1、随机变量及其分布练习试卷 2 及答案与解析一、单项选择题每题 1 分。每题的备选项中，只有 1 个符合题意。1 等式 Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)成立的条件是( )。（A）X 与 Y 同分布（B） X 与 Y 同均值（C） X 与 Y 相互独立（D）X 与 Y 同方差2 设 X 与 Y 为相互独立的随机变量，且 Var(X)=4，Var(Y)=9，则随机变量 Z=2X-Y 的标准差为( ) 。（A）1（B）（C）（D）53 设随机变量 X 服从 =2的泊松分布，则 P(X2)=( )。（A）e -2（B） 3e-2（C） 5e-2（D）7e -24 设某二项分布的均值等于 3，
2、方差等于 2.7，则二项分布参数 P=( )。（A）0.1（B） 0.3（C） 0.7（D）0.95 标准正态随机变量 X 取一点 a 的概率 P(X=a)为( )。（A）1（B） 0（C） (a)（D）(-a)6 设备的维修时间 X 服从指数分布，则随机变量 X 可能取值的范围为( )。（A）(-，+)（B） 0，+)（C） (-，0（D）0 ，17 设 X1，X2，X27 是来自均匀分布 U(0，3)的个样本，则样本均值 X 的近似分布为 ( ) 。8 某种型号的电阻服从均值为 1000 欧姆，标准差为 50 欧姆的正态分布，现随机抽取一个样本量为 100 的样本，则样本均值的标准差为(
3、)欧姆。（A）5（B） 10（C） 50（D）1009 离散随机变量 X 取 xi 的概率为 pi (i=1，2，n)，则 pi 应满足的条件为( )。（A）pi0（B） p1+p2+pn=1（C） pi0（D）pi0 且 p1+p2 +pn=110 下列概率分布为离散分布的是( )。11 关于概率密度函数 p(x)，应强调的是( ) 。（A）对应图上的纵轴原是“单位长度上的频率” ，由于频率的稳定性，可用概率代替频率，从而纵轴就成为“单位长度上的概率”（B）它最后形成的曲线是概率曲线（C）它最后形成的曲线可位于 X 轴的上方，也可位于 X 轴下方（D）曲线与 X 轴所夹面积小于等于 112
4、两个相互独立的随机变量 X 与 Y 的标准差分别为 (X)=2和 (Y)=1，则其差的标准差 (X-Y)=( )。（A）1（B）（C）（D）313 随机变量 X 的均值为 5，标准差也为 5，随机变量 Y 的均值为 9，方差为 16，则 V=2X +3Y 的均值与方差分别为( )。（A）22；164（B） 22；244（C） 37；164（D）37；24414 下列不属于离散分布的是( )。（A）二项分布（B）泊松分布（C）正态分布（D）超几何分布15 某打字员一分钟内打错字的个数 X 是一个随机变量，服从 =0.5的泊松分布，该打字员一分钟内未打错一个字的概率是( )。（A）0.2231（B
5、） 0.3679（C） 0.4493（D）0.606516 ( )情况下会遇到超几何分布。（A）在一定时间内或一定区域内或一特定单位内的前提下进行计点（B）从一个有限总体中进行不放回抽样（C）在重复进行某一个试验（D）进行次数无限大的不放回抽样试验17 设 XN(1，4) ，则 P(0X2)可表示为( ) 。（A）2(0.5)-1（B） 1-2(0.5)（C） 2u0.5-1（D）1-2u 0.5二、多项选择题每题 2 分。每题的备选项中，有 2 个或 2 个以上符合题意，至少有 1 个错项。错选，本题不得分；少选，所选的每个选基得 0.5 分。18 下列关于两个相互独立的随机变量 X1 和
6、X2 的标准差和方差表达式，正确的是( )。（A）(X1+X2)=（B） (X1+X2)=（C） (X1-X2)=(X1)+(X2)（D）Var(X1-X2)=Var(X1)+Var(X2)（E）Var(X1+X2)=19 一个 U 形装配件由 A、B、C 三部分组成，如图 1.2-1 所示。其中 A 的长度 XA服从均值为 10，标准差为 0.1 的正态分布，B 与 C 的长度 XB 与 XC 均服从均值为2，标准差为 0.05 的正态分布(单位均为毫米)，若 XA、X B、X C 相互独立，则长度XD 的均值与标准差分别为( )。（A）E(X D)=6（B） B(XD)=8（C） (XD)
