1、考研数学三（随机变量及其分布）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列函数中是某一随机变量的分布函数的是2 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则下列函数中一定可以作为概率密度的是（A）f(2x)（B） 2f(x)（C） f(-x)（D）f(x )3 设随机变量 X 服从正态分布，其概率密度函数 f(x)在 x=1 处有驻点，且 f(1)=1，则 X 服从分布4 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则随机变量X的概率密度 f1(x)为二、填空题5 抛掷一枚匀称的硬币，设随机变量 则随机变量 X 在区间上取值的概率为_6 已知某自动
2、生产线加工出的产品次品率为 001，检验人员每天检验 8 次，每次从已生产出的产品中随意取 10 件进行检验，如果发现其中有次品就去调整设备，那么一天至少要调整设备一次的概率为_(099 8004475)7 袋中有 8 个球，其中有 3 个白球，5 个黑球现从中随意取出 4 个球，如果 4 个球中有 2 个白球 2 个黑球，试验停止，否则将 4 个球放回袋中重新抽取 4 个球，直至取到 2 个白球 2 个黑球为止用 X 表示抽取次数，则 PX=k=_(k=1，2，)8 设随机变量 X1 服从参数为 p(0p1)的 0-1 分布，X 2 服从参数为 n，p 的二项分布，Y 服从参数为 2p 的泊
3、松分布，已知 X1 取 0 的概率是 X2 取 0 概率的 9 倍，X 1取 1 的概率是 X2 取 1 概率的 3 倍，则 PY=0=_，PY=1=_9 设随机变量 X 与-X 服从同一均匀分布 Ua，b，已知 X 的概率密度 f(x)的平方f2(x)也是概率密度，则 b=_10 已知随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则概率=_11 设离散型随机变量 X 的概率分布为则随机变量 Y=3X2-5的概率分布为_12 若 为随机变量 X 的概率密度函数，则 a=_13 设随机变量 X 的分布函数为 已知 P-1X 1= ，则 a=_，b=_14 设随机变量 X 服从正态分布 N(，22)，已知
4、 3PX15=2PX 15 ，则PX-12=_15 设随机变量 X 的概率密度 f(x)= 且 P1X 2=P2X3，则 A=_，B=_；P2X 4=_；分布函数 F(x)=_16 已知随机变量 YN(， 2)，且方程 x2+x+Y=0 有实根的概率为 ，则未知参数=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设随机变量 X 的分布律为 求 X 的分布函数 F(x)，并利用分布函数求 P2X6，PX4 ，P1X518 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 试求：()常数 C；()概率 ；()X 的分布函数19 设随机变量 X 的分布函数为 求P04X13，PX 05，P17
5、X2以及概率密度 f(x)20 随机变量 X 在 上服从均匀分布，令 Y=sinX，求随机变量 Y 的概率密度21 设离散型随机变量 X 只取一 1，2， 三个可能值，取各相应值的概率分别是a2，-a 与 a2，求 X 的分布函数22 已知随机变量 X 的概率分布为且 PX2= ，求未知参数 及X 的分布函数 F(x)23 已知袋中有 3 个白球 2 个黑球，每次从袋中任取一球，记下它的颜色再将其放回，直到记录中出现 4 次白球为止试求抽取次数 X 的概率分布24 随机地向半圆 (a 为正常数) 内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，用 X 表示原点到该点连线与 x 轴正方
