1、考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在(，)内连续，其导函数的图形如图 124 所示，则 f(x)有（A）一个极小值点和两个极大值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极火值点（D）一个极小值点和一个极大值点 2 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0，使得（A）f(x)在(0，)内单调增加（B） f(x)在(，0)内单调减少（C）对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0) （D）对任意的 x(，0)，有 f(x)(0)3 设函数 f(x)满足关系式 f“(
2、x)f(x) 2x 且 f(0)0，则（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C）点 (0，f(0)是曲线 yf(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，点(0，f(0)也不是曲线 y 一f(x) 的拐点 4 曲线 y(x 1)2(x3) 2 的拐点个数为（A）0 （B） 1（C） 2（D）35 设 f(x)x(1x)，则（A）x0 是 f(x)的极值点，但 (0，0)不是曲线 yf(x)的拐点（B） x0 不是 f(x)的极值点，但(0，0) 是曲线 yf(x) 的拐点（C） x0 是 f(x)的极值点，且(0，0) 是曲线 yf(x)的拐点（D）x0
3、不是 f(x)的极值点， (0，0)也不是曲线 yf(x)的拐点 6 曲线 渐近线的条数为（A）0 （B） 1（C） 2（D）37 曲线 渐近线的条数为（A）0 （B） 1（C） 2 （D）38 若 f“(x)不变号，且曲线 yf(x)存点(1，1)处的曲率圆为 x2y 22，则函数 f(x)在区间(1 ，2) 内（A）有极值点，无零点 （B）无极值点，有零点（C）有极值点，有零点 （D）无极值点，无零点 9 设函数 f(x)x 2(x1)(x2)，则 f(x)的零点个数为（A）0（B） 1（C） 2（D）310 函数 f(x)ln(x1)(x2)(x3)的驻点个数为（A）0 （B） 1（C）
4、 2（D）311 设函数 Yf(x)在(0，) 内有界且可导，则（A）当 时，必有 （B）当 存在时，必有 （C）当 时，必有 （D）当 存在时，必有 12 已知函数 f(x)在区间(1，1)内具有二阶导数，f(x)严格单调减少，且 f(1)f(1)1，则（A）在(1 ，1) 和(1，1)内均有 f(x)x（B）在 (1，1)和(1，1) 内均有 f(x)x（C）在 (1，1)内，(x)x在(1，1)内，f(x)x（D）在(1 ，1) 内 f(x)x，在(1，1)内，f(x)x。 二、填空题13 曲线 的拐点坐标为_14 函数 yx 2 在区间(0，1上的最小值为_15 设函数 y(x)由参数
5、方程 确定，则曲线 yy(x)向上凸的 x 取值范围为_16 曲线 的渐近线方程为_17 曲线 的斜渐近线方程为_18 曲线 的斜渐近线方程为_19 曲线 的水平渐近线方程为_20 曲线 的渐近线方程为_21 y2 x 的麦克劳林公式中 x 项的系数是_22 曲线 的弧长 s _23 曲线 yx 2x(x0) 上曲率为 的点的坐标是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 求函数 f(x) 1x2(x2t)e t2 dt 的单调区间与极值。25 设 (1)证明 f(x)是以 为周期的周期函数；(2)求f(x)的值域26 设函数 yy(x) 由参数方程 确定，求 yy(x)的极值
6、和曲线 yy(x)的凹凸区间及拐点27 已知函数 ，求：(1)函数的增减区间及极值；(2)函数图形的凹凸区间及拐点；(3)函数图形的渐近线28 就 k 的不同取值情况，确定方程 在开区间 内根的个数，并证明你的结论29 讨论曲线 y4lnxk 与 y4xln 4x 的交点个数30 设 yf(x)是区间0，1上的任一非负连续函数 (1)试证存在 x0(0，1)，使得在区间0 ，x 0上以 f(x0)为高的矩形面积，等于在 x0，1 上以 yf(x)为曲边的梯形面积(2)又设 f(x)在区间(0，1)内可导，且 ，证明(1)中的 x0 是唯一的31 已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内