7、=0.1225（D）(X D)=0.1414（E）(X D)=0.32420 下述各项随机变量中，服从泊松分布的是( )。（A）一批铸件中每个铸件上的缺陷数（B）一台机器的维修时间（C）一本书中一页上的错别字数（D）某个城市每天因交通事故死亡的人数（E）在一定时间内，其操作系统发生的故障数21 设随机变量 XN(， 2)，下列关系式中正确的有( )。（A）P(X+)=P(X 一 )（B） P(X+2)P(X +2)（C） P(X-2)P(X+3)（D）P(X-)P(X+)（E）P(X+)+P(X-)=122 u是标准正态分布 N(0，1)的 分位数，则有( )。（A）u 0.250（B） u0
8、.35u 0.36（C） u0.45+u0.55=0（D）u 0.5=0（E）u 0.45+u0.55=123 设 X1，X2，Xn 是简单随机样本，则有( )。（A）X1，X2，Xn 相互独立（B） X1，X2，Xn 有相同分布（C） X1，X2，Xn 彼此相等（D）X1 与(X1+X2)/2 同分布（E）X1 与 X2 的均值相等24 随机变量的分布所包含的内容有( )。（A）随机变量可能取哪些值，或在哪个区间上取值（B）随机变量取这些值的概率是多少，或在任一区间上取值的概率是多少（C）随机变量的取值频率是多少（D）随机变量在任一区间的取值频率是多少（E）随机变量在某一确定区间上取值的概率
9、是多少25 下列随机事件中，随机变量为连续型随机变量的有( )。（A）新产品在未来市场的占有率（B）电灯的使用寿命（C）某页书上的印刷错误（D）一批产品中不合格品的个数（E）一台车床在一天内发生的故障数26 下列随机事件中，随机变量为离散型随机变量的有( )。（A）一顾客在超市等候付款的时间（B）一天内进入某超市的顾客数（C）一批产品中合格品的个数（D）某公司客服中心一天接到的电话数（E）某台机床的使用寿命27 连续随机变量所对应的概率密度函数的不同形式反映了质量特性总体上的差别，这些差别包括( ) 。（A）位置不同（B）散布不同（C）大小不同（D）形状不同（E）形式不同28 设 X 的分布列
10、为 ，概率 P(2X5)=( )。（A）p2+p3+p4+p5（B） p2+p3+p4（C） P(X5)-P(X2)（D）1-P(X2)-P(X 4)（E）P(X4)-P(X2)29 下列关于随机变量特征数的描述有误的是( )。（A）均值用来表示分布的中心位置用 E(X)表示（B）方差用来表示分布的散布大小，用 Var(X)表示（C）标准差是方差的平方，实际中更常用标准差来表示分布的散布的大小（D）离均值越近的值发生的可能性越大（E）对于独立的随机变量，其方差和标准差具有可加性30 设 X1 和 X2 分别表示掷两颗骰子各出现的点数，则有( )。（A）X1+X2=2X2（B） E(X1)+E(
11、X2)=2E(X1)（C） Var(X1)+Var(X2)=2Var(X1)（D）Var(X1X2)=4Var(X1)（E）E(X1)+E(X2)=3E(X1)31 甲乙两种牌子的手表，它们的日走时差分别为 X 与 Y(单位：秒)，已知 X 与 Y分别有如表 1.2-1 所示的分布列(概率函数)，则下列结论正确的有( )。（A）E(X)=E(Y)（B） E(X)E(Y)（C） Var(X)Var(Y)（D）Var(X)Var(Y)（E）Var(X)=Var(Y)三、综合分析题每题 2 分，由单选和多选组成。错选，本题不得分；少选，所选的每个选项得 0.5分。31 对某公司生产的产品进行检查，假
12、设某一铸件上的缺陷数 x 服从泊松分布，每个铸件上的平均缺陷数是 0.5，则：32 一个铸件上无缺陷的概率为( )。（A）0.607（B） 0.670（C） 0.706（D）0.76033 一个铸件上仅有一个缺陷的概率为( )。（A）0.303（B） 0.335（C） 0.380（D）0.53534 一个铸件上有多于一个缺陷的概率为( )。（A）0.080（B） 0.085（C） 0.090（D）0.095随机变量及其分布练习试卷 2 答案与解析一、单项选择题每题 1 分。每题的备选项中，只有 1 个符合题意。1 【正确答案】 C【试题解析】 若随机变量 X1 与 X2 独立，则有 Var(X