6、向的夹角，求 X 的概率密度25 设随机变量 X 的绝对值不大于 1，且 PX=0= ，已知当 X0时，X 在其他取值范围内服从均匀分布，求 X 的分布函数 F(x)26 设有四个编号分别为 1，2，3，4 的盒子和三只球，现将每个球随机地放入四个盒子，记 X 为至少有一只球的盒子的最小号码()求 X 的分布律；()若当 X=k 时，随机变量 Y 在0，k上服从均匀分布， k=1，2，3，4，求PY227 设某地段在一个月内发生交通事故的次数 X 服从泊松分布，其中重大事故所占比例为 (0 1).据统计资料，该地段在一个月内发生 8 次交通事故是发生 10 次交通事故概率的 25 倍，求该地段
7、在一年内最多有一个月发生重大交通事故的概率(假定各月发生交通事故情况互不影响并设 =005)28 假设测量的随机误差 XN(0，10 2)，试求在 100 次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于 196 的概率 ，并利用泊松定理求出 的近似值(e -5=0007)29 设随机变量 X 的分布函数为 已知，求Y的分布函数30 设离散型随机变量 X 服从参数为 p(0P1)的 0-1 分布()求 X 的分布函数 F(x)； () 令 Y=F(X)，求 Y 的分布律及分布函数 F(y)31 已知随机变量 X 的分布函数 FX(x)= (0)，Y=lnX()求Y 的概率密度 fY(y)；()
8、计算考研数学三（随机变量及其分布）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对于(A) ：由于 F(x)应满足 0F(x)1，因此(A)不正确对于(B)：由于 F(1+0)=1 =F(1)，即 F(x)在点 x=1 处不是右连续的，因此(B)不正确对于(C) ：由于 F(x)在(0，1)内单调减小，不满足分布函数 F(x)是单调不减这一性质，因此(C)不正确故选 (D)【知识模块】 随机变量及其分布2 【正确答案】 C【试题解析】 根据概率密度的充要条件逐一判断对于(C)：f(-x)=f(-x)0，且故(C)满足概率
9、密度的充要条件，选(C)【知识模块】 随机变量及其分布3 【正确答案】 B【试题解析】 正态分布 N(， 2)的概率密度函数为由于 f(x)的驻点是 x=，且，故选(B) 【知识模块】 随机变量及其分布4 【正确答案】 D【试题解析】 设 X 的分布函数为 F(x)，X的分布函数为 F1(x)，则当 x0 时，F1(x)=PXx=0，从而 f1(x)=0；当 x0 时，F 1(x)=PXx=P-xXx=F(x)-F(-x)，从而有 f 1(x)=f(x)+f(-x)。由上分析可知，应选(D)【知识模块】 随机变量及其分布二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 随机变量 X 的概率分布为【知识
10、模块】 随机变量及其分布6 【正确答案】 0.55【试题解析】 如果用 X 表示每天要调整的次数，那么所求的概率为 P每天至少调整设备一次=PX1=1-PX=0 显然 0X8，如果将“检验一次”视为一次试验，那么 X 就是 8 次试验，事件 A=“10 件产品中至少有一件次品 ”发生的次数，因此XB(8，p)，其中 p=P(A)如果用 Y 表示 10 件产品中次品数，则 Y-B(10，001)， p=P(A)=PY1=1-PY=0=1-(1-001) 10=1-099 10 所求的概率为 PX1=1-PX=0=1-(1-p) 8=1-099 80=1-04475055【知识模块】 随机变量及其
11、分布7 【正确答案】 【试题解析】 若记 Ai=“第 i 次取出 4 个球为 2 个白球，2 个黑球”，由于是有放回取球，因而 Ai 相互独立，根据超几何分布知 ，再由几何分布即得【知识模块】 随机变量及其分布8 【正确答案】 【试题解析】 由于 Y 服从泊松分布，则需先求出其分布参数 的值，而 =2p，因此需求出 p 的值 PX1=0=1-p q， PX 1=1=p， PX 2=0=qn， PX 2=1=npqn-1【知识模块】 随机变量及其分布9 【正确答案】 【试题解析】 若 X-Ua，b，则-XU-b，-a ，由 X 与-X 同分布可知 a=-b，即XU-b，b于是有由题设 f2(x)
