1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知随机变量 X 与 Y 的相关系数为 且 0，Z=aX+b，则 Y 与 Z 的相关系数仍为 的充要条件是( )（A）a=1 ，b 为任意实数（B） a0，b 为任意实数（C） a0，b 为任意实数（D）a0 ，b 为任意实数2 设 X 是一随机变量，E(X)=，D(X)= 2(， 20 常数)，则对任意常数 C 必有( )（A）E(XC) 2=E(X)2 一 C2（B） E(XC)2=E(X 一 )2（C） E(XC)2E(X 一 )2（D）E(XC) 2E(X 一 )2
2、3 假设随机变量 X 与 Y 的相关系数为 ，则 =1 的充要条件是( )（A）Y=aX+b(a0)（B） Coy(X，Y)=1，D(X)=D(Y)=1（C）（D）4 设随机变量 X 和 Y 的方差存在且不等于 0，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)是 X 和 Y( )（A）不相关的充分条件，但不是必要条件（B）独立的充分条件，但不是必要条件（C）不相关的充分必要条件（D）独立的充分必要条件5 假设二维随机变量(X 1，X 2)的协方差矩阵为 其中ij=Cov(Xi，X j)(i，j=1，2)，如果 X1 与 X2 的相关系数为 ，那么行列式|=0 的充分必要条件是( )（A）=0（B）（C
3、）（D）|=16 设二维正态随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 =X+Y 与 =X 一Y，不相关的充分必要条件为( )（A）E(X)=E(Y)（B） E(X2)一 E2(X)=E(Y2)一 E2(Y)（C） E(X2)=E(Y2)（D）E(X 2)+E2(X)=E(Y2)+E2(Y)7 已知随机变量 X 与 Y 有相同的不为零的方差，则 X 与 Y 的相关系数等于 1 的充分必要条件是( )（A）Coy(X+Y，X)=0（B） Cov(X+Y，Y)=0（C） Cov(X+Y，XY)=0（D）Coy(XY，X)=08 已知随机变量 X 与 Y 的相关系数大于零，则( )（A）D(X+
4、Y)D(X)+D(Y)（B） D(X+Y)D(X)+D(Y) （C） D(XY)D(X)+D(Y)（D）D(XY) D(X)+D(Y) 9 设随机变量 X1，X 2，X n(n1)独立同分布，且其方差 20，令则( )10 已知(X，Y)服从二维正态分布，E(X)=E(Y)= ， D(X)=D(Y)=2，X 与 Y 的相关系数 0，则 X 与 Y( )（A）独立且有相同的分布。（B）独立且有不同的分布（C）不独立且有相同的分布（D）不独立且有不同的分布11 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且方差 D(X)0，D(Y)0，则( )（A）X 与 X+Y 一定相关（B） X 与 X+Y 一定不相关
5、（C） X 与 XY 一定相关（D）X 与 XY 一定不相关12 已知随机变量 X 服从标准正态分布，Y=2X 2+X+3，则 X 与 Y( )（A）不相关且相互独立（B）不相关且相互不独立（C）相关且相互独立（D）相关且相互不独立13 随机变量 X 一 N(0，1)，YN(1 ，4)，且相关系数 XY=1，则( )（A）PY=一 2X1=1（B） PY=2X1=1（C） PY=一 2X+1=1（D）PY=2X+1=1二、填空题14 已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 一x+ ，则 D(X2)=_.15 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= ,一x+ 则EX=_，DX=_16 设随
6、机变量 X 和 Y 相互独立，且 XN(0，1)，Y N(0 ，2)，则 E(X2+Y)=_.17 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度为 f(x)=则 E(XY)=_18 将 10 双不同的鞋随意分成 10 堆，每堆 2 只，以 X 表示 10 堆中恰好配成一双鞋的堆数，则 EX=_19 设随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，其中 X1 服从区间0，6上的均匀分布，X 2服从正态分布 N(0，2 2)， X3 服从参数为 3 的泊松分布，则 D(X1 一 2X2+3X3)=_20 设随机变量 X 与 Y 相互独立，方差分别为 4 和 2，则随机变量 3X 一 2Y 的方
