1、专升本高等数学二（多元函数积分学）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题1 化二重积分 f(x，y)dxdy 为极坐标下的二次积分，其中 D 由 y=x2 及 y=x 围成，正确的是( )（A） 0 d0tanf(rcos，rsin)rdr（B） 0 d0tansecf(rcos，rsin)rdr（C） 0 d0tansecf(rcos，rsin)rdr（D） 0 d0tancscf(rcos，rsin)rdr2 若 D=(x，y)a 2x2+y24a2，(a 0)，则二重积分 dxdy= ( )（A）3a 2（B） a3（C） a2（D） a33 区域 D 为( ) 时， dxdy=2（A）x
2、1，y1（B） x+y1（C） 0x1， 0y2x（D）0x 2+y224 设 L 为抛物线 x 一 1=y2 一 2y 上从点 A(1，0)到点 B(1，2)的一段弧，则 L(ey+x)dx+(xey 一 2y)dy= ( )（A）e 一 1（B） e+1（C） e2 一 5（D）e 2+55 设 L 是 y=x2 上从点(0，0)到点(1，1)之间的有向弧，则 L(x3 一 y)dx 一(x+siny)dy= ( )6 已知闭曲线 L：x 2+y2=4，则对弧长的曲线积分 (4x2+4y2 一 6)ds= ( )（A）40（B） 12（C） 6（D）4二、填空题7 比较积分 I1= (x+
3、y)7d与 I2= (x+y)8d的大小，其中 D 由 Ox 轴、Oy 轴及直线 x+y=1 围成，则_8 设 =4，这里 a0，则 a=_9 设 I= 交换积分次序，则有 I=_10 化二次积分 I=02dx 为极坐标下的二次积分，则 I=_11 设 D：x1，y1，且 f(x，y)+2d=_ 12 设 a0， f(x)=g(x)= 而 D 表示全平面，则 I= f(x)g(yx)dxdy=_13 若 L 为圆周曲线 x2+y2=a2，方向为逆时针方向，则曲线积分 2xdy 一3ydx=_14 设 L 为 x2+y2=1 逆时针方向，则 xy2dyx 2ydx=_15 设 L：y=x 2(0
4、x )，则 Lxds=_16 交换积分次序 12dx xf(x，y)dy17 求 (x3+y)dxdy，其中 D 是由曲线 y=x2 与直线 y=1 所围成的有界平面区域18 计算 xyd，其中 D 由 x 轴，y+x=1 和 yx=1 围成19 计算 (x2 一 y2)dxdy，D 是闭合区域：0ysinx，0x 20 计算 sin(x2+y2)d，其中 D： x2+y221 计算 (xey+x2y2)dxdy，其中 D 是由 y=x2，y=4x 2，y=1 围成22 计算二重积分 ，其中 D 是由 y2=2x，x=1 所围成的平面区域23 计算 ，其中 D：x 2+y2x24 计算 L(e
5、xsiny2y)dx+(e xcosy2)dy，其中 L 为上半圆周 (xa) 2+y2=a2(y0)沿逆时针方向25 计算对坐标的曲线积分 I=L(x+y 一 1)dx+(xy+1)dy，其中 L 是曲线 y=sinx 上由点 0(0,0)到点 A( ，1)的一段弧26 计算 (xy)ds，其中 L 为连接点 O(0，0) ，A(1 ，0)，B(0，1) 的闭折线专升本高等数学二（多元函数积分学）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 由题意可得直角坐标系下的 D 可表示为： 0x1，x 2yx，令x=rcos，y=rsin，则 0 ，0rtansec，则二重积分
6、可表示为f(rcos，rsin)rdr，故选 C【知识模块】 多元函数积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 =02da2ar2dr= a3【知识模块】 多元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 由二重积分的性质知 =SD=2，可求得 A 的面积 SD=4，B 的面积SD=22 =2，C 的面积 SD=21 =1，D 的面积 SD= =2，故选 B【知识模块】 多元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 =ey，所以积分与路径无关，原积分路径可以改为沿着 x=1 从 A点到 B 点，则 L(ey+x)dx+(xey2y)dy= 02(ey 一 2y)dy=(ey 一 y2) 02=e