7、可导。且 f(0)0，f(1)1证明：(1)存在 (0，1) 使得 f()1 ；(2)存在两个不同的点 ，(0，1)使得 f()f()132 设函数 f(x)，g(x) 在a，b上连续，在(a ，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)g(a)，f(b)g(b)，证明：存在 (a，b)，使得 f“()g“()33 设函数 f(x)在闭区间 1，1上具有三阶连续导数，且 f(1)0，f(1)1，f(0)0，证明：在开区间(1，1)内至少存在一点 ，使 f()334 设 f(x)在区间a，a(a0)上具有二阶连续导数，f(0)0 (1)写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2
8、)证明在a ，a上至少存在一点 ，使 a 3f“()3 a af(x)dx35 (1)证明积分中值定理：若函数 f(x)在闭区间a，b上连续，则至少存在一点a， b，使得 ab(x)dxf()(b a) ； (2)若函数 (x)具有二阶导数，且满足 (2)(1) ，(2) ab(x)dx，则至少存在一点 (1，3)，使得 “()036 (1)证明拉格朗日拉值定理：若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则存在 (a，b) ，使得 f(b)f(a) f()(b a)(2)证明：若函数 f(x)在 x0 处连续，在(0，)(0)内可导，且 ，则 f (0)存在，且 f (0)A 37
9、设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0 ，1) 内可导，且 f(0)0，证明：存在 ，使得 f()f() 2 238 设奇函数 f(x)在闭区间 1，1上具有 2 阶导数，且 f(1)1证明(1)存在 (0，1) ，使得 f()1；(2)存在 ( 1，1)，使得 f“()f() 139 设 x(0，1)，证明：(1)(1x)ln 2(1x)x 2；(2)。40 设 0a b，证明不等式 41 设 eabe 2，证明 ln2bln 2a 。42 证明：当 0a b 时，bsinb 2cosb basina2cosaa43 证明： (1x1)44 设 (x)是抛物线 上任一点 M(x，
10、y)(x1)处的曲率半径，s s(x) 是该抛物线上介于点 A(1，1) 与 M 之间的弧长，计算 的值(在直角坐标系下曲率公式为 )考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 分析 答案与极值点的个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共 4 个，是极大值点还是极小值点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定详解 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有 3 个，而 x0 则是导数不存在的点，三个一阶导数为零的点左、右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一
11、个极大值点；在 x0 左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见 x0 为极大值点，故 f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，故应选(C)评注 本题也可利用 f(x)的严格单调性用第二充分条件判定极值，用加强条件法：假设 f(x)二阶连续可导，则在 y 轴右侧，由 f(x)严格单调增加，知 f“(x)0，可见 y 轴右侧的一阶导数为零的点必为极小值点，同理可判定 y 轴左侧有一个极大值点和一个极小值点，而 x0 则只能用第一允分条件进行判定【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 分析 函数 f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A) ，(B)选项
12、，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析详解 由导数的定义，知 根据保号性，知存在 0，当x(，0) (0，) 时，有 即当 x(，0) 时，f(x)f(0)；而当x(0，) 时，有 f(x)f(0)故应选(C)评注 若 f(a)0，且加强条件设 f(x)在xa 连续，则可以证明存在 0，使得 f(x)在(a ，a)内单调上升【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 分析 由题设 f(0)0，是否为极值点可通过 f“(0)的符号来定，但易知 f“(0)0，因此可进一步通过 f“(0)的符号确定是否为拐点若还有 f“(0)0，则要通过更高阶导数的符号才能进行判断其为极值点或拐