12、也是概率密度，则由【知识模块】 随机变量及其分布10 【正确答案】 【试题解析】 由题设知 PX0=1，PX0=0，应用全概率公式得【知识模块】 随机变量及其分布11 【正确答案】 【试题解析】 由于 PX=-2=PY=3X 2-5=PY=3(-2)2-5=PY=7=01， PX=-1=PY=-2=02，PX=0=PY=-5=01， PX=1=PY=-2=03，PX=2=PY=7=0 2， PX=3=PY=22=01，因此 Y 可能取值为-5，-2，7，22，其概率分布为 PY=-5=01，PY=-2=02+03=05， PY=7=0 1+02=03，PY=22=01，于是 Y=3X2-5 的
13、概率分布为【知识模块】 随机变量及其分布12 【正确答案】 【试题解析】 依题意有【知识模块】 随机变量及其分布13 【正确答案】 【试题解析】 由于 F(x)在任何一点都是右连续的，于是有 F(-1+0)=F(-1)，即又因 PX=2=P-1X1-P-1X1=F(1)-F(-1)- ，于是有【知识模块】 随机变量及其分布14 【正确答案】 0.6826【试题解析】 求正态分布随机变量 X 在某一范围内取值的概率，要知道分布参数 与 ，题设中已知 =2，需先求出 由于【知识模块】 随机变量及其分布15 【正确答案】 【试题解析】 由于 ，又 P1X 2=P2X3，【知识模块】 随机变量及其分布
14、16 【正确答案】 【试题解析】 已知 YN(， 2)，且 P方程有实根=P1-4Y0=【知识模块】 随机变量及其分布三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 X 为离散型随机变量，其分布函数为，这里和式是对所有满足 xix的 i 求和，本题中仅当 xi=1，4，6，10 时概率 PX=xi0，故有 当 x1 时，F(x)=PXx=0； 当1x4 时，F(x)=PXx=PX=1=26； 当 4x6 时，F(x)=PXx=PX=1+PX=4=36； 当 6x10 时，F(x)=PXx=PX=1+PX=4+PX=6=56； 当 x10时，F(x)=PX=1+PX=4+P
15、X=6+PX=10=1于是P2X6=F(6)-F(2)=5 6-13=12，PX4=F(4)-PX=4=12-16=13，P1X5=P1X5+PX=1-PX=5=F(5)-F(1)+13-0=12-13+13=1 2【知识模块】 随机变量及其分布18 【正确答案】 () 由 ()()分布函数 F(x)= ，由于 f(x)是分段函数，该积分在不同的区间上被积函数的表达式各不相同，因此积分要分段进行要注意的是不管 x 处于哪一个子区间，积分的下限总是“-”，积分由(-，x)的各个子区间上的积分相加而得【知识模块】 随机变量及其分布19 【正确答案】 P04 X13=F(13)-F(0 4)=(13
16、-05)-=06，PX 05=1-PX05=1-F(0 5)=1- =075，P17X2=F(2)-F(17)=1-1=0；【知识模块】 随机变量及其分布20 【正确答案】 用分布函数法先求 Y 的分布函数 FY(y)由于 X 在 上服从均匀分布，因此 X 的概率密度 fX(x)与分布函数 FX(f)分别为FY(y)=PYy=PsinXy当-1y1 时，F Y(y)=PXarcsiny=FX(arcsiny)=当 y-1时，F Y(y)=0； 当 y1时，F Y(y)=1因此 Y 的概率密度为fY(y)为【知识模块】 随机变量及其分布21 【正确答案】 应用离散型随机变量分布律的基本性质 与p
17、i0，i=1 ，2 ，有 则 X 的分布律与分布函数分别为【知识模块】 随机变量及其分布22 【正确答案】 由 PX2=1-PX=1=1-2= 又 PX=2=2(1-)0，故取 = ，从而得 X 的概率分布于是 X 的分布函数【知识模块】 随机变量及其分布23 【正确答案】 显然 X 可能取的值为 4，5， k，由于是有放回的取球，因此每次抽取“ 取到白球”的概率 p 不变，并且都是 p= ，又各次取球是相互独立的，因此根据伯努利概型得 PX=4=p4，PX=5=P前 4 次抽取取到 3 个白球 1 个黑球，第 5 次取到白球【知识模块】 随机变量及其分布24 【正确答案】 设比例系数为 ，而
