1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 19 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 由曲线 y= (0x)与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积为 ( )2 抛物线 y2=2x 与直线 y=x 一 4 所围成的图形的面积为 ( )3 曲线 上相应于 x 从 3 到 8 的一段弧的长度为 ( )（A）（B）（C） 9（D）64 曲线 y=ln x 与 x 轴及直线 ，x=e 所围成的图形的面积是 ( )二、填空题5 6 定积分中值定理的条件是 f(x)在a ，b上连续，结论是_7 曲线 y=x2 与直线 y=x+2 所围成的平面图形的面积为 _8
2、 9 10 11 12 曲线 9y2=4x3 上从 x=0 到 x=1 的一段弧的长度为 _13 抛物线 y2=ax(a0)与 x=1 所围面积为 ，则 a=_14 由曲线 y=x3，y=0 及 x=1 所围图形绕 x 轴旋转一周得到的旋转体的体积为_15 函数 y=ln x 在区间1， e上的平均值为_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 f(x)在0，1上有连续导数，且 f(0)=0，证明：存在 0，1，使得 f()=2 01f(x)dx17 设 f(x)在a，b上连续且严格单调增加，证明：(a+b) abf(x)dx2 abxf(x)bx18 设函数 f(x)在a，b
3、上连续，且 f(a)=0，试证明：19 设 f(x)，g(x) 在0 ，1上的导数连续，且 f(0)=0，f(x)0，g(x)0证明：对任何a0，1，有 0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dxf(a)g(1)20 设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且 0f(x)cosxdx=0f(x)sin xdx=0求证：存在 (0，) ，使得 f()=021 设函数 f(x)在a，b上有连续导数，在(a，b) 内二阶可导，且 f(a)=f(b)=0， abf(x)dx=0，证明： (1) 在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()=f()； (2)在(a，b)内至少存在一点 ,，使得
4、 f“()=f()22 设 f(x)在a，b上连续，且 g(x)0，证明：存在一点 a，b，使 abf(x)g(x)dx=f()abg(x)dx23 设 f(x)在区间一 a，a(a0)上具有二阶连续导数，f(0)=0 (1)写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明：在一 a，a上存在 ,使 a3f“()=3-aaf(x)dx24 设 f(x)在0，1上连续， (0，1)内可导，且 f(0).f(1)0，f(1)+ 01f(x)dx=0，试证：至少存在一点 (0，1)，使 f()=f()25 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导， 证明：至少存在一点 (0，1)，使
5、f()=(1-1)f()26 设 f(x)在a，b上连续且 f(x)0，证明：27 设 ab，证明：不等式 abf(x)g(x)dx2abf2(x)dxabg2(x)dx28 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，且满足 abf(t)dtaxg(t)dt,xa,b)abf(t)dt=abg(t)dt，证明： abxf(x)dxabxg(x)dx29 设 f(x)= x(0，1，定义 A(x)=0xf(t)dt，令30 铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击人木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击人木板 1 cm如果铁锤每次打击铁钉所作的功相等，问铁锤击第二次时，铁钉又击入多少?
