1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 76 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 维行向量 矩阵 A=ET，B=E+2 T，则 AB=（A）0（B） E（C）一 E（D）E+ T2 设 A 是任一 n 阶矩阵，下列交换错误的是（A）A *A=AA*（B） AmAp=ApAm（C） ATA=AAT（D）(A+E)(AE)=(AE)(A+E)3 设 A，B，A+B，A -1+B-1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1=（A）A+B（B） A-1+B-1（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -14 设 A，B 均是 n 阶矩阵，下列命题中
2、正确的是（A）AB=0 A=0 或 B=0（B） AB0 A0 且 B0（C） AB=0A=0 或B=0 （D）AB0A0 且 B0 5 （A）AP 1P2（B） AP1P3 （C） AP3P1（D）AP 2P3二、填空题6 若 则 A2=_，A 3=_7 若 则 A*=_，(A*) *=_8 设 则 A-1=_9 设矩阵 B=A2+5A+6E，则 =_10 设 A 是 n 阶矩阵，满足 A2 一 2A+E=0，则(A+2E) -1=_11 若 则(A *)-1=_12 若 则(3A) *=_13 设 不可逆则 x=_14 设 A，B 均为 3 阶矩阵，且满足 AB=2A+B，其中 则B 一2
3、E=_15 设 A2 一 BA=E，其中 则 B=_16 设 XA=AT+X，其中 则 X=_17 已知 矩阵 X 满足 A*X=A-1+2X，其中 A*是 A 的伴随矩阵，则=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设 求(A *)-119 设 。求 An20 设 A，B 均为 n 阶矩阵，E+AB 可逆，化简(E+BA)E 一 B(E+AB)-1A21 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，其中 C 可逆，且 ABA=C-1，证明 BAC=CAB22 若 A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，则 AB 是反对称矩阵的充要条件是AB=BA23 设 A 是 n 阶矩阵，A m=0，
4、证明 EA 可逆23 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵其中 A*是 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵24 计算并化简 PQ；25 证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA-1b26 设 A 是 n 阶实反对称矩阵，证明(E 一 A)(E+A)-1 是正交矩阵考研数学三（线性代数）模拟试卷 76 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 AB=(E 一 T)(E+2T)=E+2T 一 T 一 2TT=E+T 一2T(T)注意 故 AB=E应选(B)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C
5、【试题解析】 因为 AA*=A*A=AE，A mAp=ApAm=Am+p，(A+E)(AE)=(AE)(A+E)=A2 一 E，所以(A)、(B)、(D)均正确而故(C)不正确【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 (A 一 1+B 一 1)一 1=(EA 一 1+B 一 1)一 1=(B 一 1BA 一 1+B 一 1)一 1 =B 一1(BA 一 1+AA 一 1)一 1=B 一 1(B+A)A 一 1一 1 =(A 一 1)一 1(B+A)一 1(B 一 1)一 1=A(A+B)一1B故应选 (C)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 但 AB=0，所以
6、(A)，(B)均不正确又如 有 AB0，但A=0 且B=0 可见(D)不正确由 AB=0 有AB=0，有A.B=0故A =0或B =0 应选 (C)注意矩阵 A0 和行列式A 0 是两个不同的概念，不要混淆【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 把矩阵 A 的第 2 列加至第 1 列，然后第 1，3 两列互换可得到矩阵表示矩阵 A 的第 2 列加至第 1 列，即 AP1，故应在(A) 、(B)中选择而 表示第 1 和 3 两列互换，所以选(B)【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 0【试题解析】 用定义 A11=
7、一 3，A 12=6，A 13=一 3，A 32=6，A 22=一12，A 23=6，A 31=一 3，A 32=6，A 33=一 3，故 因为r(A*)=1，A *的二阶子式全为 0，故(A *)*=0【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解析】 由(A+2E)(A 一 4E)+9E=A2 一 2A+E=0 有【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 因为(kA) *=kn-1A*，故(3A) 2=32A*
8、，又 A*=A A -1，【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 x=4 或 x=-5【试题解析】 【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 -2【试题解析】 由 AB 一 2AB+2E=2E，有 A(B 一 2E)一(B 一 2E)=2E，则(AE)(B 一 2E)=2E于是 AE.B 一 2E=2E=8，而所以 B 一 2E=一 2【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【试题解析】 由于 BA=A2 一 E，又 A 可逆，则有 B=(A2 一 E)A-1=AA-1故【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【试题解析】 由 XAX=AT 有 X(AE)=AT，因为 A 可逆，知 X
9、与 AE 均可逆【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 【试题解析】 左乘 A 并把 AA*=AE 代入得 AX=E+2AX，移项得 (A E 一 2A)X=E故 X=(AE 一 2A)-1【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 对矩阵 A 分块，记 则由 r(B)=1，知【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (E+BA)EB(E+AB) -1A =E+BAB(E+AB)-1ABAB(E+AB)-1A =E+BAB(E+AB)(E+AB)-1A=E+BABA=E【知识模块】 线性代数21 【正确
10、答案】 由 C 可逆，知ABA0，故矩阵 A，曰均可逆 因ABAC=E，即 A-1=BAC又 CABA=E，得 A-1=CAB 从而 BAC=CAB【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因为 AT=A，B T=一 B，那么(AB) T=BTAT=一 BA 若 AB 是反对称矩阵，则(AB) T=一 AB，从而 AB=BA反之，若 AB=BA，则(AB) T=一 BA=一AB，即 AB 是反对称矩阵【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由 Am=0，有 EAm=E于是 (EA)(E+A+A 2+Am-1)=EAm=E 所以 EA 可逆，且(EA) -1=E+A+A2+Am-1【知识模块】
11、 线性代数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由 AA*=A*A=AE 及 A*=A A -1 有【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 用拉普拉斯展开式及行列式乘法公式，有因为矩阵 A 可逆，行列式A0，故Q=A(b 一 TA-1)由此可知，Q 可逆的充分必要条件是b 一 TA-10，即 TA-1b【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (EA)(E+A) -1(EA)(E+A)-1T =(EA)(E+A)-1(E+A)-1T(EA)T =(EA)(E+A)-1(E+A)T-1(E+A) =(EA)(E+A)-1(EA)-1(E+A) =(EA)(EA)(E+A)-1(E+A) =(EA)(E+A)(EA)-1(E+A) =(EA)(EA)-1(E+A)-1(E+A)=E 所以 (EA)(E+A) -1 是正交矩阵【知识模块】 线性代数
