1、2015 年江苏专转本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 设 则当 x1 时( )（A）f(x)是比 g(x)高阶的无穷小（B） f(x)是比 g(x)低阶的无穷小（C） f(x)与 g(x)是同阶但不等价的无穷小（D）f(x)与 g(x)是等价无穷小2 由方程 ey+ln(x+y)=x 所确定的隐函数 y=f(x)的导数 ( )3 Z=eusin v，而 u=xy，v=x+y，则（A）e xyysin(x+y)+cos(x+y)（B） exyxsin(x+y)一 cos(x+y)（C） exyysin(x+y)一 cos(x+y)（D
2、）e xyxsin(x+y)+cos(x+y)4 5 已知矩阵 则，r(A)=( )（A）0（B） 1（C） 2（D）36 下列无穷级数中，发散的是( )二、填空题7 设 f(x)= 则 f(ln2)=_8 曲线 f(x)=x3 一 2x2+1，则拐点坐标为_9 参数方程 处的切线方程为_10 设 则其全微分为_11 在 x=1 处连续，则 a=_12 设行列式 则 x=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 计算定积分14 求由曲线 y=x2， x=2 所围成的平面图形的面积15 微分方程 满足初始条件 y|x=0=0 时的特解16 己知三阶矩阵 B=2I，其中 I 为单位矩阵，AX=
3、B，求矩阵 X17 计算定积分18 设 z= ，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 具有连续导数，求19 计算二重积分 ，其中 D 为由曲线 与直线 y=x 及直线 y=2所围成的平面闭区域20 已知 y=C1ex+C2e2x+xe3x 是二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+py+qy=f(x)的通解，试求该微分方程四、综合题21 设 D 是由曲线 y=x2 与直线 y=ax(a0) 所围成的平面图形，已知 D 分别绕两坐标轴旋转一周所形成的旋转体的体积相等，试求： (1)常数 x 的值； (2)平面图形 D的面积22 设函数 在点 x=1 处取得极值 ，试求：(1)常数 a，b 的值；(
4、2)曲线 y=f(x)的凹凸区间与拐点；(3)曲线 y=f(x)的渐近线五、证明题23 证明：当 0x1 时，(x 一 2)ln(1 一 x)2x24 设 z=z(x，y)是由方程 y+z=xf(y2 一 z2)所确定的函数，其中 f 为可导函数，证明：2015 年江苏专转本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C2 【正确答案】 C3 【正确答案】 A4 【正确答案】 D5 【正确答案】 C6 【正确答案】 D二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 因为 所以8 【正确答案】 9 【正确答案】 10 【正确答案】 11 【
5、正确答案】 212 【正确答案】 2三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 14 【正确答案】 15 【正确答案】 微分方程可化为 即 xexdx=tanydy，两端积分可得(x 一1)ex+C1=一 ln|cosy|，将 y|x=0=0 代入，得一 1+C1=0，即 C1=1故所求特解为ln|cosy|=ex-xex-116 【正确答案】 |A|=-2，故 A 可逆，由 AX=B=2I，可得 X=2A-1，利用初等变换求A-1。17 【正确答案】 因为奇函数在对称区间积分为零，18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 因为 r1=1，r 2=2，即 1，2
6、 是 r2+pr+q=0 的两个实数根，所以 p=-3，q=2 ，又因为 y-x=x.e3x 是方程的解 y(*)=e 3x+3xe3x，(y*)“=3e3x+3e3x+9xe3x=6e3x+9xe3x 将(y*)，(y*)“ 代入方程可得 f(x)=3e3x+2xe3x， 所以方程为：y“-3y+2y=(2x+3)e 3x四、综合题21 【正确答案】 由题意知22 【正确答案】 因为 f(x)在 x=1 处取的极值即f(x)=0所以 b=0 令 f“(x)=0，得 x=2所以y=0 是 f(x)是水平渐近线， 所以 k=0 无斜渐近线五、证明题23 【正确答案】 令 f(x)=(x 一 2)ln(1-x)-2x，又因为 f(0)=0， 所以 f(x)0，即当 0x1 时，f(x)递增 又因为 f(0)=0，所以当 0x1 时，f(x)0， 即当0x1 时，(x 一 2)ln(1-x)2x24 【正确答案】 令 F(x，y，z)=xf 一 yz， F x=f，F y=2xyf一 1，