7、2 一 5，故选C【知识模块】 多元函数积分学5 【正确答案】 B【试题解析】 =一 1，所以积分与路径无关，则可把积分看成先 所以积分L(x3y)dx(x+siny)dy= 01x3dx+01(1+siny)dy= (1+cos1) 一(0+1)=cos1【知识模块】 多元函数积分学6 【正确答案】 A【试题解析】 令 x=2cost，y=2sint ，则 (4x2+4y2 一 6)ds=0210 dt=0220dt=40【知识模块】 多元函数积分学二、填空题7 【正确答案】 I 1I2【试题解析】 在区域 D 内可知 x+y1，所以在区域 D 上(x+y) 7(xy) 8(等号仅在x+y=
8、1 处取得 )，故 (x+y)7d (x+y)8d，即 I1I2【知识模块】 多元函数积分学8 【正确答案】 a=4【试题解析】 =a=4，所以 a=4【知识模块】 多元函数积分学9 【正确答案】 04dxx24xf(x，y)dy【试题解析】 I= 016dy 的积分区域为 D=(x ，y)0y16， =(x，y)0x4，x 2y4x，所以 I=04dxx24xf(x，y)dy【知识模块】 多元函数积分学10 【正确答案】 I= d02seccosrrdr【试题解析】 因积分区域 D=(x，y)0x2，xy =(x，y)1tan，0rcos2)= (，r) ，0r2sec，所以I= d02se
9、ccosrRdr【知识模块】 多元函数积分学11 【正确答案】 9【试题解析】 =1+222=9【知识模块】 多元函数积分学12 【正确答案】 a 2【试题解析】 I= f(x)g(yx)dxdy= a2dxdy=a201dxxx1 dy=a201(x+1)一 xdx=a2【知识模块】 多元函数积分学13 【正确答案】 5a 2【试题解析】 L 围成的平面图形的面积 SD=a2，则 5dxdy=5SD=5a2【知识模块】 多元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 xy2dy 一 x2ydx= y2 一(x 2)dxdy=02d01r2rdr= 【知识模块】 多元函数积分学15 【正确答案
10、】 【试题解析】 由于 L 由方程 y=x2(0x )给出，因此 Lxds= 【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 因积分区域 D=(x ，y)1x2 ， yx=(x，y) x2+(x，y)1y2，yx2，所以原式= +12dyy2f(x，y)dx【知识模块】 多元函数积分学17 【正确答案】 由于积分区域 D 关于 y 轴对称，因此 x3dxdy=0记 D1 为区域 D 在第一象限的部分，则 =201dxx21ydy=01(1x 4)dx= 所以 (x3+y)dxdy= 【知识模块】 多元函数积分学18 【正确答案】 如图 55 所示，D：0y1，y 一 1x1一 y，故 xyd=
11、 01dyy1 0(xy)dx 01dy01 yxydx=01 dy 01 dy=01y(y1) 2dy= 【知识模块】 多元函数积分学19 【正确答案】 (x2 一 y2)dxdy=0dx0sinx(x2 一 y2)dy=0(x2sinx 一 sin3x)dx=(x 2cosx) 0+20xcosxdx 一 0sinxdx 0cos2xdcosx=2 一 【知识模块】 多元函数积分学20 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学21 【正确答案】 因 D 关于 y 轴对称，且 xey 是关于 x 的奇函数，x 2y2 是关于 x 的偶函数，则I= xeydxdy x2y2dxdy=0 x2
12、y2dxdy，I=2 01dy x2y2dx=201y2 dy=【知识模块】 多元函数积分学22 【正确答案】 如图 58 所示，D=(x ，y) x1，所以，【知识模块】 多元函数积分学23 【正确答案】 改写积分区域 D 为：(x )2 y2 如图 511 所示，因积分区域为圆，故选择极坐标系下计算二重积分【知识模块】 多元函数积分学24 【正确答案】 取 L1 为 y=0(x：02a) ，则 L+L1 为封闭曲线，其所围区域 D 为半圆面，则由格林公式 (exsiny 一 2y)dx+(excosy 一 2)dy= (excosyexcosy+2)d= a2=a2因此，原积分 =a2 一 L1(exsiny 一 2y)dx+(excosy 一 2)dy=a2 一02a(exsin0 20)dx+0=a 2 一 0=a2【知识模块】 多元函数积分学25 【正确答案】 令 P(x，y)=x+y 一 1，Q(x，y)=xy+1 因为 ，所以积分与路径无关引入点 B( ，0)，则 I= (x+y 一 1)dx+(xy+1)dy+ (x+y 一 1)dx+(xy+1)dy= 【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 如图 5-15，【知识模块】 多元函数积分学
