1、考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (96 年 )设当 x0 时，e x 一(ax 2+bx+1)是比 x2 高阶的无穷小则（A） b=1（B） a=1，b=1（C） b= 一 1（D）a= 一 1，b=12 (96 年 )设函数 f(x)在区间 (一 ，)内有定义，若当 x(一 ，)时，恒有|f(x)|x 2，则 x=0 必是 f(x)的（A）间断点（B）连续而不可导的点（C）可导的点，且 f(0)=0（D）可导的点，且 f(0)03 (96 年 )设 f(x)处处可导，则4 (96 年 )在区间
2、(一，+)内，方程（A）无实根（B）有且仅有一个实根（C）有且仅有两个实根（D）有无穷多个实根5 (97 年 )已知 y=f(x)对一切的 x 满足 xf“(x)+3xf(x)2=1e-x，若 f(x0)=0(x00)，则（A）f(x 0)是 f(x)的极大值（B） f(x0)是 f(x)的极小值（C） (x0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(x 0)不是 f(x)的极值，(x 0，f(x 0)也不是曲线 y=f(x)的拐点6 (98 年 )函数 f(x)=(x2 一 x 一 2)|x3 一 x|的不可导点的个数为（A）0（B） 1（C） 2（D）37 (98 年 )设函数 f
3、(x)在 x=a 的某个邻域内连续，且 f(a)为其极大值，则存在 0，当 x(a 一 ，a+) 时，必有（A）(x a)f(x)一 f(a)0 （B） (x 一 a)f(x)一 f(a)0（C）（D）8 (99 年 )设 f(x)= 其中 g(x)是有界函数，则 f(x)在 x=0 处（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导9 (00 年 )设函数 f(x)满足关系式 f“(x)+f(x)2=x，且 f(0)=0，则（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C）点 (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)
4、的极值，点(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点10 (00 年) 设函数 f(x)，g(x)是大于零的可导函数，且 f(x)g(x)一 f(x)g(x)0，则当axb 时有（A）f(x)g(b) f(b)g(x) （B） f(x)g(a)f(a)g(x)（C） f(x)g(x)g(b)f(b) （D）f(x)g(x) f(a)g(a)11 (00 年) 若 为（A）0（B） 6（C） 36（D）二、填空题12 (96 年) 设 y= ，则 y|x=0=_13 (97 年) 设 则 y“|x=0=_14 (98 年)15 (98 年) 曲线 (x0) 的渐近线方程为_16 (99 年)
5、曲线 在点(0，1) 处的法线方程为_17 (99 年) 设函数 y=y(x)由方程 ln(x2+y)=x3y+sinx 确定，则 =_18 (00 年)19 (00 年) 设函数 y=y(x)由方程 2xy=x+y 所确定则 dy|x=0=_20 (00 年) 曲线 的斜渐近线方程为_21 (01 年) 设函数 y=f(x)由方程 e2x+y 一 cos(xy)=e 一 1 所确定，则曲线 y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 (95 年) 如图 22 所示，设曲线 L 的方程为 y=f(x)，且 y“0，又 MT、MP 分别为该
6、曲线在点 M(x0，y 0)处的切线和法线已知线段 MP 的长度为 (其中y0=y(x0)，y 0“=y“(x0)，试推导出点 P(，)的坐标表达式23 (95 年) 设 且 f“(x)0证明 f(x)x24 (96 年) 设 其中 f(u)具有二阶导数，且 f(u)0，求25 (96 年) 求函数 在 x=0 点处带拉格朗日型余项的 n 阶泰勒展开式26 (96 年) 设函数 y=y(x)由方程 2y3 一 2y2+2xyx2=1 所确定，试求 y=y(x)的驻点并判别它是否为极值点27 (96 年) 设 f(x)在区间a，b上具有二阶导数，且 f(a)=f(b)=0f(a).f(b)0试证
7、明：存在 (a，n) 和 (a，b)，使 f()=0 及 f“()=028 (97 年) 设 y=y(x)由 所确定，求29 (97 年) 就 k 的不同取值情况，确定方程 x 一 =k 在开区间 内根的个数，并证明你的结论30 (98 年) 设 x(0，1)，证明(1)(1+x)ln 2(1+x)x 2；(2)31 (99 年) 求32 (99 年) 已知函数 求(1) 函数的增减区间及极值；(2)函数图形的凹凸区间及拐点；(3)函数图形的渐近线33 (99 年) 设函数 f(x)在闭区间 一 1，1上具有三阶连续导数且 f(一 1)=0，f(1)=1，f(0)=0 ，证明：在开区间(一 1
