1、2008 年陕西省专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 设函数 在 x=0 处连续，则常数 a 与 b 的值为( )（A）a=0 b=一 3（B） a=一 3 b=0（C） a=0 b=3（D）2 当 x0 时，函数 eax 一 1 与 是等价无穷小量，则常数 a 的值为( )（A）2（B）（C）一 2（D）3 设函数 f(x)的一个原函数为 e-x，则不定积分 等于( )（A）lnlnx+C（B） x+C（C）（D）4 在空间直角坐标系中，平面 1：2x+y+z+7=0 与平面 ：x+2yz+4=0 的夹角为 ( )（A）（B）（
2、C）（D）5 设积分区域 D 是由直线 y=x，y=0 及 所围成的闭区域，则二重积的值为( ) （A）0（B） 1（C） 2（D）3二、填空题6 设函数 F(x)的定义域为-1，1，则函数 g(x)=f(x+1)+f(sinx)的定义域为_7 设函数 f(x)在 x=1 处可导， ，则 f(1)的值为_8 函数 f(x)=x4 一 2x2 在0，2上的最小值为_9 设函数 f(x)=x0e1xrf(x)dx，则 01exf(x)dx 的值为 _10 设由方程 ex 一 xyz=1 所确定的隐函数为 z=z(x，y)，则 =_三、综合题11 求极限12 设由参数方程 ,所确定的函数为 y=y(
3、x)，求13 已知xf(x)dx=arcsinx+C ，求14 计算定积分15 设函数 其中 f， 具有二阶连续导数，求16 求函数 f(x，y，z)=xy 2+yz2+zx2 在点(1，1，0) 处的梯度17 计算二重积分 ，其中区域 D 是由直线 y=x，y=0 及曲线 x2+y2=4 围成第一象限的部分18 计算对坐标的曲线部分 I=Lxln(x+y)一 4ydx+x-yln(x+y)一 eydy 其中 L 是以点A(1，0)，B(3 ，0)，C(2， 1)为顶点的三角形闭区域的正向边界曲线.19 求微分方程 y一 2y一 3y=3e2x 的通解20 求幂级数 的收敛域及和函数，并求级数
4、 的和四、证明题21 计算抛物面 z=4 一 x2 一 y2 与平面 z=0 围成立体的体积22 设函数 f(x)在0，1上有二阶导数，且 f(0)=f(1)=0，又 F(x)=x2f(x)，证明：至少有一点 (0，1)，使得 F()=02008 年陕西省专升本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 A【试题解析】 由题意可知，函数 y=f(x)在 x=0 处连续，又因则 3+b 一 0=f(0)=a，所以 a=0，b=一 32 【正确答案】 B【试题解析】 3 【正确答案】 D【试题解析】 由题意可知，函数 f(x)的一个原函
5、数为 e-x，4 【正确答案】 C【试题解析】 由题意可得，平面 1 的法向量 n1=2，1，1，平面 2 的法向量n2=1， 2，一 1，5 【正确答案】 B【试题解析】 如图所示，积分区域 D 可表示为二、填空题6 【正确答案】 -2，0【试题解析】 由函数 f(x)的定义域为 一 1，1，则 解之得一2x0，所以函数的定义域为一 2，07 【正确答案】 4【试题解析】 由题意可得， 则 f(1)=48 【正确答案】 一 1【试题解析】 由函数 f(x)=x42x2，则 f(x)=4x3 一 4x，当 0x1 时，f(x) 0，则函数 f(x)=x42x2 单调减少；当 1x2 时，f(x
6、)0，则函数 f(x)=x4 一 2x2 单调增加，所以函数 f(x)=x4 一 2x2 的最小值为 f(1)=一 19 【正确答案】 e 一 1【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 令 F(x，y， z)=ez 一 xyz 一 1，则 Fz=ez 一 xy，F x=一 yz，所以三、综合题11 【正确答案】 12 【正确答案】 13 【正确答案】 原方程两边对 x 求导数，得14 【正确答案】 15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 设 D 是三角形区域，如图 P=xln(x+y)一 4y，Q=x yln(x+y)一 ey由格林公式，得19
7、【正确答案】 齐次方程所对应的特征方程为 r2 一 2r 一 3=0，即(r 一 3)(r+1)=0特征根为 r1=3，r 2=一 1 对应的齐次方程的通解为 Y(x)=C1e3x+C2e-x 令 y*(x)一Ae2x，则 y*=2Ae2x，y *=4Ae2x，代入原方程并消去 e2x，得 4A 一 4A 一 3A=3 解得A=一 1 所以 y*(x)=一 e2x 从而微分方程通解为 y(x)=C1e3x+C2e-x 一 e2x20 【正确答案】 四、证明题21 【正确答案】 立体在 xOy 面的投影区域为 D=(x，y)x 2+y24所以，所求立体体积为22 【正确答案】 由条件知，F(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，并且 F(0)=F(1)=0，由罗尔定理知，至少存在一点 (0，1) 使 F()=0 又 F(x)=2xf(x)+x 2f(x)由于f(x)在0，1 上有二阶导数，所以 F(x)在0，上连续，在(0，)内可导，并且 F(0)=F()=0由罗尔定理知，至少有一点 (0，)c(0，1)，使 F()=0