13、点 详解 因为 f(0)0，由原关系式 f“(x)f(x) 2x 知，f“(0)0，因此点(0 ，f(0)可能为拐点由 f“(x)f(x) 2 x 知 f(x)的三阶导数存在，且 f(x) 2f(x)f“(x)1， 可见 f(0)1因此在 x0 的左侧，f“(x)0，对应曲线弧是下凹(上凸)的；而在 x0 的右侧，f“(x)0，对应曲线弧是上凹(下凸)的，故点(0，f(0)是曲线 yf(x) 的拐点 评注 一般地，若 f(x)在点 x0 处满足：f(x 0)0，f (k1) (x0)0，f k(x0)0， 则当 k(k2) 为偶数时，x 0 是函数f(x)的极值点；当 k 为奇数时，点(x 0
14、，f(x 0)是曲线 yf(x)的拐点【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 分析 可能的拐点是二阶导数为零或二阶导数不存在的点，本题二阶导数均存在，因此只需求出二阶导数为零的点，再根据二阶导数存零点左、右两侧(或三阶导数在零点) 的符号进行判断即可 详解 1 因为 y4(x1)(x2)(x3)， y“4(3x 212x11)， y24(x2) 显然 y“0 有两个零点，且在此两点处三阶导数 y0，因此曲线有两个拐点故应选(C) 详解 2 由于所给函数光滑、特殊，因此不必计算二阶导数即可判断出拐点的个数首先，y 是 4 次多项式，其曲线最多拐 3 个“弯儿”，因此拐点最多
15、有 2 个其次，x1，x3 是极小点，在两点之间必有唯一的极大点，设为 x0又，y 的大致图形如图 125 所示于是在(1，x 0)和(x 0，3)内各有一个拐点故应选 (C) 评注 本题从一阶导函数有三个零点即知 y“有两个零点，且显然不为 2，故三阶导数一定非零，从而知曲线有两个拐点 一般地，若 f“(x0)0，y(x 0)0，则点(x0，f(x 0)一定是曲线 y f(x)的拐点，事实上，由，知 f(x0)在 xx 0 的左、右两侧变号，即曲线的凹向改变，因此点(x 0，f(x 0)为拐点【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 分析 求分段函数的极值点与拐点，按要求
16、只需讨论 x0 两边，f(x)，f“(x)的符号详解 1 从而，当1x0 时，f(x)向上凹；当 0x1 时，f(x)向上凸，于是(0 ，0)为拐点 又 f(0)0，x0，1 时，f(x) 0，从而 x0 为极小值点 所以，x0 是极值点，(0 ，0) 是曲线 yf(x)的拐点，故应选(C) 详解 2 (用图解法)令 f(x)x(1 x) 0，得曲线与 x 轴的交点：x 10，x 21，则图形如图 126 所示，由图可以看出(C)正确【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 分析 先找出无定义点，确定其是否为对应铅直渐近线；再考虑水平或斜渐近线详解 因为 所以 x0 为铅直
17、渐近线；又 ，所以 y0 为水平渐近线；进一步，于足有斜渐近线 yx，故应选(D)评注 一般来说，有水平渐近线就不再考虑斜渐近线但当 不存在时，就要分别讨论x和 x两种情况，即左、右两侧的渐近线本题在 x0 的一侧有水平渐近线，而在 x0 的一侧有斜渐近线关键应注意指数函数 ex 当 x 时极限不存在，必须分 x和 x 进行讨论【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 C【试题解析】 详解 由 ，知 x1 为铅直渐近线；由，知 y1 为水平渐近线；显然，没有斜渐近线故应选(C) 评注 若求渐近线的上述极限不存在，则需要考虑单侧极限，即考虑一侧是否有这三种渐近线，在曲线的同侧若有水平渐近线，
18、则一定没有斜渐近线【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 B【试题解析】 详解 由题意可知，f(x) 是一个凸函数，即 f“(x)0，且在点(1，1)处的曲率 而 f(1)1，由此可得， f“(1)2，在1，2上，f(x)f(1)10，即 f(x)单调减少，没有极值点南拉格朗日中值定理 f(2)f(1) f() 1，(1 ，2)所以 f(2)0，而 f(1)10，由零点定理知，在(1， 2)内 f(x)有零点，故应选 (B)评注此题有一定难度，需对基本概念熟练掌握【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 D【试题解析】 详解 因为 f(0)f(1)f(2) 0，因此 f(x)在区间(
19、0 ，1)和(1，2)上各至少有一个零点，又显然 f(0)0，因此 f(x)的零点个数为 3，故应选(D) 评注 若直接计算 f(x)有 f(x)x(4x 29x4) 也可推导出 f(x)的零点个数为 3【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 C【试题解析】 分析 解方程 f(x)0，考察根的个数详解由导数公式得 。令 f(x)0，得，有 2 个驻点故应选(C)【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 B【试题解析】 分析 本题考查函数的有界性与函数的极限、导函数的极限之间的关系，可通过举反例用排除法找到答案，也可用中值定理直接证明详解 1 设，所以 f(x)在(0，)内有界，由