13、1X2)=Var(X1)+Var(X2)，所以当 X 与 Y 相互独立时，等式 Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)成立。【知识模块】 随机变量及其分布2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 Var(Z)=Var(2X-Y)=4Var(X)+Var(Y)=44+9=25，所以随机变量 Z=2X-Y 的标准差为：(Z)=Var(Z) =5。【知识模块】 随机变量及其分布3 【正确答案】 C【试题解析】 泊松分布的概率函数为 P(X=x)= ，x=0，1，2，则：【知识模块】 随机变量及其分布4 【正确答案】 A【试题解析】 此二项分布记为 b(n，p) ，则 E(X)=np，Var(X)
14、=np(1-p)，根据题意，代入数据可得 np=3，np(1-p)=2.7，所以 p=0.1。【知识模块】 随机变量及其分布5 【正确答案】 B【试题解析】 因为对于标准正态随机变量有 P(Ua)=P(Ua)(a) ，所以 P(X=a)=0。【知识模块】 随机变量及其分布6 【正确答案】 B【试题解析】 服从指数分布的随机变量 X 仅取非负实数，即仅在 0，) 上取值。【知识模块】 随机变量及其分布7 【正确答案】 D【试题解析】 根据中心极限定理可知样本均值近似服从 N(， ),其中 和 2 分别为总体的均值和方差。均匀分布 U(0，3)的均值和方差分别为 E(X)= =1.5， ，所以 。
15、【知识模块】 随机变量及其分布8 【正确答案】 A【试题解析】 根据中心极限定理可知正态分布 N(， 2)的样本均值 服从正态分布 N(， )，所以样本均值的标准差为 =5(欧姆) 。【知识模块】 随机变量及其分布9 【正确答案】 D【试题解析】 离散随机变量分布的概率满足以下两个条件：pi0，p1 +p2+pn=1。【知识模块】 随机变量及其分布10 【正确答案】 D【试题解析】 根据离散随机变量的分布应满足的条件：P(Xi)0(i=1，2，3，4，5)且 P (X1)+P(X2)+P(X3)+P(X4)+P(X5)=1。【知识模块】 随机变量及其分布11 【正确答案】 A【试题解析】 对于
16、概率密度函数 p(x)应强调的是：图上的纵轴原是 “单位长度上的频率”，由于频率的稳定性，可用概率代替频率，从而纵轴就成为“单位长度上的概率”，即概率密度，最后形成的曲线称为概率密度曲线。概率密度曲线一定位于x 轴的上方，它与 x 轴围成面积恰好为 1。【知识模块】 随机变量及其分布12 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 随机变量及其分布13 【正确答案】 D【试题解析】 由题意，E(X)=5，Var(X)=25，E(Y)=9，Var(Y)=16；则 E(V)=E(2X+ 3Y)=2E(X)+3E(Y)=25+39=37，Var(2X+3Y)=4Var(X)+9Var(Y)=425+
17、 916=100+144=244。【知识模块】 随机变量及其分布14 【正确答案】 C【试题解析】 正态分布是连续型分布。【知识模块】 随机变量及其分布15 【正确答案】 D【试题解析】 由题可知，xP(0.5)即 P(X=k)= ，因此打字员一分钟内未打错一个字的概率为：P(X=0)=e -0.5=0.6065。【知识模块】 随机变量及其分布16 【正确答案】 B【试题解析】 从一个有限总体中进行不放回抽样常会遇到超几何分布；A 项在一定时间内或一定区域内或一特定单位内的前提下进行计点会遇到泊松分布；C 项重复进行某一个试验会遇到二项分布；D 项进行次数无限大的不放回抽样试验会遇到正态分布。
18、【知识模块】 随机变量及其分布17 【正确答案】 A【试题解析】 由于 XN(1，4)正态分布，则 U=(X-1)/2N(0，1)，所以 P(0X2)=(2-1)/2-(0-1/2)=(0.5)-(-0.5)=(0.5)-1-(0.5)=2(0.5)-1【知识模块】 随机变量及其分布二、多项选择题每题 2 分。每题的备选项中，有 2 个或 2 个以上符合题意，至少有 1 个错项。错选，本题不得分；少选，所选的每个选基得 0.5 分。18 【正确答案】 B,D【试题解析】 X1 和 X2 相互独立时，有【知识模块】 随机变量及其分布19 【正确答案】 A,C【试题解析】 根据题意，X D=XA=
