1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 36 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 x1，x 2，x 3，x 4 是来自总体 XN(1，2)的简单随机样本，且 k( Xi 一 4)2 服从 2(n)分布，则常数 k 和 x2 分布的自由度 n 分别为( )2 设随机变量 XN(0，1)和 YN(0 ，2)，并且相互独立，则( )3 设 X1，X 2，X n 是来自总体 XN( ， 2)的样本，则 2+2 的矩法估计量为( )4 设 X1，X 2，X n 是来自均值为 的指数分布总体的样本，其中 为未知，则下列估计量不是 的无偏估计的为( )5 设 必
2、为 2 的( )（A）无偏估计（B）一致估计（C）有效估计（D）有偏估计6 已知一批零件的长度 X(单位为 cm)服从正态总体 N(，1)，从中随机抽取 16 个零件，测得其长度的平均值为 40cm，则 的置信度为 095 的置信区间是(注：标准正态分布函数值 (1 96)=0975，(1645)=095)( )（A）(39 51，4049)（B） (3959，4041)（C） (一，3995)（D）(40 49，+)7 设总体 XN(， 2)，其中 2 已知，若已知样本容量和置信度 1 均不变，则对于不同的样本观测值，总体均值 的置信区间的长度 ( )（A）变长（B）变短（C）不变（D）不能
3、确定8 设总体 X 服从正态分布 N(0， 2)，X 1，X 2，X 10 是来自 X 的简单随机样本，统计量 Y= (1i 10) 服从 F 分布，则 i 等于( )（A）4（B） 2（C） 3（D）59 设 X1，X 2，X n 是来自正态总体 XN( ， 2)的简单随机样本，为使D= (Xi+1 一 Xi)2 成为总体方差的无偏估计量，则应选 k 为( )10 设总体 XN(， 2)， 未知，则 2 的置信度为 1 一 的置信区间为(注： (n)等均为上分位数记号)( )二、填空题11 设 X1，X 2，X n，相互独立同分布，其分布函数记为 F(x)，密度函数记为f(x)，并且 F(x
4、)严格单调， f(x)连续，根据中心极限定理，当 n 充分大时，F(Xi)近似服从_分布，参数为_12 设随机变量 XF(n，n)，则 P(X1)= _13 设总体 XN(0， 2)，X 1，X 2，X 3 为取自 X 的样本，则 Y= 服从的分布为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设连续型随机变量 X 的密度函数为(1)常数 a，b，c 的值；(2)Y=e X 的数学期望与方差15 设(X，Y)的概率分布为已知 Cov(X，Y)= 一，其中 F(x，y)表示 X 与 Y 的联合分布函数求常数a，b，c 的值16 在线段0 ，1 上任取 n 个点，试求其中最远两点的距离
5、的数学期望17 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从0，2上的均匀分布，令 U=XY，试求 D(U)18 设某种商品每周的需求量 X 是服从区间10，30上均匀分布的随机变量，而经销商店进货量为区间10，30中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利润 500元若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损 100；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每单位仅获利润 300 元为使商店所获利润期望值不少于 9 280元，试确定最少进货量19 检查员逐个地检查某产品，每次花 10 秒钟检查一个，但也可能有的产品需要再花 10 秒钟重复检查一次，假设每个产品需要重复检查的概率为 05，求在 8 小
6、时内检查员检查的产品个数多于 1 900 个的概率是多少?20 假设随机变量 X1，X 2，X 5 独立同服从正态分布 N(0，2 2)，且 Y=aX12+b(2X2+3X3)2+c(4X4 一 5X5)2 问常数 a，b，c 取何值时随机变量 Y 服从 2分布?自由度为多少 ?21 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X n 为取自正态总体 X 的简单随机样本，且，求 E(X1Sn2)22 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其中总体 X 有密度23 设总体 X 服从指数分布，其密度函数为 f(x)= 其中 0 是未知参数，X 1，X 2，X n 为取自总体 X 的
7、样本 (1)求 的最大似然估计量； (2)求 的最大似然估计量； (3)判断 的最大似然估计的无偏性；24 设总体 X 的分布律为 其中0 l，X 1，X 2，X n 为来自总体的简单随机样本 (1)求 的最大似然估计量； (2)判断 的无偏性和一致性25 设总体 x 的概率密度函数为 f(x，)= ，一x+ ，其中 0 是未知参数，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本26 设总体 XN(0， 2)，X 1，X 2，X 9 为来自 X 的简单随机样本，试确定 的值，使得概率 P(1 27 设总体 X 的数学期望 E(X)=，方差 D(X)=2， X1，X 2，X n 为取自总