6、31 设一锥形贮水池，深 15 m，口径 20 m，盛满水，今以吸筒将水吸尽，问作多少功?32 设有一半径为 R，中心角为 的圆弧形细棒，其线密度为常数 ，在圆心处有一质量为 m 的质点 M，试求这细棒对质点 M 的引力考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 19 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 选积分变量为 y(如图 132)，两条曲线的交点【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 B【试题解析
7、】 ，ln x0；当 x1，e 时 ln x0所以面积 A=【知识模块】 一元函数积分学二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 在a，b上至少存在一点，使 abf(x)dx=f()(b 一 a)，ab【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 4.5【试题解析】 平面图形面积 S=-12(x+2 一 x2)dx= 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 ，则 x=t2+2，dx=2tdt，【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】
8、一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 1【试题解析】 y 2=ax 与 x=1 所围面积所以【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 该旋转体积 V=01(x3)2dx=【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析】 平均值【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 因为 f(x)在0，1上连续，所以，f(x)在0，1上有最小值和最大值，设为 m，M，即有 x1，x 20，1，使 f(x1
9、)=m，f(x 2)=M由中值定理，对任意 x0，1，存在 (0， x)，使 f(x)=f(x)一 f(0)=f()x，于是有 f(x 1)x=mxf(x)=f(x)一 f(0)=f()xMx=f(x2)x，积分得 f(x1)01xdx01f(x)dxf(x2)01xdx因为 f(x)存0，1上连续，由介值定理，必有 x1，x 2 0，1，或 x2，x 1 0，1，使f()=201f(x)dx【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 令 F(t)=(a+t)atdx 一 2atxf(x)dx，则 F(t)= atf(x)dx+(a+t)f(t)一 2tf(t) =atf(x)dx 一(t
10、-a)f(t)= atf(x)dx-atf(t)dx =atf(x)f(t)dx 因为 axt，且 f(x)在a ，b上严格单调增加，所以 f(x)一 f(t)0，于是有 F(t)= atf(x)一 f(t)dx0， 即 F(t)单调递减，又 F(a)=0，所以 F(b)0，即 (a+b) abf(x)dx 一 2abxf(x)dx0， 即(a+b) abf(x)dx2 abxf(x)dx【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 因为 f2(x)=f(x)一 f(a)2=axf(t)dt2，而 ( axf(t)dt)2(x-a)ax(f(t)2dt(x-a)ab(f(t)2dt (施瓦茨
11、不等式)，所以 abf2(x)dxab(a 一 a)dxabf(t)2dt= abf(x)2dx【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 令 F(a)=0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dx-f(a)g(1)，a 0，1，则 F(a)=g(a)f(a)一 f(a)g(1)=f(a)g(a)一 g(1) 因为 x0，1时，f(x)0 ，g(x)0 ，即函数f(x)，g(x) 在0，1上单调递增，又 a1，所以 F(a)=f(a)g(a)一 g(1)0， 即函数F(a)在0，1上单调递减，又 F(1)=01g(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dx 一 f(1)g(1) =0
12、1g(x)f(x)dx-f(1)g(1)=g(1)f(1)一 g(0)f(0)一 f(1)g(1) =一 f(0)g(0)=0， 所以，F(a)F(1)=0，即 0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dxf(a)g(1)0， 即 0a g(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dxf(a)g(1)【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 首先证明 f(x)在(0 ，)内必有零点 因为在(0，)内 f(x)连续，且sin x 0，所以，若无零点，则恒有 f(x)0 或 f(x)0，从而有 0f(x)sin xdx0 或0f(x)sin xdx0，与题设矛盾 所以，f(x)在(0，)
13、内必有零点 下面证明 f(x)在(0，) 内零点不唯一，即至少有两个零点 用反证法假设 f(x)在(0，)内只有一个零点 x0，则 f(x)在(0,x 0)和(x 0，)上取不同的符号(且不等于零)，否则与 0f(x)sin xdx=0 矛盾这样，函数 sin(x-x0)f(x)在(0，x 0)和(x 0，)上取相同的符号，即恒正或恒负 那么有： 0f(x)sin(xx0)dx0但是 0f(x)sin(x-x0)dx=0f(x)(sinxcosx0-cosxsinx0)dx =cos x00f(x)sin xdx-sin x00f(x)cos xdx=0 从而矛盾，所以 f(x)在(0，) 内