8、,1)内至少存在一点 ，使 f“()=334 (00 年) 求函数 f(x)=x2ln(1+x)在 x=0 处的 n 阶导数 f(n)(0)(n3)35 (00 年) 已知 f(x)是周期为 5 的连续函数它在 x=0 某个邻域内满足关系式f(1+sinx)一 3f(1 一 sinx)=8x+(x)其中 (x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小，且 f(x)在 x=1 处可导，求曲线 y=f(x)在点(6,f(6)处的切线方程考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由泰勒公式可
9、知【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 由|f(x)|x 2 知，f(0)=0由夹逼原理可知从而 即 f(0)=0 故应选(C) 【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 排除法令 f(x)=x，则 ，但 f(x)=1，可见(A)(C) 都不正确令 f(x)=e-x，则，故(B)也不正确所以应选(D)【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(x)= ，显然，f(x)是偶函数所以，只要考虑 f(x)=0 在(0，+)上的实根情况，当 x0 时则f(x)在 上严格单调增，因此 f(x)=0 在 上有唯一实根而当 时，f(x)0
10、，故在(0，+)上方程 f(x)=0 有且仅有唯一实根。由对称性可知，f(x)=0 在(一， +)上有且仅有两个实根【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x0)=0 知 x=x0 为 f(x)的驻点将 x=x0 代入 xf”(x)+3xf(x) 2=1一 e-x 得 x0f“(x0)=1 一 所以 x=x0 为 f(x)的极小值点【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 由导数定义知|x|在 x=0 不可导而 x|x|在 x=0 可导，而 f(x)=(x2-x-2)|x3 一 x|=(x 一 2)(x+1)|x|x 一 1|x+1|，则 f(
11、x)在 x=0 和 x=1 不可导，则应选(C) 【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(x)在 x=a 取得极大值，则存在 0使得当 x(a，a+)时 f(x)f(a)即 f(x) 一 f(a)0 从而有 又因为 f(x)在 x=a连续，则 所以应选(C)【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 D【试题解析】 所以 f(x)在 x=0 处可导【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 C【试题解析】 原式两端对 x 求导得f“(x)+2f(x)f“(x)=1令 x=0 得 f“(0)=10，又 f“(0)=0则，点(0,f(0) 是曲线 y=f(x)的
12、拐点【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x)g(x)一 f(x)g(x)0， ax b 可知则 在(a，b) 内单调减，从而应有 即 f(x)g(b) f(b)g(x) 故应选(A)【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 【试题解析】 由对数的性质可知【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 【试题解析】 由洛必达法则知【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学1
13、6 【正确答案】 y+2x 一 1=0【试题解析】 当 x=0 时，t=0,故 从而在(0，1)处的法线方程为 y1=一 2x即 y+2x-1=0【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 1【试题解析】 原方程两边对 x 求导得 由原方程可知，当 x=0 时 y=1，将 x=0，y=1 代入上式得 y=1【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【试题解析】 (当 x0 时,ln(1+2x 3)2x 3【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 (ln2-1)dx 【试题解析】 等式 2xy=x+y，两端求微分得 2 xyln2(ydx+xdy)=dx+dy 由原式可知当x=0
14、 时， y=1将 x=0y=1 代入上式得 dy| x=0=(ln2-1)dx【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 y=2x+1【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 x 一 2y+2=0【试题解析】 方程 e2x+y 一 cos(xy)=e 一 1 两边对 x 求导得 (2+y)e 2x+y+sin(xy)(y+xy)=0 将 x=0，y=1 代入上式得 y=一 2则 y=f(x)在(0 ，1) 处的法线方程为 y 一 1=即 x 一 2y+2=0【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 由于 y“ 0，
