p),YB(1,g),当 X 与 Y 独立时X 与 Y 不相关。反之,当 X 与 Y 不相关,即 E(XY)=E(X)E(Y )=pq 时,可得下列分布律 由此可知 X 与 Y 独立。故此时 X 与 Y 独立和 X 与 Y 不相关等价,故选项 D 正确。根据不相关的性质可排除选项 A 和 B。对于选项 C,当 X 与 Y 均服从正

13、态分布时,(X,Y)未必服从二维正态分布,故选项 C 不正确。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 C【试题解析】 因为 Cov(X,Y)=E(XY)E(X )E(Y )=0 是“X 和 Y 不相关”的充分必要条件,所以 A 与 B 等价。由 D(X+Y)=D(X )+D(Y)的充分必要条件是 Cov(X,Y)=0,可见选项 B 与 D 等价。于是, “X 和 Y 不相关”与选项 A,B 和 D 等价。故应选 C。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 D【试题解析】 由于辛钦大数定律除了要求随机变量 X1,X 2,X n,相互独立的条件之外,还要求 X1,X 2,X 2n

14、,同分布与期望存在。只有选项 D 同时满足后面的两个条件,应选 D。【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 D【试题解析】 因为 X 服从参数为 ( 0)的泊松分布,那么 E(X i)=A,D(X i)=,i=1,2,n,则所以 E(T 1) E(T 2), D(T 1)D(T 2),故选 D。【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 B【试题解析】 由于 不独立,所以 C 和 D 也不正确。故选B。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 该试验为独立重复试验序列概型,记 A=“正、反面都至少出现两次”,X 为将硬币投掷五次正面出现的次数,则

15、 XB(5, ),而 Y=5X 为 5 次投掷中反面出现的次数,那么 A=2X5,2y5=2X5,25 一 X5=2X5,0X3=X=2X=3 ,所以 P(A)=PX=2+PX=3=【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 设事件 Ai=“盒内原有 i 件正品”,i=0,1,10;事件 B=“取出的产品是正品”,所以 A0, A 1,A 10 构成一个完备事件组,依题意有所求概率 P(A 7|B)可直接应用贝叶斯公式: 或先应用全概率公式求出 P(B)= 再根据条件概率定义计算出 P(A 7|B)。【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 071【试题解析】 由于

16、 PYk=P1Xk=PX1k=1PX1k=025,所以 PX1k=1025=075。又因 PX029=075,得 1k=029,即k=071。【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 由题设,可知【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 XE(2),所以其概率密度函数为 fX(x)= 所以 FY( y)=PY y=PX 所以 fY(y)=F Y( y)=【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 由直线 y=x 与曲线 y=x2 所围成的区域面积为 A=01(xx 2)dx= 所以(X,Y)的概率密度函数为 f(x,y)= 于是【

17、知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 随机变量 X 的密度函数【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 令 Xi= X=X1+ X2+ Xm。事件“X i=0”表示 n 次中没有抽到第 i 种颜色的球,由于是有放回抽取,n 次中各次抽取结果互不影响,所以有【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 1【试题解析】 根据题意可知 D(X)=D(Y)= ,且 1=D(X+Y)=D(X )+D(Y)+2Cov (X ,Y)= + 2Cov(X,Y)解得 Cov(X ,Y )= 故相关系数【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证

18、明过程或演算步骤。22 【正确答案】 由题意可知,Xp(02),X 的概率函数为将 x=0,1,2,3代入函数,可得p(0)0818 7,p(1)01637,p(2)0016 4,p(3)00011,p(4)0000 1,p(5)0。X 的概率分布表如下:一页上印刷错误不多于 1 个的概率 p=p(0) +p (1)0982 4。【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 ()因为边缘分布律就是联合分布律表格中行或列中诸元素之和,所以 P1 =P2 =p3 =p4 =(P i =pX=i,pj =PY=j)假如随机变量 X 与 Y 相互独立,就应该对任意的 i,j 都有pij=Pi Pj

19、 ,而本题中 p14=0,但是 p1 与 p4 均不为零,所以 p14P1 P4 ,故 X 与Y 不是相互独立的。【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 ()根据题意,(X,Y)的全部可能取值为(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,2),(3,1),再分别计算相应的概率。事件X=0,Y=1表示“三封信均投入后 3 个邮筒中的某一个邮筒内”。根据古典概型公式,样本空间所含样本点数为 43=64,有利于事件X=0,Y=1的样本点数为 C31=3,于是 类似地可以计算出各有关概率值,列表如下:()从表中看出 Y 只取 1,2,3 三个可能值,相应概率分别是对表中

20、 pij 的各列求和。于是 Y 的边缘分布为表中最下行值。在 X=0 条件下,关于 Y 的条件分布,可以应用上述公式计算出来,列表如下:【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 ()已知(X,Y)的概率密度,所以关于X 的边缘概率密度()设 FZ(z)=PZz=P2XYz,(1)当 z0 时,F Z(z)=P2XYz=0;( 2)当 0z2 时,F Z(z)=P2XYz=z (3)当 z2时,F Z(z )=P2XYz=1。所以 FZ(z )的即分布函数为:F Z(z)=故所求的概率密度为 fZ(z )=【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 ()由已知条件及离散型随机变量边缘分布的性质,得【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 ()因为 XN(, 2),YN ( ,2 2),且 X 与 Y 相互独立,故 Z=XYN(0 ,3 2)。所以,Z 的概率密度为解得最大似然估计值为【知识模块】 概率论与数理统计

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