7、差是_21 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为则 X 和 Y 的相关系数 =_22 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 09，若 Z=2X 一 1，则 Y 与 Z 的相关系数为_23 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为则 X2 和 Y2 的协方差 Cov(X2，Y 2)=_24 已知随机变量 X 在(1，2)上服从均匀分布，在 X=x 条件下 Y 服从参数为 x 的指数分布，则 E(XY)=_25 已知随机变量 X1 与 X2 相互独立且分别服从参数为 1， 2 的泊松分布，PX1+X20=1 e-1，则 E(X1+X2)2=_26 某车间生产的圆盘其直径在区间(a，b) 上服从
8、均匀分布，则圆盘面积的数学期望为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布为试求：(I)X 与 Y 的边缘分布律，并判断 X 与 Y 是否相互独立； ()PX=Y28 设随机变量 且 P|X|Y|=1(I)求 X与 Y 的联合分布律，并讨论 X 与 Y 的独立性；( )令 U=X+Y，V=X Y，讨论 U与 V 的独立性29 已知随机变量 X，Y 的概率分布分别为 PX=一 1=并且 PX+Y=1=1，求：(I)(X，Y)的联合分布；()X 与 Y 是否独立? 为什么?30 已知随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的 01
9、分布，即 PX=0=PX=1= PY=0=PY=1= 定义随机变量 Z= 求Z 的分布；(X ，Z) 的联合分布；并问 X 与 Z 是否独立31 已知(X，Y)在以点(0，0) ，(1，一 1)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布(I)求(X ，Y) 的联合密度函数 f(x，y)；()求边缘密度函数 fX(x)fY(y)及条件密度函数 fX|Y(x|y),fY|X(y|x)；并问 X 与 Y 是否独立；()计算概率 PX0，Y 0，32 已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为(I)试求(X，Y) 的边缘概率密度 fX(x),fY(y)，并问 X 与 Y 是否独立；()令 Z=X 一 Y
10、，求 Z 的分布函数 FZ(z)与概率密度fZ(z)33 假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 G=(x，y)|0x2，0y1上服从均匀分布，记 (I)求 U 和 V 的联合分布；()求 U 和 V 的相关系数 34 设随机变量 U 服从二项分布 ，随机变量求随机变量 XY 与 X+Y 的方差和 X 与 Y 的协方差考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 直接计算 Y 与 Z 的相关系数来确定正确选项由于 Cov(Y，Z)=Coy(Y，aX+b)=aCov(X，Y)，D(Z)=D(aX
11、+b)=a 2D(x)，所以选择 B【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 E(XC) 2=E(X 一 + 一 C)2 =E(X)2+2(C)E(X)+( 一 C)2， 又 E(X 一 )=E(X)一 =0，所以得 E(XC)2=E(X)2+( 一 C)2E(X 一 )2故选项 D 正确【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 显然选项 A、B、C 是 =1 的充分条件但不是必要条件，因此选D事实上，【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 选择D【知识模块
12、】 概率论与数理统计6 【正确答案】 B【试题解析】 根据随机变量 与 不相关的充分必要条件为 Cov(，)=0，有 Cov(，)=Coy(X+Y ，X Y)=Coy(X，X)一 Coy(Y，Y)， 注意到 D(X)=Cov(X，X)，D(Y)=Coy(Y，Y)， 可得 D(X)=D(Y)， 即 E(X 2)一E(X) 2=E(Y2)一E(Y)2，故选 B【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 直接根据定义通过计算确定正确选项，已知 D(X)=D(Y)，故因为 Coy(X，Y)=Coy(X，X)Cov(X，XY)=0 Cov(XY，X)=0，选择 D其余选项均不正确，这
13、是因为当 D(X)=D(Y)时，必有 Cov(X+Y，XY)=Cov(X ，X)一 Cov(X，Y)+Cov(Y，X)一 Coy(Y，Y) =D(X) 一 D(Y)=0，选项 C 成立，不能推出 =1选项 A、B 可推出 Cov(X，Y)=一 Cov(X，X)=一 D(X)或 Cov(X，Y)= 一 Cov(Y，Y)=一 D(Y)，【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 D【试题解析】 根据公式 D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X，Y) 确定正确选项D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y) D(X)+D(Y) D(XY)=D(X)+D(Y) 一2Cov(X，Y) D