15、曲线 L 是凹的，故 y0 一 0从而【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 由题设可知，f(x)二阶可导，从而 f(x)连续且有一阶导数又则 f(0)=0 令 F(x)=f(x)一 x，则 F(0)=0 由于 F(x)=f(x)一 1，所以 F(0)=0，又由 F“(x)=f“(x)0 知 F(0)是 F(x)的极小值和 F(x)严格单调增，故 F(x)只有一个驻点，从而 F(0)是 F(x)的最小值因此 F(x)F(0)=0 即 f(x)x【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 所以 f(x)=1 一 2x+2x2 一+(一
16、1)n2xn+(一 1)n+1. (0 1)【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 原方程两边对 x 求导得 3y 2y一 2yy+y+xy-x=0 (*)令 y=0，得y=x，代入原方程得 2x3 一 x2 一 1=0，从而解得唯一驻点 x=1 (*)式两边对 x 求导得(3y2 一 2y+x)y“+2(3y 一 1)y2+2y一 1=0 因此 故 x=1 为 y=y(x)的极小值点【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 先用反证法证明： (a，b)，使 f()=0否则由 f(x)的连续性可知，在区间(a，b)内恒有 f(x)0 或 f(x)0不妨设 f(x)0，则从而 f(
17、a)f(b)0这与已知条件矛盾，则在(a,b)内至少存在 ，使 f()=0。 再由 f(a)=f()=f(b)及罗尔定理知存在1(a， )和 2(,b)使 f( 1)=f(2)=0 又在 1， 2上对 f(x)应用罗尔定理知，存在(1， 2)，使 f”()=0【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 等式 2y-ty2+et=5 两边对 t 求导得【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 设 f(x)= ，则 f(x)在 上连续由 f(x)=解得 f(x)在 内的唯一驻点 x0= 由于当 x(0x 0)时，f(x)0当 x ,f(x)0，所以 f(x)在0,x 0上单调减少在 上单
18、调增加因此 x0 为 f(x)在 内唯一的最小值点，最小值为 y0=f(x0)= 又因 f(0)= =0，故在 内 f(x)的取值范围为(y 0,0)因此，当 y0，0),即 ky 0 或 k0 时，原方程在 内没有根当 k=y0 时，原方程在 内有唯一实根 x0当 k(y0,0)时，原方程在(0，x 0)和 内各恰有一根，即原方程在 内恰有两个不同的根【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 (1)令 (x)=(1+x)ln2(1+x)-x2，(0)=0(x)=ln 2(1+x)+2ln(1+x)一2x，(0)=0 于是 “(x)在(0，1)内严格单调减少，又 (0)=0，所以在(0，
19、1) 内 (x)0于是 (x)在(01)内严格单调减少，又 (0)=0故在(0， 1)内 (x)0故 (x)在 (0，1) 内严格单调减少又 (0)=0故在 (01)内 (x) 0由(1)知 f(x)0(当 x(0，1)，于是可知 f(x)在(0，1) 上严格单调减少 f(1)= 故当x(01)时 不等式左边证毕又【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 分子有理化得【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 所给函数定义域为(一，1)(1， +) 令 y=0，得驻点 x=0 及 x=3 ，令 y“=0 得 x=0，由此可知(1)函数的单调增加区问为(一 1) 和(3，+)，单调减少
20、区间为(1，3)；极小值为 (2)函数图形在区间(一，0) 内是(向上)凸的，在区间(0，1)，(1，+)内是(向上)凹的，拐点为点(0 ，0) (3) 由 知，x=1 是函数图形的铅直渐近线；又故 y=x+2 是函数图形的斜渐近线【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 由泰勒中值定理可知 f(x)=f(0)+f(0)x+ 其中 介于 0 与 x 之间，x一 1，1分别令 x=一 1 和 x=1，并结合已知条件得两式相减可得 f“( 1)+f“(2)=6 由 f“(x)的连续性，f“(x)在闭区间 1,2上有最大值和最小值，设它们分别为 M和 m，则有 再由连续函数的介值定理知，至少存在一点 1， 2 (-1，1)使【知识模块】 一元函数微分学34 【正确答案】 由莱不尼兹公式【知识模块】 一元函数微分学35 【正确答案】 所以 f(1)=2 由于 f(x+5)=f(x)，所以 f(6)=f(1)=0f(6)=f(1)=2 故所求切线方程为y=2(x 一 6)即 2x-y 一 12=0【知识模块】 一元函数微分学
