1、2011 年江苏专转本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 当 x0 时，函数 f(x)=ex-x-1 是函数 g(x)=x2 的 ( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶无穷小（D）等价无穷小2 设函数 f(x)在点 x0 处可导，且 则 f(x0)= ( )（A）-4（B） -2（C） 2（D）43 若点(1 ，-2)是曲线 y=ax3-bx2 的拐点，则 ( )（A）a=1 ，b=3（B） a=-3，b=-1（C） a=-1，b=-3（D）a=4 ，b=64 设 z=f(x，y)为由方程 z3-3yz+3x=8 所确定的函数
2、，则 = ( )（A）（B）（C） -2（D）25 若二重分 f(x，y)dxdy 可化为二次积分 01dyy+12f(x，y)dx，则积分域 D 可表示为 ( )（A）(x，y)0x1，x-1y1（B） (x，y)1x2 ，x-1y1（C） (x，y)0x1 ，x-1y0（D）(x，y)1x2，0yx-1)6 若函数 f(x)= 的幂级数展开式为 f(x)= (-2x2)，则系数 an=( )二、填空题7 已知 =e2,则 k=_8 设函数 (x)=0x2ln(1+x)dt，则 “(1)=_9 a=1，b=4，a.b=2，则ab _10 设函数 y=arctan ，则 dy x=1=_11
3、定积分 (x3+1)sin2xdx 的值为_12 幂级数 的收敛域为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 求极限 14 设函数 y=y(x)由参数方程 所确定，求15 设 f(x)的一个原函数为 x2 sin x，求不定积分16 计算定积分17 求通过 x 轴与直线 的平面方程18 设 z=xf( ，y)，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，求19 计算二重积分 其中 D 是由曲线 直线 y=-x 及 y 轴所围成的平面闭区域20 已知函数 y=(x+1)ex 是一阶线性微分方程 y+2y=f(x)的解，求二阶常系数线性微分方程 y“+3y+2y=f(x)的通解四、综合题21 设 问常数
4、 a 为何值时，(1)x=0 是函数 f(x)的连续点?(2)x=0 是函数 f(x)的可去间断点?(3)x=0 是函数 f(x)的跳跃间断点?22 设函数 f(x)满足微分方程 xf(x)-2f(x)=-(a+1)x(其中 a 为正常数)，且 f(1)=1，由曲线 y=f(x)(x1)与直线 x=1，y=0 所围成的平面图形记为 D。已知 D 的面积为 (1)求函数 f(x)的表达式； (2)求平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积Vx; (3)求平面图形 D 绕 Y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积 Vy五、证明题23 证明：方程 xln(1+x2)=2 有且仅有一个小于 2
5、的正实根24 证明：当 x0 时，x 2011+20102011x2011 年江苏专转本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ，所以函数 f(x)是 g(x)的同阶无穷小注：本题是概念考查题，关于无穷小，分为三种：商阶无穷小，同阶无穷小，低阶无穷小2 【正确答案】 B【试题解析】 根据导数的定义，f(x)=所以 f(x0)=-2，即答案为 B3 【正确答案】 A【试题解析】 y=3ax 2-2bxy“=6ax-2b因为拐点存在，即(1，-2)，所以 y“(1)=6a-2b=0将(1 ， -2)代入 y=a
6、x3-bx2，得 a-b=-2，联立方程 解得a=1，b=3，故选 A4 【正确答案】 B【试题解析】 根据题意：有 F(x，y，z)=z 3-3yz+3x-8，由上式得：将题目中(0，0)代入 F(x，t，z)，得 z=2，即答案为 B5 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意，0y1，则作图 因为y+1x2，所以 则作图 将两图合并，得即得积分区域 D(x， y)1x2，0yx-1)答案为D6 【正确答案】 D【试题解析】 展开 f(x)得二、填空题7 【正确答案】 -1【试题解析】 因为 所以 e-24=e2，则-2k=2 k=-1所以答案为 -18 【正确答案】 2+2ln2【试题解析
7、】 本题考查变上限积分求导根据题意得：(x)= 0x2ln(1+t)dx=ln(1+x2)(x 2) =2xln(1+x2)，进一步求导 “(x)=(2x)ln(1+x2)+2x(ln(1+x)2) 代入 1，得 ”(x)=2ln(1+12)+ =2ln2+2 即答案为2+2ln29 【正确答案】 【试题解析】 根据题意：因为 cos= 所以 =则ab=absin=10 【正确答案】 【试题解析】 根据题意： 则，代入 x=1，得11 【正确答案】 【试题解析】 根据题意得：因为 x3 是有函数，12 【正确答案】 -1，1)【试题解析】 根据幂级数的比值法 因此，收敛域为-1，1)三、解答题