14、(X)+D(Y) 应选 D【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 A【试题解析】 因为而由X1，X 2，X n 相互独立，可得 Cov(X1，X i)=0，i=2 ，3，n 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 C【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布，故 XN(， 2)，Y N(， 2)，即X 与 Y 有相同的分布，但是 0，所以 X 与 Y 不独立，选 C【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 A【试题解析】 直接根据计算协方差来判断， 已知 X 与 Y 独立，故 Cov(X，Y)=0， Cov(X，X+Y)=Cov(X，X)+Cov(X，Y)=D(X)
15、0 所以 X 与 X+Y 一定相关，应选 A 又由于 Coy(X，XY)=E(X 2Y)一 E(X).E(XY) =E(X2).E(Y)一(EX) 2.E(Y) =E(X2)一 E2(X)E(Y) 故选项 C、D 有时成立，有时不成立【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 D【试题解析】 通过计算 Cov(X，Y)来判定 由于 XN(0，1)，所以 E(X)=0， D(X)=E(X2)=1，E(X 3)=0，E(XY)=E(X)(2X 2+X+3)=2E(X3)+E(X2)+3E(X)=1， Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=10 X 与 Y 相关 X 与 Y 不独立
16、，应选D【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 D【试题解析】 设 Y=aX+b，因为 XY=1，得 X，Y 正相关，得 a0，排除选项A、C由 XN(0，1) ，YN(1 ，4)，可得 E(X)=0，E(Y)=1，所以 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=a0+b=1，所以 b=1排除选项 B故选择 D【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题14 【正确答案】 20【试题解析】 由于 D(X 2)=E(X4)一 E2(X2)所以 D(X2)=4!-(2!) 2=24-4=20【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计16 【
17、正确答案】 1【试题解析】 因为 X 和 Y 相互独立，所以 X2 与 Y 相互独立， E(X 2+Y)=E(X2)+E(Y)， 由于 XN(0，1)，所以 E(X)=0，D(X)=1 因此 E(X2)=D(X)+(EX)2=1，Y N(0，2)，故 E(Y)=0，所以 E(X2+Y)=1【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 4【试题解析】 本题是考查数字特征计算的基础题，所以又由于 X 和 Y 相互独立，故 E(XY)=E(X)E(Y)=4【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 将第 i 堆的第一只鞋固定，第二只鞋要与第一只鞋配对，只有在不同于第一只鞋剩下
18、的 19 只中唯一的一只才有可能，故 PXi=1= 也就有 E(Xi)=【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 46【试题解析】 根据题设可知，D(X 1)= D(X 2)=22=4，D(X 3)=3，于是D(X1 一 2X2+3X3)=D(X1)+4D(X3)+9D(X3)=3+44+93=46【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 44【试题解析】 因 X 与 Y 独立，故 3X 与一 2Y 也独立，所以D(3X 一 2Y)=D(3X)+D(一 2Y)=9D(X)+4D(Y)=36+8=44【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 0【试题解析】 根据题意 X
