1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 24 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列事件中与 A 互不相容的事件是（ ）2 设当事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 必发生，则（ ）（A）P（C）P （A）+P（B）一 1（B） P（C）P（A）+P（B）一 1（C） P（C）=P（AB）（D）P（C）=P（A B）3 设 A、B、C 三个事件两两独立，则 A、B、C 相互独立的充分必要条件是（ ）（A）A 与 BC 独立（B） AB 与 AC 独立（C） AB 与 AC 独立（D）AB 与 AC 独立4 设随机变量 X 的密度函数为 f（x）=
2、0，则概率PX+a（a0）的值（ ）（A）与 a 无关，随 的增大而增大（B）与 a 无关，随 的增大而减小（C）与 无关，随 a 的增大而增大（D）与 无关，随 a 的增大而减小5 设随机变量 X 服从正态分布 N（0，1），对给定的 （0，1），数 u满足PXu =，若 P|X|x=，则 x 等于（ ）6 设相互独立的两随机变量 x 与 y 均服从分布 B（1， ），则 Px2Y=（ ）7 设随机变量 X 服从指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数（ ）（A）是连续函数（B）至少有两个间断点（C）是阶梯函数（D）恰好有一个间断点8 已知随机变量 X 服从二项分布，且 E（X=2
3、4，D（X=144，则二项分布的参数 n ，p 的值为 （ ）（A）n=4，p=0 6（B） n=6，p=04（C） n，=8 ，p=03（D）n=24，p=0 19 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且方差 D（X）0，D （Y ）0，则（ ）（A）X 与 X+Y 一定相关（B） X 与 X+Y 一定不相关（C） X 与 XY 一定相关（D）X 与 XY定不相关10 设随机变量 Xt（n）（n1），Y= 则（ ）（A）Y 2（ n）（B） Y 2（n1）（C） YF （n，1）（D）YF（1，n）二、填空题11 设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 ，A 发生日不发生的概率与B
4、 发生 A 不发生的概率相等，则 P（A）=_ 。12 已知事件 A、B 仅发生一个的概率为 03，且 P（A）+P （B）=05，则A，B 至少有一个不发生的概率为_。13 已知随机变量 x 的概率分布为 Px=k= （k=1，2，3），当 X=k 时随机变量Y 在（0，k）上服从均匀分布，即 则 PY25=_。14 若 f（x）= 为随机变量 X 的概率密度函数，则 a=_。15 设二维随机变量（X，Y）的分布函数为 （2x +1 ）（2y1），其中（x）为标准正态分布函数，则（X，Y）N_。16 将 10 双不同的鞋随意分成 10 堆，每堆 2 只，以 X 表示 10 堆中恰好配成一双鞋
5、的堆数，则 E（X）=_。17 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 XN（0，1），Y N （0，2），则E（X 2+Y）=_。18 假设随机变量 X1，X 2，X 2n 独立同分布，且 E（X i）=D（X i）=1（1i2n ），如果 Yn=则当常数 C=_时，根据独立同分布中心极限定理，当 n 充分大时，Y n 近似服从标准正态分布。19 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 XN（0，2），X N （0，3），则 D（X 2+ Y2）=_ 。20 设 X1，X 2，X n 是来自参数为 的泊松分布总体的一个样本，则 的极大似然估计量为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步
6、骤。21 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率。22 设连续型随机变量 X 的分布函数 F（x）= 求：（）常数A；（）X 的密度函数 f（x）；23 已知随机变量 X 的概率密度 （）求分布函数F（x）。（ ）若令 y=F（X），求 Y 的分布函数 FY（y）。24 设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布率及关于 X 和关于 Y 的边缘分布率中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。25 已知（X，Y）在以
7、点（0，0），（1，1），（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布。（）求（X，Y）的联合密度函数 f（x，y）；（）求边缘密度函数 fX（x ）f Y（y）及条件密度函数 fX|Y（x|y），f Y|X（y|x ）；并问 X 与 Y 是否独立；（）计算概率 PX 0，Y0，26 已知二维随机变量（X，Y）的概率密度为（）试求（X ，Y ）的边缘概率密度fX（ x） fY（y ），并问 X 与 Y 是否独立；（）令 Z=XY，求 Z 的分布函数Fz（z）与概率密度 fZ（z）。27 设 和 是独立同分布的两个随机变量。已知 的分布律为 P|=i= ，i=1，2 ，3，又设 X=max，Y=m