20、于 可见 f(x)在(0，)内可导但 不存在， ，排除(A)，(D) 又设 f(x)sinx，则 f(x)在(0，)内有界且可导，进一步排除(C)故应选(B) 详解 2 直接证明(B)正确用反证法，由题设 存在，设，不妨设 A0，则对于 存在 x0，当 xX 时，有 即 ，可见在区间X，x上应用拉格朗日中值定理，有 f(x)f(X)f()(xX)f(X) ， 于是 ，与题设 f(x)存(0，)上有界矛盾，故 【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 A【试题解析】 分析 本题相当于证明不等式 f(x)x(或 f(x)x)，可考虑采用辅助函数 F(x)f(x)x，再根据其导数的性质进行判断
21、即可详解 令 F(x)f(x)x，则有 F(x)f(x)1f(x)f(1) ，由于 f(x)严格单调减少，因此当 x(1 ，1)时，F(x)0；当 x(1，1)时，F(x)0；且在 x1处 F(1)0可见 F(x)在 x1 处取极大值，即在(1，1)和(1，1)内均有 F(x)F(1)0，也即 f(x)x故应选(A)【知识模块】 一元函数微分学二、填空题13 【正确答案】 应填(1，6)【试题解析】 详解可见f“(x)为零及不存在的点为：x1，x0 在 x0 的左右两侧 f“(x)不变号，在x1 的左右两侧 f“(x)变号，即凹凸性不一致，故(1，6)为拐点 评注 一般不说 x1 为拐点，拐点
22、应为曲线 yf(x)上的点，所以本题答案应填(1， 6)，而不是 x1【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 应填 【试题解析】 分析 幂指函数的导数可转化为指数函数的导数或用对数求导法详解 因为 ye 2xlnx，所以 yx 2x(2lnx2)，令 y0，得驻点为 又y“ x2x(2lnx2) 2x 2x. ，故 为 yx 2x的极小值点，此时 。当 x 时，y(x) 0；x 时，y(x)0，故 y 在 上递减，在 上递增，而 y(1)1，y(00)所以，yx 2x 在区间(0，1上的最小值为 。【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 应填(，1)或( ，1 【试题解析】 分
23、析 判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由求出二阶导数，再由确定 x 的取值范围详解令又 xt 33t1 单调增，在 t0 时，x(，1)所以当x(，1 时，曲线向上凸【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 应填【试题解析】 分析 按定义求极限后确定渐近线详解故此曲线的渐近线方程为评注 由于故此曲线无水平渐近线和铅直渐近线求曲线的渐近线是常考的题型，一般应先通过极限确定铅直、水平和斜渐近线【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 应填 y2x1【试题解析】 分析 直接按公式求斜渐近线方程的两个系数即可详解故所求的渐近线方程为 y2x1评注若极限 不存在，则应进一步考察是否存在，
24、也即在 x 轴的负方向和正方向是否存在斜渐近线【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 应填【试题解析】 分析 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可详解 因为 于是所求斜渐近线方程为【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 应填【试题解析】 分析 直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可详解故曲线的水平渐近线方程为【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 应填 y2x【试题解析】 分析 曲线只有斜渐近线。直接计算即可详解 函数的定义域是全体实数，于是不存在垂直渐近线又 ，故不存在水平渐近线，而，所以曲线的斜渐近线为 y2x评注 求曲线的斜渐近线几乎每年均有考题，属
25、基本题型【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 应填 【试题解析】 分析 本题相当于先求 yf(x) 在点 x0 处的 n 阶导数值 f(n)(0)，则麦克劳林公式中 xn 项的系数是 详解 因为 y2 xln2，y“ 2 x(ln2)2，y (n)2 x(ln2)”，于是有 y(n)(0)(ln2) n，故麦克劳林公式中 xn 项的系数是。评注yf(x) 在点 x0 处的泰勒展开式，即麦克劳林公式为 【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 应填 。【试题解析】 分析 直接利用弧长公式计算详解。故应填。评注 此题用弧长公式计算时，先要求变限积分的导数，这也是一个重要的考点【知识