8、解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 4【试题解析】 根据题意得： 即答案为 414 【正确答案】 【试题解析】 本题考察隐函数和参数方程求导根据题意：因为 x=t2+t，所以=2t+1同理对 ey+y=t2，求导得15 【正确答案】 -cosx+xsinx+C【试题解析】 因为 x2sinx 是 f(x)的一个原函数，所以 f(x)=(x2sinx)=2xsinx+x2cosx，所以 =(2sinx+xcosx)dx=2sinxdx+xcosxdx=-2cosx+xdsinx(分部积分)=2cos x+xsinsinxdx=-2cosx+xsinx+cosx+C=-2cosx+xS
9、inx+C 即答案为-2cosx+xsinx+C16 【正确答案】 【试题解析】 据题换元法 令 则 x+1=t2，即 x=t2-1对 x 求导，得 =2t，即 dx=2tdt变换积分区间 x=0 时，t=1，(-1 舍弃 ) x=3 时，t=2，(-2 舍弃) 则17 【正确答案】 y-3z=0【试题解析】 利用一般式可求出平面方程 假设平面方程为 Ax+By+Cz+D=0则向量为(O，B，C)，因为平面经过 ，则(O，B，C) 与该直线方向向量(2，3， 1)垂直，即 3B+C=0，则有 C=-3B，将 C=-3B 代入 Ax+By+Cz+D=0，得By-3Bz=0因为平面过 X 轴，则有
10、 A=D=0，则 By+Cz=0，联立 得B=1，C=-3，则平面方程为 y-3z=018 【正确答案】 【试题解析】 根据 z=19 【正确答案】 【试题解析】 根据题意：20 【正确答案】 y=C 1e-x+C2e-2x+ ，【试题解析】 根据题意得 y=ex+(x+1)ex=(x+2)ex f(x)=y+2y=(x+2)ex+2.(x+1)ex=(3x+4)ex，则 y“+3y+2y=(3x+4)ex 求上式特征方程 r2+3r+2=0，得 r1=-1，r 2=-2，所以，y“+3y+2y=(3x+4)e x 的通解为 y=C1e-x+C2e-2x，因为 =1不是特征根，所以原方程的一个
11、特解为 y=(Ax+B)ex，即 y=(Ax+A+B)exy“=(Ax+2A+B)ex，上述=式代入 y“+3y+2y=(3x+4)ex 得(Ax+2A+B)e x+3(Ax+A+B)ex+2(Ax+B)ex=(3x+4)ex，化解为 6Ax+5A+6B=3x+4解得 所以所求方程通解为 y=C1e-x 十 C2e-2x+四、综合题21 【正确答案】 (1)a=2 (2)a=-1 (3)a-1，且 a2【试题解析】 求 f(x)极限当 x0 时，(1)若要 x=0 是 f(x)的连续点，则左右报限相同，即*=* *=f(0)=1，则 ，得 2a2-4=2a解得 a=-1，a=2 ，因为 f(0
12、)=1，所以 a=2，(z=-1 舍弃)即 a=2 时，x=0 是 f(x)的连续点(2)若要 x=0 是 f(x)的可去间断点，则 *=*f(0)，同理，解得 a=-1，a=2，因为 f(x)0，所以 a=-1，(a=2 舍弃)即 a=-1 时，x=0 是 f(x)的可去间断点(3)若要 x=0 是跳跃间断点，则 *f(0)，所以可知 a-1，a2，即 a-1，且 a2时，x=0 是跳跃间断点22 【正确答案】 (1)f(x)=-ax 2+(a+1)x 【试题解析】 (1)根据题意得 f(x)- f(x)=-(a+1)所以已知 f(1)=1，则 cx2+(a+1)xx=1=1，则 c=-a，
13、即有 f(x)=-ax2+(a+1)x，令 -ax 2+(a+1)x=0 得 x=0，x=1+ ，则有 S=01-ax2+(a+1)xdx= 解上式得 a=1，易知曲线与横轴交点为 x=2，则 f(x)=-x2+2x (2)根据上述计算，因为 f(x)=-x2+x，所以 (3)同理，因为 f(x)=-x2+2x，所以 x= 则 式中的f(x)即为 y，所以五、证明题23 【正确答案】 令 f(x)=xln(1+x2)-2 求导得 f(x)=ln(1+x2)+ 因为 ln(1+x2)0， 所以 f(x)0所以 f(x)是 函数 因为 f(0)=-20，f(2)=2ln520，所以 xln(1+x2)=2 有且仅有 1 个小于 2 的正实根命题得证24 【正确答案】 令 f(x)=x2011-2011x+2010，求导： f(x)=2011x2010-2011，令 f(x)=0，即 2011x2010-2011=0x=1,x=1 为驻点对 f(x)再求导 f“(x)=2011.2010.x 2009，将 x=1 代入得 f“(x)=201120101=40421100，则根据判定极值第二充分条件可知f(1)=0 为极小值 由单峰原理，知 f(1)=0 为 f(x)的最小值，即 f(x)0，则有x2011+20102011x0，即 x 2011+20102011x命题得证