8、in，。（）写出二维随机变量（X，Y）的分布律；（）求 E（X）。28 设随机变量 X 的概率密度为 对 X 独立地重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 的次数，求 Y2 的数学期望。29 设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为 f（x； ）= 其中00 为未知参数。又设 x1，x 2，x n 是 X 的一组样本观测值，求参数 的最大似然估计值。考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 24 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于 与任何一个事件 A 都相互不相容，即综上分析，选项 D 正确。【知识模块】 概率论与数理统
9、计2 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件可知 C AB，于是根据概率的性质、加法公式，有P（C） P（AB）=P（A）+P（B）P（AB）P （A）+P（B）1。故 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 A【试题解析】 经观察，即可知由选项 A 能够推得所需条件。事实上，若 A 与 BC独立，则有 P（ABC）=P（A）P（BC）。而由题设知 P（BC）=P（B）P （C ）。从而 P（ABC）=P（A）P（B）P（C）。故选 A。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 概率 PX+a（a0），显然与 a 有关，固定 随 a 的增大而增大，因而
10、选 C。事实上，由于 1=+f（x）dx=A +exdx=Ae A=e，概率 PX+a=A +aexdx=e A（e 一 ea） =1 一 ea，与 无关，随 a 的增大而增大，故选项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 标准正态分布上 分位数的定义及条件 PXu =与 P|X|x=，并考虑到标准正态分布概率密度曲线的对称性，可作出如图 322 及图 323 所示图形。如图 323 所示，根据标准正态分布的上 分位数的定义，可知 ，故选项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 PX2Y=PX=0+PX=1，Y=1= +P
11、x=1PY=1故选项 D 正确。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 考虑分布函数的连续性问题，需求出其分布函数。因为 X 服从指数分布，则其概率密度为 其中 0 为参数。由分布函数的定义 FY（ y）=PYy=Pmin（X，2）y，当 y0 时，F Y（y）=0 ；当 y2时，FY（y） =1；当 0y2 时，F Y（y）=PminX，2y=PXy= 0yexxdx=1ey，故 因为 FY（y）=1e 2FY（2）=1 ，所以 y=2 是 FY（y）的唯一间断点，故选 D。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 XB（n，p ），所以
12、E（X）=np，D （X）=np（1p），将已知条件代入，可得 解此方程组，得 n=6，p=04，故选项B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 A【试题解析】 直接根据计算协方差来判断，已知 X 与 y 独立，故 Cov（X，Y）=0， Cov（X，X+Y）=Cov（X，X）+Cov（X，Y ）=D（X）0。所以 X 与X+Y 一定相关，应选 A。又由于 Cov（X，XY）=E（X 2Y）E（X）E（XY）故选项 C、D 有时成立，有时不成立。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 C【试题解析】 因 Xt（n），故根据 t 分布定义知 X= 其中 U N （0，1
13、），V 2（n）。于是 Y= F（n ，1）（F 分布定义）。故选 C。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 由题设，有 由于 A 和 B 相互独立，所以 即 P（A ）1 一P（B）=1 一 P（A）P （B ），可得 P（A ）=P （B）。从而，且 P（A ）1，解得 P（A）=【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 09【试题解析】 由题设 =P（A ）+P（B ）2P（AB）=0 3。P（A）+P（B）=0 5，于是解得 P（AB ）=01，所以所求的概率为 =1P（AB）=1 01=09。【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】