26、模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 应填(1，0)【试题解析】 详解 由 yx 2x，得 y2x1，y“ 2利用曲率公式 ，即(2x1) 21，故 x0 或1又已知 x0，所以 x1，y0【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 f(x) 1x2(xt 2)et2 dtx 21x2et2 dt 1x2tet2 dt f(x)2x 1x2eet2 dt2x 3ex4 2x3ex4 2x 1x2et2 dt 令 f(x)0，得 x0，x1因为当 x1 时，f(x)0：当 0x1 时，f(x) 0；当1x0 时，f(x)0 ；当x1 时，
27、f(x)0 所以，f(x)的单调递减区间为(，1)，(0，1)；f(x)的单调递增区间为(1，0) ，(1 ，)；极小值为 f(1) f(1)0，极大值为 f(0) 10(0t)e t2 【试题解析】 分析 求变限积分 f(x)的一阶导数，利用其符号判断极值并求单调区间评注 也可用二阶导数的符号判断极值点，此题属基本题型【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 (1)f(x ) sintdt，设 tu，则有 f(x) sin(u)du sinu duf(x)， 故 f(x)是以 为周期的周期函数(2)因为 sinx在( ，) 上连续且周期为 ，故只需在0，上讨论其值域，因为 ，令f(x)
28、0，得 ，且 所以 f(x)的最小值是 ，最大值是 ，故 f(x)的值域是 【试题解析】 利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性，利用求函数最值的方法讨论函数的值域【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 由 ，得 t1，即(x，y) ，或(1，1)由 ，得 t0，即(x，y) 当 t 1 时， ，函数取到极小值为 当t1 时， ，函数取到极大值为 1；当 t0 时， ，此时 ，曲线在区间 上是凸的；当 t0 时， ，此时 ，曲线在区间 上是凹的由于 ，所以曲线 yy(x) 的拐点为 。【试题解析】 由参数方程确定函数的一、二阶导数，利用各阶导数的符号可求得【知识模块】 一元函数微分
29、学27 【正确答案】 所给函数的定义域为(，1)(1 ，) ，令 y 0，得驻点 x0 及 x3 ，令 y“0，得 x0列表121 讨论如下：由此可知：(1)函数的单调增加区间为(，1)和(3，)，单凋减少区间为(1，3)；极小值为 (2)函数图形在区间(，0)内是(向上)凸的，在区间(0，1)、(1，)内是(向上)凹的，拐点为(0 ，0) (3）由知，x1 是函数图形的铅直渐近线；又 知，无水平渐近线，进一步因为故 yx2 是函数图形的斜渐近线【试题解析】 如果极限642*不存在我们一般不能就下结论水平渐近线或斜渐近线不存在，此时应进一步检验：643*是否存在，即在左侧和右侧是否存在渐近线【
30、知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 设 ，则 f(x)在 上连续 由，得 f(x)在 内的唯一驻点 由于当 x(0，x 0)时，f(x) 0，当 x 时，f(x)0，所以 f(x)在0，x 0上单调减少，在 上单调增加 因此 x0 是 f(x)在内的唯一最小值点，最小值为 y0f(x 0) 又因，故在 内，f(x)的取值范围为y 0，0) 故当k y0，0) ，即 ky 0 或 k0 时，原方程在 内没有根； 当 ky 0 时，原方程在 内有唯一根 x0； 当是 k(y0，0) 时，原方程在(0，x 0)和 内各恰有一根，即原方程在 内恰有两个不同的根【试题解析】 分析 令 ，讨论方
31、程 f(x)k 是在开区间内根的个数，实质上只需研究函数 f(x)在 上图形的特点，f(x)k在开区间 内根的个数即为直线 yk 与曲线 yf(x) 在区间 内交点的个数评注 讨论方程的根、函数的零点、曲线的交点属于同类题型，是涉及导数应用的综合颢。府予以高度重视【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 设 (x)ln 4x4lnx4xk，则有不难看出，x1 是 (x)的驻点当 0x1 时，(x)0，即 (x)单调减少；当 x1 时，(x)0，即 (x)单调增加，故 (1)4k 为函数 (x)的最小值当 k4，即 4k0 时，(x)0 无实根，即两条曲线无交点；当 k4，即 4k0 时，