14、至少有两个零点于是由罗尔定理即得存在 (0，)，使得 f()=0【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 (1)由加强型的积分中值定理知，至少存在一点 c(a，b)，使得设 G(x)=e-xf(x)，则 G(x)在a， b上连续，在(a，b)内可导，且 G(a)=G(b)=G(c)=0，G(x)=e -xf(x)一 e-xf(x)=e-xf(x)一 f(x)由罗尔定理知，分别存在 1(a，c)和 2(c，b)，使得 G(1)=G(2)=0，从而 f(1)=f(2)，f( 2)=f(2) (2)设 F(x)=exf(x)一 f(x)，则 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 F(
15、1)=F(2)=0，则 F(x)=e xf“(x)一 f(x)+exf(x)一 f(x)=exf”(x)一 f(x) 对 F(x)在区间 1， 2上应用罗尔定理，即存在 (1， 2)，使得F()=0，故有 f“()=f()，且 i(i=1，2)【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 因 f(x)在a ，b上连续，故 mf(x)M 因为 g(x)0，mg(x)f(x)g(x)Mg(x)， mabg(x)dxabf(x)g(x)dxMabg(x)dx，【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 (1)对任意 x一 a，a，因为 f“(x)在-a,a上连续，由最值定理：mf“(x)M，x
16、 -a,a? mx2f“()x2Mx2，由介值定理，存在一 a，a，使得 f“()=【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 令 F(x)= f(1)+f01f(x)dx=f(1)+f(c)=0，c (0，1)， 由此可知f(c)0，否则 f(1)=0,与题设 f(0)f(1)0 矛盾，不妨设 f(c)0，则 f(1)0，f(0)0 由连续函数的零点定理知存在 a(0，c)，b (c ，1)，使 f(a)=a(b)=0，即 F(a)=F(b)，由罗尔定理可知，存在 (a，b)，使 F()=0，即 故 f()=f()【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 令 F(x)=xe-xf(
17、x)，因 f(1)= xe1-xf(x)dx=e1-f()，F(1)=e-1f(1)=e-f()=F()，故在，1 0，1上，对 F(x)运用罗尔定理，可得 (，1) (0，1)，使 f()=(1 一 -1)f()【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 构造辅助函数 F(t)= atf(x)g(x)dx2 一 atf2(x)dxatg2(x)dx， 则 F(a)=0，且 F(t)=2atf(x)g(x)dx.f(t)g(t)-f2(t)atg2dx=g2(t)atf2(x)dx =at2f(x)g(x)f(t)g(t)一 f2(t)g2(
18、x)一 g2(t)f2(x)dx =-atf(t)g(x)一 g(t)f(x)2dx0， 所以 F(b)0，即 abf(x)g(x)dx2abf2(x)dxabg2(x)dx0，即 abf(x)g(x)dx2abf2(x)dxabg2(x)dx【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 当 xa， b)时， axf(t)dtaxg(t)dt axf(t)一 g(t)dt0， abf(t)dt=abg(t)dt abf(t)一 g(t)dt=0， abxf(x)dxabxg(x)dx abxf(x)一 g(x)dx0，令G(x)=axf(t)一 g(t)dt，则 G(x)=f(x)一 g(x
19、)，于是 abxf(x)一 g(x)dx=abxd(axf(t)一g(t)dt) xaxf(t)-g(t)dt|ab-abaxf(t)-g(t)dtdx =一 abaxf(t)一 g(t)dtdx0(G(x)=axf(t)一 g(t)dt0)，即 abf(x)-g(x)dx0,即 abxf(x)dxabxg(x)dx【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 当 t(0，1 时，(1)当x(0，1时，由可得当 x(0，1时，由式可得 A(x) 故【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 由题设知阻力 f=kx(其中 k 为比例系数)，设第二次锤击时击入了Lcm，则第一次锤击时所作的功
20、 W1=01kxdx= ，第二次锤击时所作的功因 W1=W2，故有 L2+2L=1，解方程得 L=，舍去负值，则得 (cm)【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 如图 134 建立坐标系，取 x 为积分变量，0，15为积分区间，由图上数据可知 由此可知锥型贮水池在 x 处截面半径为 典型区间x，x+dx 上所对应之体积元素【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案】 如图 135 建立坐标系，并把质点 M 放在极点 O，取 作为积分变量， 为积分区间，典型区间为， +d所对应的圆弧形细棒小段可近似看作质点，其质量为 Rd，与 M 相距为 R，它对于质点 M 的引力F 的大小为 在 x 轴上的投影， 从而得出由对称性可知，F y=0【知识模块】 一元函数积分学