19、与 Y 的边缘分布分别为E(X)=06，D(X)=024，E(Y)=0 2， E(Y2)=05，D(Y)=046，E(XY)=一 0 08+020=012，Cov(X，Y)=0 12060 2=0，=0【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 09【试题解析】 Cov(Y，Z)=Coy(Y，2X 一 1)=2Cov(X，Y) ，D(Z)=D(2X 一 1)=4D(X) Y 与 Z 的相关系数 YZ 为【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 一 002【试题解析】 由 X 和 Y 的联合概率分布得于是有E(X2)=1205=0 5，E(Y 2)=1206=06，E(X 2Y2)
20、=12028=028，所以 Cov(X2，Y 2)=E(X2Y2)一 E(X2)E(Y2)=028030=一 002【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 1【试题解析】 根据题设知 fY|X(y|x)= 所以(X，Y) 的联合密度函数【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 2【试题解析】 已知 XiP( i)且相互独立，所以 E(Xi)=D(Xi)=i，i=1，2 E(X1+X2)2=E(X12+2X1X2+X22)=E(X12)+2E(X1)E(X2)+E(X22) =1+12+212+2+22=1+2+(1+2)2 因为 PX 1+X20=1 一 PX1+X20=1
21、一PX1+X2=0 =1 一 PX1=0，X 2=0=1 一 PX1=0PX2=0 =所以 1+2=1，故 E(X1+X2)2=1+1=2【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 【试题解析】 设圆盘直径为 X，其概率密度为 设圆盘面积为 Y，所以【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 【正确答案】 (I)因为边缘分布律就是联合分布律表格中行或列中诸元素之和，所以假如随机变量 X 与 Y 相互独立，就应该对任意的 i，j 都有 pij=pi.pj，而本题中p14=0，但是 p1 与 p4 均不为零，所以 P14p1p4 故 X 与 Y 不是
22、相互独立的【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 (I)由 P|X|Y|=1 知，P|X|=|Y|=0由此可得 X 与 Y 的联合分布律为因为 PX=一 1， Y=一 1PX=一 1PY=一 1，所以 X 与 Y 不独立()由(X，Y)的联合分布律知 所以 U 与 V 的联合分布律与边缘分布律为即可验证 U 与 V独立【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 (I)根据题设 PX+Y=1=1，即 PX=一 1，Y=2+PX=0 ，Y=1+PX=1，Y=0=1 ，故其余分布值均为零，即 PX=一 1，Y=0=PX= 一 1，Y=1=PX=0，Y=0=PX=0，Y=2=PX=1，
23、Y=1=PX=1 ，y=2=0，由此可求得联合分布为 ()因为 PX=一 1，Y=0=0PX=一 1PY=0= 故 X 与 Y 不独立【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 由于(X，Y)是二维离散随机变量，故由边缘分布及相互独立可求得联合分布；应用解题一般模式，即可求得 Z 及(X，Z)的分布，进而判断 X、Z 是否独立 由题设知 将其改写成矩阵形式，求 Z、(X ，Z) 的分布：由此可得 Z服从参数 p= 的 0 一 1 分布；所以(X ，Z)的联合概率分布为因 PX=i，Z=j= =PX=iPZ=j(i，j=0，1)，故 X 与 Z 独立【知识模块】 概率论与数理统计31 【正
24、确答案】 (I)由于以(0 ，0)，(1，一 1)，(1， 1)为顶点的三角形面积为 1，如图 42 所示，故由于 fX(x)fY(y)f(x，y) 所以 X 与 Y 不独立【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 画出 f(x，y)非零定义域，应用定义、公式进行计算因为 fX(x)fY(y)f(x，y) ，所以 X 与 Y 不独立由于 FZ(z)为 z 的连续函数，除 z=0 外，导函数存在且连续，故【知识模块】 概率论与数理统计33 【正确答案】 (I)已知(U，V)是二维离散型随机变量，只取(0，0) ，(1，0)，(1，1)各值，且 PU=0， V=0=PXY，X2Y=PXY= PU=1，V=0=PXY，X2Y=PYX2Y= PU=1，V=1=PXY，X 2Y=PX2Y= 于是(U，V)的联合分布为()从(I)中分布表看出【知识模块】 概率论与数理统计34 【正确答案】 先求出 X 与 Y 的概率分布及 XY 的概率分布即其次计算 E(X)，E(Y)，D(X) ，D(Y) 与 E(XY)即最后应用公式可得 D(X+Y)=D(x)+2Cov(X，Y)+D(Y)=2，D(XY)=D(X) 一 2Cov(X，Y)+D(Y)=1【知识模块】 概率论与数理统计