32、(x)0 有唯一实根，即两条曲线只有一个交点；当 k4，即 4k0 时，由于故 (x)0 有两个实根，分别位于(0，1) 与(1，)内，即两条曲线有两个交点【试题解析】 分析 问题等价于讨论方程 ln4z4lnx4xk 0 有几个不同的实根，本题相当于一函数作图题，通过单调性、极值的讨论即可确定实根的个数(与x 轴交点的个数) 评注 讨论曲线与坐标轴的交点，在构造辅助函数时，应尽量将待分析的参数分离开来，使得求导后不含参数，便于求驻点坐标【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 (1)令 (x)x x1f(t)dt则 (x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 (0)(1)
33、0由罗尔定理知，存在 x0(0，1)，使 (x0)0，即 (x 0)x 0f(x(0) x01f(t)dt0， 也即 x0f(x0) x01f(x)dx (2)令 F(x)xf(x) x1(t)dt，则 F(x) xf(x)f(z)f(x)2f(x) xf(x)0， 即 F(x)在(0，1)内严格单调增加，从而 F(x)0 的点 xx 0 必唯一，故(1)中的 x0 是唯一的【试题解析】 分析(1)要证的结论相当于存在 x0(0，1)，使 x0f(x0)x 00f(x)dx，可考虑对辅助函数 (x)xf(x) x 00f(x)dt 在闭区间0，1上用连续函数的介值定理，但 (0)(1)0 是否
34、成立?仅由 f(x)是非负连续函数无法推证，可改用微分中值定理，(x)是某函数导数的结果，这只需令 (x)xf(x) x1(t)dt， 然后积分得 (x) x1f(t)dt，再对其应用罗尔定理即可 (2)唯一性一般用单调性证明，而这只需证明 (x)定号即可 评注 本题表面上用连续函数的介值定理，而实际上要用微分叶中值定理，其关键又存于构造合适的辅助函数本题先令 (x)xf(x) x1f(t)df， 用介值定理无法证明，再改令 (x)xf(x) x1f(t)dt， 然后通过不定积分，得到所需辅助函数 (x)x x1f(t)dt，这种处理技巧值得注意【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】
35、(1)令 F(x)f(x) 1x，则 F(x)在01 上连续，且 F(0)10，F(1)10，于是由介值定理知，存在 (0，1) 使得 F()0，即 f()1 (2) 在0 ，和，1上对 f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点 (0，)，(，1)，使得于是【试题解析】 (1)显然用闭区间上连续函数的介值定理；(2)为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用(1)的结论【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 构造辅助函数 F(x)f(x)g(x) ，由题设有 F(a)F(b) 0不妨设存在 x1，x 2(a，b) ，x 1x 2，使得 f(x1)M ，g(x 2)
36、M ，于是 F(x1)f(x 1)g(x 1)0，F(x 2)g(x 2)0，从而存在 cx1，x 2675*(a，b)，使F(c)0在区间 a，c，c ，b上分别利用罗尔定理知，存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得 F(1)F( 2)0再对 F(x)在区间 1， 2上应用罗尔定理，知存在(1， 2)676*(a，b)，有 F“()0，即 f“()g“()【试题解析】 需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令 F(x)f(x)g(x)，则问题转化为证明 F“()0，只需对 F(x)用罗尔定理，大键是找到 F(x)的端点函数值相等的区间( 特别是两个一阶导数同时为零的
37、点 )，而利用 F(a)F(b)0，若能再找一点 c(a，b)，使得 F(c)0，则在区间a，c，c， b上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对 F(x)用罗尔定理即可【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 详解 在 x0 处，将 f(x)按泰勒公式展开，得其中 介于 0 与 x 之间，x1，1分别令 x1 和 x1，并根据已知条件，得两式相减，可得 f(1)f( 2)6 由 f(x)的连续性，f(x) 在闭区间 1，) 2上有最大值和最小值，设它们分别为 M 和 m，则有 再由连续函数的介值定理知，至少存在一点 1， 2 (1，1)，使 【试题解析】 分析 一般来说，题设条件