14、 【试题解析】 根据题设可知 根据全概率公式，可得【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 （X，Y）的分布函数为 （2x +1）（2y1），所以可知 X，Y独立。 根据正态分布 X 一 N（， 2）的标准化可知【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 将第 i 堆的第一只鞋固定，第二只鞋要与第一只鞋配对，只有在不同于第一只鞋剩下的 19 只中唯一的一只才有可能，故 Pxi=1= ，也就有【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 1【试题解析】 因为 X 和 Y 相互独立，所以
15、X2 与 Y 相互独立， E（X 2+Y）=E（X 2）+E（Y）， 由于 XN（0，1），所以 E（X）=0 ，D （X）=1。 因此E（X 2）=D （ X）+ （EX） 2=1，YN（0，2），故 E（Y）=0，所以 E（X 2+Y）=1。【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 记 Zi=X2iX2i1，则 Zi（1in）独立同分布，且 E（Z i）=0， D（Z i）=2。由独立同分布中心极限定理可得，当 n 充分大时，近似服从标准正态分布，所以 c=【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 26【试题解析】 因 XN（0，2），故 2（1），所以D（X
16、 2）=8 ，同理 D（Y 2）=18。又由于 X 和 Y 相互独立，故 D（X 2+ Y2）=8+18=26。【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 因为 p（x i；）=PX=x i= （ Xi=0，1，），则极大似然估计为【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 设甲、乙两艘船到达的时间分别为 x，y，并把（x，y）视为直角坐标系里的一个点的坐标，则 x， y 满足条件 0x24，0y24。所以总的基本事件数为坐标系中边长为 24 的正方形的面积，如图 314 所示。用事件 A 表示 “两艘船中任何一艘都不
17、需要等候码头空出” ，则 x，y 满足不等式 yx1，xy2。则上述不等式组表示的区域为图中阴影部分的面积，即事件 A 的基本事件数。容易求得正方形面积为S=242，阴影部分面积为 232，根据几何概型，可得【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 （）因 X 是连续型随机变量，故其分布函数 F（x）在 x=1 处连续，即 所以 A=1。（）当 x0 时，F（x）=0，所以 f（x）=F（x）=0 ；当 0x1 时，F（x）=x 2，所以 f（x）=F（x）=2x；当 x1时， F（x）=1 ，所以 f（x）=F（x）=0。综上所述【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 直接
18、根据 F（x）=PXx，F Y（y）=PF（X ）y求解。（）令 Y=F（ X），则由 0F（x）1 及 F（x）为 x 的单调不减连续函数知（如图326 所示），当 y0 时，F Y（y）=0 ；当 y1时，F Y（y）=1 ；当 0y 时，【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 （）由于以（0，0），（1，1），（1，1）为顶点的三角形面积为 1，如图 332 所示，故【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 画出 f（x，y）非零定义域，应用定义、公式进行计算。因为fX（ x） fY（y ）f（x，y），所以 X 与 Y
19、 不独立。（ ）分布函数法。Z=XY 的分布函数为由于 FZ（z）为 z 的连续函数，除 z=0 外，导函数存在且连续，故【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 （）X，Y 可能的取值均为 1，2，3。由题意可知 XY始终成立，即XY 是不可能事件，故 PX=1，Y=2=PX=1，Y=3=PX=2，Y=3=0。（X，Y）的联合分布律如下表 :【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 因为则有E（Y 2） =D（Y）+ E 2（Y）=npq + （np） 2=4 =5。【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 似然函数为 L（）=L（x 1，x 2，x n； ）=当 xi9 （i=1 ，2，n）时，L（ ）0，取对数，得 因为 =2n0，所以L（）单调增加。由于 必须满足 xi（i=1，2，n），因此当 取x1，x 2，x n 中最小值时，L（）取最大值，所以 的最大似然估计值为=min x1，x 2，x n。【知识模块】 概率论与数理统计