18、点落在半圆这个区域的概率为 1，它应等于比例系数 与半圆面积 因此当 0x 时，事件Xx的概率是两个面积之比，其中分母为半圆面积 ；分子面积 S 是三角形 BOA 与扇形 ABC 的面积之和，即【试题解析】 由图 21 看出，X 取值在 内，由于 X 是一个连续型随机变量，我们通过它的分布函数 F(x)求其概率密度 f(x)【知识模块】 随机变量及其分布25 【正确答案】 写出已知条件的数量关系，应用计算概率方法计算 F(x)依题意PX1=P-1X1=1， PXx=0= 又除 0 点外，X 在其他取值范围内服从均匀分布，其落在不包含 0 点的子区间内的概率与该子区间的长度成正比，比例常数 =
19、，故有当 X-1 时，F(x)=0；当 x1时，F(x)=1；当-1x0 时，F(x)=PXx=PX-1+P-1Xx= 当0x1 时， F(x)=PXx=Px0+PX=0+P0Xx【知识模块】 随机变量及其分布26 【正确答案】 () 随机变量 X 的可能取值为 1， 2，3，4，设事件 Ai 表示第 i 个盒子是空的(k=1，2，3，4) ，则PX=4=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2A 1)P(A3A 1A2)于是 X 的分布律为()由于当 X=k 时，随机变量 Y 在0，k上服从均匀分布，故 PY2 X=1=PY2X=2=1，由全概率公式即得【知识模块】 随机变量及其分布27 【正
20、确答案】 先确定 X 的分布参数 ，由于 PX=8=25PX=10 ，即计算出 Y 服从参数为的泊松分布，即 一个月内无重大交通事故的概率 p=PY=0=e-0.3一年内最多有一个月发生重大交通事故就是一年内至少有 11 个月无重大交通事故，其概率为 PZ=11+PZ=12=(1-e-0.3)+e-3.6=0142【试题解析】 此题首先应该计算一个月内该地段发生重大交通事故次数 Y 的概率分布，据此可求出概率 p=PY=0如果用 Z 表示一年内无重大交通事故的月份数，显然各个月是否有重大交通事故互不影响，因此 Z 服从二项分布 B(12，p)【知识模块】 随机变量及其分布28 【正确答案】 记
21、事件 A=“100 次独立测量中至少有 3 次测量误差 X 的绝对值大于 196”=“100 次独立测量中，事件X196 至少发生 3 次” ，依题意，所求 =P(A)如果记事件 C=X196，Y 表示 100 次独立测量中事件 C 发生的次数，则事件 A=Y3，YB(100，p)，其中 p=P(C) p=P(C)=PX19 6=1-PX196=1-P-196X196=21-(196)=20025=005，因此所求的概率 =P(A)=PY3=1-PY3 =1-PY=0-PY=1-PY=2，其中 PY=k=由于 n=100 充分大，p=005 很小，np=100005=5 适中，显然满足泊松定理
22、的条件，可认为 Y 近似服从参数为 5 的泊松分布因此 PY=k ，其中 =np=5，于是 1-e-5-5e-5- =1-185e -5=087 【知识模块】 随机变量及其分布29 【正确答案】 从 X 的分布函数 F(x)可知：X 只取-2，-1 与 1 三个值，其概率分别为 03，03，04，因此随机变量 ，其相应概率分别为 03，03 与 0.4因此Y的分布律为=03，Y的分布函数为【试题解析】 显然 X 是离散型随机变量， 也是离散型随机变量，要求Y的分布函数，应先求出 Y的分布律，而 Y 又是 X 的函数，因此我们应通过 X 的分布律求解.【知识模块】 随机变量及其分布30 【正确答案】 () F(x)=PXx= () Y=F(X)=PY=0=PX0=0， PY=1-P=P0X1=PX=0=1-P， PY=1=PX1=PX=1=p，于是 Y 的分布律与分布函数分别为【知识模块】 随机变量及其分布31 【正确答案】 () 由题设知 X 的概率密度 fX(x)= 所以 Y 的分布函数 F Y(y)=PYy=PlnXy(yR)由于 PX1=1，故当 y0时 FY(y)=0；当 y0 时，可见，Y 服从参数为 的指数分布()PYk= ，由于 0，0e -1，故【知识模块】 随机变量及其分布