38、具有二阶或二阶以上的导数时，往往需要应用泰勒公式本题题设具有三阶连续导数，从要证的结论可以看出，应展开到三阶导数项评注 1 一般地，用泰勒公式展开有 F(x)f(x 0)f(x 0)(xx 0)其中在 x0 与 x 之间应特别注意的是， 随 x 的变化而变化本题中，当 x 分别取1 和 1 时，对应 应分别取1 和 2，并不是固定不变的，否则就会出现错误评注 2 在泰勒展开式中，x 0 的选取也是值得注意的一般来说，取 x0 为一阶导数值是已知的点(如：本例中 f(0)0)或隐含已知的点，比如极值点、最值点等【知识模块】 一元函数微分学34 【正确答案】 (1)对任意 xa，a， 其中 在 0
39、 与 x 之间(2) 因为f“(x)在a，a上连续，故对任意的 xa，a ，有 mf“(x)M，其中 M，m 分别为 f“(x)在 a，a上的最大、最小值，于是有 即因此，由 f“(x)在a， a上的连续性知，至少存在一点a ，a，使 即 a3f“()3 a af(x)dx【试题解析】 分析 (1)直接套公式即可， f(x)的带拉格朗日余项的”阶麦克劳林公式为： (2)的证明显然要用到(1)的结果，由于 f(x)在区间a，a(a 0)上具有二阶连续导数，因此 f“(x)一定存在最大和最小值，若对 进行估值后，发现介于 f“(x)的最大值和最小值之间，则用介值定理即可完成证明评注 本题证明过程中
40、得到的 与 x 有关，因此在(2)的证明过程中，干万不要误以为是常数，而由积分直接得于是推出a3f“()3 a af(x)dx这样表面上似乎证明了结论，而实际上是错误的有时为了明确起见，可将 记为 (x)【知识模块】 一元函数微分学35 【正确答案】 (1)设 M 及 m 分别是函数 f(x)在区间a，b上的最大值及最小值，则 m(ba) abf(x)M(b a) 即有 ，根据闭区间上连续函数的介值定理知：存在 a，b，使得 ，即 abf(x)dxf()(b a)。 (2)由(1)的结论，可知至少存在一点 2，3，使 23(x)dx()(32)() 。又由 (2) 23(x)dx()知，2存
41、1， 2上对导函数 (x)应用拉格朗日中值定理，有 【知识模块】 一元函数微分学36 【正确答案】 (1)作辅助函数 (x)f(x) f(a) 。易验证(x)在 a，b上满足罗尔定理的条件可得在 (a，b) 内至少有一点 ，使得 ()0，即 所以 f(b)f(a)f()(ba)(2)任取x0(0，)，则函数 f(x)满足：在闭区间0，x 0上连续，开区间(0，x 0)内可导， 由拉格朗日中值定理可得：存在 (x0)(0，x 0) (0，)，使得即 又由于 ，对式两边取 x00 时的极限有 故 f (0)存在，且 f (0)A【试题解析】 已经连续两年考查教材上的重要结论，这一点值得关注另外，注
42、意利用前一问提供的信息，此题应想到证明(2)要用拉格朗日中值定理【知识模块】 一元函数微分学37 【正确答案】 令 ，由题知 F(0)F(1) 0，F(x)在上用拉格朗日中值定理， F(x)在 上利用拉格朗日中值定理， 两式相加得 f()f() 2 2【试题解析】 分析 这是一个双介值的证明题，构造辅助函数，用两次拉格朗日中值定理评注 一般来说，对双介值问题，若两个介值有关联同时用两次中值定理，若两个介值无关联时用一次中值定理后，再用一次中值定理【知识模块】 一元函数微分学38 【正确答案】 (1)方法一 令 F(x)f(x) x，则 F(1)f(1) 10由 f(x)为奇函数知 f(0)0，
43、因此 F(0) f(0)00，即 F(x)在区间 0，1上满足罗尔定理条件，于是存在点 (0，1)，使得 F()0，即 f()1。 方法二 由 f(x)为奇函数知 f(0)0，且易知 f(x)在区间0，1上满足拉格朗日中值定理条件，因此存在点 (0，1)，使得 (2)令 G(x)e xf(x)1由(1) 知 G()0又已知 f(x)为奇函数，故 f(x)为偶函数，于是 f()f()1，故 G()0因此G(x)在区间，上满足罗尔定理条件，于是存在点 (，) (1，1)，使 G()0，即 ef()1e .f“()0 因为 e0，所以 f“()f()1【试题解析】 需要证明的结论与导数有关，自然联想
44、到用微分中值定理第(2)问中的辅助函数可通过记 g(x)f(x) ，解微分方程 g(x)g(x) 1 并分离常数得到通解 exg(x)1C，因此可作辅助函数 G(x)e xf(x)1 【知识模块】 一元函数微分学39 【正确答案】 (1)令 (x)(1x)ln 2(1x)x 2，则有 (0)0，且 (x)ln 2(1x) 2ln(1x) 2x，(0) 0 x(0，1)“(x)“(0)0(x)(0) ，x(0，1)所以 (z)0，从而 (x)0，即 (1x)ln 2(1x) 2，(2)令，则有 ， 由(1)知，f(x)0( 当 x(0，1)，于是推知在(0，1)内，f(x)单调减少又 f(x)在区间(0，1上连续，且 ，故当 x(0，1) 时， ，不等式
