1、2007 年江苏专转本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 若 ，则 ( )（A）（B）（C） 2（D）42 已知当 x0 时，x 2ln(1+x2)是 sinnx 的高阶无穷小，而 sinnx 又是 1cosx 的高阶无穷小，则正整数 n 等于 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）43 设函数 f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)，则方程 f(x)=0 的实根个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）44 设函数 f(x)的一个原函数为 sin2x，则f (2x)dx= ( )（A）cos4x+C（B）（C） 2cos4
2、x+C（D）sin4x+C5 设 f(x)=1x2sint2dt，则 f(x)= ( )（A）sinx 4（B） 2xsinx2（C） 2xcosx2（D）2xsinx 46 下列级数收敛的是 ( )二、填空题7 设函数 在点 x=0 处连续，则常数 k=_8 若直线 y=5x+m 是曲线 y=x2+3x+2 的一条切线，则常数 m=_9 定积分 的值为_10 已知 a，b 均为单位向量，且 a.b= ，则以向量 a，b 为邻边的平行四边形的面积为_11 设 z= ，则全微分 dz=_12 设 y=C1e2x+C2e3x 为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为_三、解答题解答时应
3、写出推理、演算步骤。13 求极限14 设函数 y=y(x)由方程 ex-ey=xy 确定，求15 求不定积分x 2e-xdx16 计算定积分17 设 z=f(2x+3y，xy)其中厂具有二阶连续偏导数，求18 求微分方程 xy-y=2007x2 满足初始条件 y x=1=2008 的特解19 求过点(1 ，2，3) 且垂直于直线 的平面方程20 计算二重积分 ，其中 D=(x，y)x 2+y22x，y0四、综合题21 设平面图形由曲线 y=1x2(x0)及两坐标轴围成 (1)求该平面图形绕 x 轴旋转所形成的旋转体的体积； (2)求常数 a 的值，使直线 y=a 将该平面图形分成面积相等的两部
4、分22 设函数 f(x)=ax3+bx2+cx-9 具有如下性质： (1)在点 x=-1 的左侧临近单减减少； (2)在点 x=-1 的右侧临近单调增加； (3)其图形在点(1，2)的两侧凹凸性发生改变试确定常数 a，b，c 的值五、证明题23 设 ba 0，证明： abdyybf(x)e2x+ydx=ab(e3x-e2x+a)f(x)dx24 求证：当 x0 时，(x 2-1)lnx(x1)22007 年江苏专转本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 C【试题解析】 由已知 ，则 n4；又
5、sinnx 是 1-cosx 的高阶无穷小，即 ，则 n2，所以 n=3，选 C3 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(x)是四次多项式，故 f(x)=0 是三次方程，有 3 个实根4 【正确答案】 A【试题解析】 根据原函数的定义，f(x)=F(x)=(sin2x)=2cos2x ，f(x)=-4sin2x，f(2x)=-4sin2x，所以f(2x)dx=-4sin4xdx=cos4x+C5 【正确答案】 D【试题解析】 利用变上限积分求导法则，f(x)=sinx 4(x2)=2xsinx46 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A，很明显是一个发散级数(指数函数的增长速度高于幂函数增长
6、速度).B 项用比较法通项 发散对于C，由于 不存在，根据定义可知该级数发散，可排除 D 项，根据莱布尼兹判别法，a b= ，a n0，a n 单调下降，且 ，收敛，故此级数条件收敛二、填空题7 【正确答案】 ln2【试题解析】 由连续的定义，所以 k=ln28 【正确答案】 1【试题解析】 由已知，切线斜率 k=y=2x+3=5，解得 x=1，代入曲线方程得y=6，即切点坐标为(1，6)，代入切线方程 y=5x+m，解得 m=19 【正确答案】 2【试题解析】 根据定积分的对称性，原积分变为：【注】定积分利用定积分几何意义求，表示所围图形的面积10 【正确答案】 【试题解析】 根据向量叉积，
7、以向量 a，b 为邻边的平行四边形的面积为S= a.b sin=a.b ，由已知，a=1，b=1，a.b=a. b cos= ，所以 cos= ，可得 sin= ，可得平行四边形面积为 a.b=a.b sin= 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 y“-5y+6y=0【试题解析】 由二阶常系数齐次线性微分方程通解 y=C1e2x+C2e3y，可知特征根为1=2， 2=3，对应特征方程为：(-2)(-3)=0，即 2-5+6=0，所以对应微分方程为y“-5y+6y=0三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 原式= 【注】本题先用等价无穷小量替换后用洛比达法则，
8、使式子简便14 【正确答案】 根据隐函数求导，方程两边分别对 x 求导，得 ex-eyy=yy ，又x=0 时， y=0，所以 对方程 ex-ey.y=yy两边再对 x 求导，得，e xey(y)2-eyy“=y+y+xy“把 x=0，y=0 ，y(0)=1 代入得，15 【正确答案】 用分部积分法 x 2e-xdx=-x2d(e-x)=-x2e-x+2xe-xdx=-x2e-x-2xd(e-x) =-x2e-x-2xe-x+2e-xdx=-x2e-x2xe-x-2e-x+C16 【正确答案】 利用定积分换元法，被积函数中有 ，令 x=sint，则17 【正确答案】 根据复合函数求偏导数法则，
9、为方便表示令 u=2x+3y，v=xy，18 【正确答案】 将原方程化为： ，则这是一阶线性非齐次常微分方程标准形式，通解为 又 y x=1=2008，代入，解得 C=1，所以所求特解为 y=x(2007x+1)19 【正确答案】 由题意所求平面的法向量为：n=(1,1,1)(2,-1,1)= =(2,1,-3)根据点法式，所求平面方程为 2(x-1)+(y-2)-3(z-3)=0，即2x+y-3z+5=020 【正确答案】 利用极坐标系下求二重积分，如图根据 D，画出积分域，四、综合题21 【正确答案】 如图，利用定积分几何意义 (1)该平面绕 x 轴旋转所形成旋转体体积为 V=01(1-x
10、2)2dx=01(1-2x2+x4)dx= (2)由题意，直线 y=a 将平面分成面积相等的两部分22 【正确答案】 由题意，得 f(-1)=0，驻点为(-1，0)，f“(1)=0，点(1，0)为拐点，f(1)=2，分别代入方程 f(x)=3ax2+2bx+c，f“(x)=6ax+2b，f(x)=ax 3+bx2+cx-9 得五、证明题23 【正确答案】 等式左边交换积分次序，得 abdyybf(x)e2x+ydx=abdxaxf(x)e2x+ydy =abf(x)e2xdxxxeydy=abf(x)e2x(exea)dx=abf(x)(e3xe2x+a)dx=右边24 【正确答案】 令 F(x)=lnx- ，则 F(x)在(0，+)上连续又 F(x)= 0，所以 F(x)在(0 ，+) 上单调递增，于是，(1)当 0x1 时，F(x)F(1)=0，即 lnx ，又 x210,所以(x 2-1)lnx(x-1) 2(2)当 x1 时，F(x)F(1)=0，即 lnx ，又 x2-10，乘以不等式两边，得 (x2-1)lnx(x-1)2综合(1)(2)，当x0 时，总有(x 2-1)lnx(x-1)2