8、体 X的简单随机样本， 的相关系数，ij，i， j=1，2，n28 设总体 X 的密度函数为 f(x，)= 其中 0 为未知参数，X1，X 2，X n 为来自 X 的样本，Y n= Xi (1)证明： 都是 的无偏估计量； (2)比较这两个估计量，哪一个更有效?29 设总体 X 的密度函数为 f(x)= 其中 0， 为未知参数，X 1，X 2，X n 为取自 X 的样本 (1)求 ， 的矩估计； (2)求 ， 的最大似然估计考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 36 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由正态分布的性质可知
9、 故选 C【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 X+YN(0，3)， 故选 C【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 2+2=E2(X)+D(X)=E(X2)故选 D【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 经计算有 E(T1)=，E(T 3)=，E(T 4)=，E(T 2)=2故选 B【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 由 +22故选 D【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 单正态总体 N(， 2)，在 2 已知时， 的置信区间为， 1/2表示标准正态分布的下 1 一
10、=40，=1，n=16， 0975 =196 代入即得故选 A【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 C【试题解析】 此时 的置信区间为 从而其长度 L=分位数，显然 L 与样本值的变化无关故选 C【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 B【试题解析】 即 i=2故选 B【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 C【试题解析】 X i+1 一 XiN(0，2 2)，于是 E(X i+1 一 Xi)2=D(Xi+1 一 Xi)+E2(Xi+1 一Xi)=22 E(D)= (Xi+1Xi)2=2(n 一 1)2k要 D 为 2 的无偏估计，即 E(D)=2，故 k= 故选 C
11、【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 B【试题解析】 因 未知，应选取枢轴量 ，从而 2 的置信度为1 一 的置信区间为选项 (B)故选 B【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题11 【正确答案】 正态，【试题解析】 易知 F(Xi)，i=1，2，n 相互独立同分布，且其分布为0，1上的均匀分布，故 EF(Xi)=【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 F(1，1)【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 (1)由 +f(x)dx=1，
12、即 02axdx+24(cx+b)dx=1，得 2a+2b+6c=1， 由 E(X)=02ax2dx+24(cx+b)xdx=2，得【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 设 Xi 为在0 ，1中任取的第 i 个点的坐标，i=1，2，2则X1，X 2，X n 独立同分布，且都服从(0，1)上的均匀分布，即其分布函数为则最远两点的距离为X=X(n)一 X(1)，从而 E(X)=EX( (n)一 EX(1)【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 如图 313 所示，易知 X 与 Y 的联合密度为 f(x，y)=其中区域 B=(x
13、，y)0x，y2 【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 X 的概率密度函数为 f(x)= 令 Ma 表示“进货量为 a 单位时，商店所获利润” ，则于是期望利润为(M a 为 X 的函数，记为 g(X) E(Ma)=Eg(X)=+g(x)f(x)dx【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 设 Xi 表示“ 检查第 i 个产品花费的时间”(单位为秒)，即i=1，2，1 900易知X1，X 2，X n 相互独立且同分布，X= 为检查 1 900 个产品所花费的时间，且 E(X i)=1005+200 5=15 ， D(X i)=E(Xi2)一 E2(Xi)=25由林德伯格一列
14、维中心极限定理得(1376)0915 59所以在 8 小时内检查员检查的产品个数多于 1 900 个的概率为 0915 59【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 由正态分布的线性性质得 2X 2+3X3N(0，52)，4X 45X5N(0 ，164)，【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 由于 X1，X 2，X n 相互独立且同分布，故 E(X 1Sn2)=E(X2Sn2)=E(XnSn2)【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 (1)总体 X 的分布律可以表示为 P(X=k)=C 2k+1(1 一 )k13k，k=1 ，2， 3似然函数 L(x 1，x 2，x n；)=P(X=x 1)P(X=x2)P(X=x n)【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 (1)因为 E(X)=+，E(X 2)=2+2(+)，于是，令【知识模块】 概率论与数理统计