19、XB=XC，因为 XA、X B、X C 相互独立，则 E(XD)=E(XA-XB-XC)=E(XA)-E(XB)-E(XC)=10-2-2=6；(X D)=(XA -XB-XC)=0.1225。【知识模块】 随机变量及其分布20 【正确答案】 C,D,E【试题解析】 泊松分布总与计点过程相关联，并且计点是在一定时间内、或一定区域内、或一特定单位内的前提下进行的。【知识模块】 随机变量及其分布21 【正确答案】 A,C【试题解析】 因为 XN(， 2)，所以 N(0，1)，则 P(X+)-P =1-(1)，而 P(X-)=P =(-1)=1-(1)，即 P(x+)=P(X-) ；同理可得P(X+
20、2)=1-(2)，P(x +2)=(2)；P(X-2)=(-2)=1-(2)，P(X+3)=1-(3)，而 (2)(3)，所以 P(X-2) P(X+3)。【知识模块】 随机变量及其分布22 【正确答案】 B,C,D【试题解析】 由标准正态分布的对称性：u 1-=-u，有 u0.5 =-u0.5，u 0.5=0； u0.45+u0.55=0。u 又是关于 的一个单调递增函数，因此u0.35u 0.36。【知识模块】 随机变量及其分布23 【正确答案】 A,B,E【试题解析】 满足随机性和独立性的样本称为简单随机样本，简称随机样本。随机样本 X1，X2，Xn 可以看做 n 个相互独立的、同分布的
21、随机变量，每一个的分布与总体分布相同。【知识模块】 随机变量及其分布24 【正确答案】 A,B【试题解析】 随机变量的取值是随机的，但内在是有规律性的，这个规律性可以用分布来描述。随机变量的分布包含两方面内容：X 可能取哪些值，或在哪个区间上取值；X 取这些值的概率各是多少，或 X 在任一区间上取值的概率是多少。【知识模块】 随机变量及其分布25 【正确答案】 A,B【试题解析】 连续型随机变量的所有可能取值充满数轴上某一区间(a，b) 。【知识模块】 随机变量及其分布26 【正确答案】 B,C,D【试题解析】 离散型随机变量的取值是数轴上有限个点或可列个点。【知识模块】 随机变量及其分布27
22、 【正确答案】 A,B,D【知识模块】 随机变量及其分布28 【正确答案】 B,C,D,E【试题解析】 对于离散型随机变量，当 2X5 时，X 的取值为 2，3，4。因此P(2X5)=p2+p3+p4=P(X5)-P(X2)=P(X4)-P(X2)=1-P(X4)-P(X2)。【知识模块】 随机变量及其分布29 【正确答案】 C,D,E【试题解析】 C 项，方差是标准差的平方；D 项，事件发生的可能性大小需要根据具体的分布来确定；E 项，在条件成立时只有方差具有可加性，而标准差不具有可加性。【知识模块】 随机变量及其分布30 【正确答案】 B,C【试题解析】 由于点数分布的一致性，每一颗骰子的
23、均值和标准差相等，所以 E(X1)+E(X2)=2E(X1)，Var(X1)+Var(X2)=Var(2X1)=4Var(X1)【知识模块】 随机变量及其分布31 【正确答案】 A,D【试题解析】 E(X)=-10.1+00.8+10.1=0； E(Y)=-20.1+(-1)0.2+00.4+10.2+20.1=0； Var(X)=(-1-0) 20.1+(0-0)20.8+(1-0)20.1=0.2； Var(Y)=(-2-0)20.1+(-1-0)20.2+(0-0)20.4+(1-0)20.2+(2-0)20.1=1.2。【知识模块】 随机变量及其分布三、综合分析题每题 2 分，由单选和多选组成。错选，本题不得分；少选，所选的每个选项得 0.5分。【知识模块】 随机变量及其分布32 【正确答案】 A【试题解析】 铸件上的缺陷数 X 服从泊松分布，即 ，又泊松分布的均值等于 ，因此 。【知识模块】 随机变量及其分布33 【正确答案】 A【试题解析】 铸件上仅有一个缺陷的概率为 P(X=1)，由 可知，。【知识模块】 随机变量及其分布34 【正确答案】 C【试题解析】 铸件上有多于一个缺陷的概率为：P(X1)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0.607-0.303=0.090【知识模块】 随机变量及其分布
